브룅2권6장: 유클리드 기하학[주석과 인명]

[천야]

수학 철학의 여러 단계들(Les étapes de la philosophie mathématique, 1912)

브룅슈비크(Léon Brunschvicg, 1869-1944), Alcan(PUF), 1912, P.592.

* 목차: 수학 철학의 여러 단계들(Les étapes de la philosophie mathématique, 1912)

제1권 산술학 Arithmétique. 03

제2권 기하학 Géométrie 43

제4장 플라톤학자들의 수학주의 Le mathématisme des platoniciens

단원 A 플라톤 문제의 입장 Section A. La position du problème platonicien 43

[1절] 모방과 참여 Imitation et Participation 43 §24

[2절] 무리수들의 발견물 La découverte des irrationnelles 45 §25 §26

단원 B 플라톤주의 방법La méthode platonicienne 49

[3절] 분석적 역진 [소급] La régressionanalytique 49. §27 §28

[4절] 종합적 변증법 La dialiectique synthétique. 55 §29 §30, §31, §32, §33,

단원 C. 형이상학의 뮈편과 뉘편 Les livres M et N de Metaphysique 61 §34,

[5절] 이상적 수들, Les nombres idéaux 63 §35, §36,

[6절] 이상적 큼들Les grandeurs idéales 66 §37,

[7절] 플라톤 이후 플라톤주의 Le platonisme après Platon §38, §39,

제5장 형식논리학의 탄생. La naissance de la logique fomelle 71

[1절] 아리스토텔레스 와 플라톤 변증법의 비판Aristote et critique de la dialectique platomocienne 71 §40,

[2절] 논리학의 생물학적 기원 Origine biologique de la logique 72 §41, §42,

[3절] 삼단논법의 기본적 전형들 Type élémentaires du syllogisme 75 §43, §44, §45, §46, §47, §48,

제6장 유클리드 기하학 La Géométrie euclidienne 84

[언어에서 항목의 일반화를 거쳐서, 사유의 대상인 관념의 체계화가 성립한다고 보면, 아리스토텔레스 다음에, 시대적으로 아테네 다음으로 알렉산드리아에서, 유클리드의 등장이 순서상 맞을 것 같다.] §49, §50,

[1절] 유클리드의 정의들 Les définitions d’Euclide 86 §51,

[2절] 공리들 Les axomes 87 §52,

[3절] 전제(요청)들 Les postulats 89 §53, §54,

[4절] 󰡔원론들󰡕의 철학적 범위 La portée philosophique des 󰡔Eléments󰡕 93 §55, §56, §57,

# 인명록

1869 브룅슈비크(Léon Brunschvicg, 1869-1944), 프랑스 과학 철학자, 관념론 철학사가. Les étapes de la philosophie mathématique, Paris, Félix Alcan, coll. «Bibliothèque de philosophie contemporaine», 1912.

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1580? 아메스(Ahmès (Jˁḥ-ms(w), « né du (dieu-)lune » ou « la lune est née », 전1540경 아포피스 1세(Apophis Ier, 재위 전1581-전1541: selon K. S. B. Ryholt) 시대에 살았던 서기(un scribe) 또는 율법학자. [리홀트(Kim Steven Bardrum Ryholt, 1970), 미국출신 덴마크 대학 교수, 이집트학자].

580 퓌타고라스(Pythagore, Πυθαγόρας, 전580-495, 85 ans) 고대 그리스 철학자. 사모스섬 출생, 이탈리아 남부의 메타폰티온(Métaponte, Μεταπόντιον)에서 세상을 떴다. - 메템프쉬코시스(métempsychose, μετεμψύχωσις) 영혼의 이동, 이전, 윤회 사상을 가졌다.

428 플라톤(Platon, Πλάτων, 전428-348) 고대 그리스 철학자. 󰡔폴리테이아(La République, Περὶ πολιτείας)󰡕

408 에우독소스(Eudoxe de Cnide, Εὔδοξος ὁ Κνίδιος, 전408–355), 그리스 천문학자, 의사, 철학자. 플라톤의 20년 정도 후배인데 수학에서 같은 활동 시기라 한다. 그는 행성운동(해와 달 포함)들을 처음으로 이론화 하였고, 나중에 아르키메데스에 의해 알려졌다고 한다.

384 아리스토텔레스(Aristote, Ἀριστοτέλης, 전384-322), 고대 그리스의 철학자. 플라톤의 제자. 󰡔형이상학(La Métaphysique, τὰ μετὰ τὰ φυσικά)󰡕

360? 에우데모스(Eudème de Rhodes, Εὒδημος, 전4세기)[전360?], 고대 그리스 철학자, 뤼케이온에서 아리스토텔레스 제자. 그의 스승의 작업을 출판했다. 첫째 과학사가로 간주한다.]

360? 에우클리데스(Euclide, Εὐκλείδης, 기원전 300년경 활동), 알렉산드리아 수학자. 󰡔원론(Éléments, Στοιχεία)󰡕(전300년경, 13권). - p.37 주1) Elém., IX, 36, éd. Heiberg, t. II, Leipzig, 1884, p. 408.

287 아르키메데스(Archimède de Syracuse, Ἀρχιμήδης, 전287경-212경), 고대 시실리의 물리학자, 천문학자, 수학자, 기술자.

240k 아폴로니오스(Apollonios de Perga ou de Perge, Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος, 전240경-180?) 그리스 기하학자, 천문학자.

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44 플루타르코스(Plutarque, Πλούταρχος, 44-125), 고대 로마시대 그리스 철학자, 전기작가, 도덕론자. 중기 플라톤주의자. 그의 도덕작품들은 스토아학파와 에피쿠로스학파의 경향에 대립된다. .

160? 카르푸스(Carpos d'Antioche, Κάρπος, 1-2세기경) 고대 그리스 천문학자, 수학자. 파포스(Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς, 290경-350경)가 그의 단편들을 소개했다.

160? 디오판토스(Diophante d'Alexandrie, Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς, 후2-3세기)[84살?], 알렉산드리아에 살았던 로마시대 수학자. 󰡔Arithmétiques󰡕

240k 아폴로니오스(Apollonios de Perga ou de Perge, Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος, 전240경-180?) 그리스 기하학자, 천문학자.

350? 쉬라노스(Syrianos, Συριανός, lat. Syrianus, ?-437), 신플라톤주의 철학자. 아테네 출신 플루타르코스의 제자. 아테네에 신플라톤주의 학파(380-400) 창설.

412 프로클로스(Proclus (Proclus de Lycie ou Proclus de Byzance) ou Proclos, Πρόκλος, 412-485) 별명 계승자(« le Diadoque », διάδοχος, successeur), 신플라톤학파의 철학자. 제자인 마리누스(Marinus)의 󰡔Proclus ou sur le bonheur (486)󰡕

480 심플리키우스(Simplicius ou Simplice, Σιμπλίκιος ὁ Κίλιξ, 480경-560경), 6세기경 신플라톤주의 철학자. 아리스토텔레스와 에픽테투스 주석가. Commentaire sur le Du ciel d'Aristote (De caelo), Commentaires sur la Physique d'Aristote, Commentaire sur le De l'âme d'Aristote (De anima), Commentaire sur les Catégories d'Aristote.

1494 셰우벨리우스(Johannes Scheubel (1494–1570), 독일 수학자, 천문학자. / Johann Scheubelius (Scheybl) (1494–1570) [네델란드 출신?]

1505 에를랭 / 헤르린누스(Christian Herlin, Christian Herlinus, 1505–1562), 프랑스 수학자, 프로테스탄트 개혁가. 스트라스부르 대학 교수. [Dasypodius: geometriae Euclidis (1564) (collaboration with Christianus Herlinus) Analysis geometriæ sex librórum Euclidis (1566), impr. J. Richelius, Strassburg

1531 다시포디우스(Conrad Dasypodius, 본명 Konrad Rauchfuss ou Konrad Hasenfratz, 1531-1600), 스트라스부르 대학 수학교수, 스트라스부르 교회 수석사제,

- 저술: [1566] (la + grc) Christian Herlin (d), Conrad Dasypodius et Euclide (auteur des citations) (préf. Johannes Sturm), Analyseis geometricæ sex librorum Euclidis[…] Pro schola, Strasbourg, imp. Josias Rihel (d), 1566, 4-XCVIII p., in-fol

1538 클라비우스(Christophorus Clavius, 1538-1612), 독일 제수이트 학자, 수학자, 천문학자. Commentaires sur Euclide, 1574

1564 갈릴레이(Galilée, it. Galileo Galilei, 1564-1642) 피사(Pisa)에서 태어나, 피렌쩨의 아르세트리(Arcetri) 동네에서 세상을 떴다. 이탈리아 수학자, 기하학자, 천문학자.

1588 홉스(Thomas Hobbes, 1588–1679), 영국 철학자, 󰡔Leviathan, 1651󰡕, 사회계약론과 근대정치학의 창설자들 중의 하나. De Cive (1642), De Corpore (1655), and De Homine (1658) / De Corpore, chap. VI, § 13, Op. Latina, éd. Molesworth, Londres, t. I, 1839, p. 72.

1595? (르)빠이외르(Jacques Le Pailleur, ?-1654) 프랑스 자유시인, 과학자. 수학자. 왕립아카데미에서 메르센을 계승하다. 빠스칼이 르빨리외르에게 보낸 편지, Pascal: Lettre à M. le Pailleur (1648).

1596 르네 데카르트(René Descartes, 1596-1650), 프랑스 철학자, 수학자, 과학자, 근대 철학의 아버지, 해석기하학의 창시자.

1612 아르노(Antoine Arnauld, 1612-1694), 대 아르노(le Grand Arnauld), 프랑스 신부, 신학자, 철학자, 수학자. 쟝세니트의 중요인물.

1623 빠스칼(Blaise Pascal, 1623-1662), 프랑스 박학다식(un polymathe), 수학자, 물리학자, 발명가, 철학자, 도덕론자, 신학자.

1632 바뤼흐 스피노자(Baruch Spinoza, Benedictus de Spinoza, 1632-1675) 네덜란드 암스테르담에서 태어난 포르투갈계 유대인 철학자

1646 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716), 독일 철학자, 수학자, 논리학자, 외교관, 역사가, 사서. 문헌학자. 󰡔Nouveaux Essais sur l'entendement humain, 1704󰡕(1765 출판)는 로크의 󰡔Essai sur l'entendement humain, 1689)󰡕에 대한 반박문이다.

1651 치른하우스(Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (or Tschirnhauß, 1651–1708) 독일 수학자, 물리학자, 의사, 철학자. 여행 중 스피노자를 만났다(1672-3?).

1724 칸트(Immanuel Kant, 1724-1804), 독일 계몽기(Aufklärung) 철학자.

1797 뱅상(Alexandre-Joseph-Hidulphe Vincent, 1797-1868), 철학자, 수학자. 음악, 수학, 고고학등 다방면 학식자.

1798 콩트(Isidore Marie Auguste François Xavier Comte, 1798-1857), 프랑스 철학자, 사회학자. 실증주의적이고 경험주의적인 사회학의 창시자.

1810 몰스워스(William Molesworth, 1810–1855), 영국 급진정치사, 노동부 차관. 홉스 작품 편집

1816 게르하르트(Carl Immanuel Gerhardt, 1816-1899), 독일 수학자, 라이프니츠 저술 편집자. Die Philosophischen Schriften von G. W. Leibniz, éd. C. I. Gerhardt, Berlin, 1875-1890.

1828 프리드라인(Johann Gottfried Friedlein, 1828-1875), 독일 수학사가. 문헌학자. 보에티우스와 프로클레스 원문 편집. Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii. Ex recognitione Godofredi Friedlein. Leipzig 1873

1829 칸토어(Moritz Benedikt Cantor, 1829–1920), 만하임 출생 하이델베르크에서 별세, 독일에서 첫 수학사 교수. Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik. 4 Bände. Leipzig: B. G. Teubner, 1880–1908: t. I, 3e édit, 1907, Leibzig (que nous désigneraons par Cantor I3), p. 11. (chap. 1, die Babylonier, p. 19 et suiv.) / 칸토어(Georg Cantor, 1845-1918), 셍페테스부르그 태생 할레에서 별세. 독일 수학자, 집합론 탄생에 큰 역할. “실수들(les nombres réels)은 자연수 전체보다 더 많다.” 기수와 서수를 정의하였다. /

1832 곰페르쯔(Theodor Gomperz, 1832–1912), 오스트리아 철학자, 문헌학자. 󰡔Griechische Denker. Eine Geschichte der antiken Philosophie (3권, 1896, 1902, 1909)󰡕

- Les penseurs de la Grèce, t. III, tr. Reymond, 1910, p. 51. Cf. Vailati,

1835 메레(Hugues Charles Robert Méray, 1835-1911) 프랑스 수학자. Sur les propriétés générales des racines d'équations synectiques (thèse de doctorat), Paris, Mallet-Bachelier, 9 juillet 1858, 31 p

1837 엘류떼르 마스카르(Éleuthère Élie Nicolas Mascart, 1837-1908) 프랑스 물리학자. 역학과 광학 전문 및 전자학와 자기학 관심. / 쟝 마스카르(Jean Mascart, 1872-1935), 프랑스 천문학자, 수학자. 엘류떼르의 아들. 쟝이 조이텐(Zeuthen)의 논문 번역자일 것이다.

1839 한켈(Hermann Hankel, 1839-1873), 독일 수학자. Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter. Teubner, Leipzig 1874.

1839 조이텐(Hieronymus Georg Zeuthen, 1839–1920), 덴마크 수학자. 코펜하겐 대학 교수. 열거 기하학(the enumerative geometry of conic sections, algebraic surfaces, and history of mathematics.)

- Sur l’Arithmétique géométrique des Grecs et des Indiens, Bibliotheca Mathematica, sér. III, t. V, 1904, p. 110. Cf. Rodet, art.cité, p. 405 et suiv.

- “"Théorème de Pythagore", origine de la géométrie scientifique”, Hieronymus Georg Zeuthen; Publisher, Kundig ed.; Original from, the University of Michigan. (1905) (in Congrès International de Philosophie)

1843 딴느리(Paul Tannery, 1843-1904), 프랑스 과학사가, 수학사가. 딴네리(Jules Tannery, 1848-1910)의 맏형. L’Education platonicienne, III, Digression sur un passage du l’Epinomis, Revue Philosophique, 1880, t. II, p. 529. La Géometrie grecque, 1887, p. 111. / Sur un point de la méthode d’Aristote, Archiv für Geschichte der Philosophie, t. VI 1893, p. 468 et suiv.

[1845 부트루(Étienne Émile Marie Boutroux, 1845-1921) 프랑스 철학자, 철학사가.]

1848 딜스(Hermann Alexander Diels, 1848-1922), 독일 문헌학자. 고대철학 전문가. Die Fragmente der Vorsokratiker, Berlin, 1903, 1권 2판, 1906.

1849 클라인(Felix Christian Klein, 1849-1925) 독일 수학자. 군론(théorie des groupes) 전문가. Conférences sur les mathématiques. (Chicago, 1893), trad. Laugel, 1898, p. 41.

1854 하이베르크(Johan Ludvig Heiberg, 1854–1928), 덴마크 문헌학자. 수학사가. Geschichte der Mathematik und Naturwissenschaften im Altertum, 1925. Euclidis Opera omnia, Leipzig, Teubner, 9 Bände, 1883 bis 1916.

1855 로젤(Armand Louis Léonce Henri Philippe Auguste Laugel, 1855-1925) 프랑스 수학자, 번역가.1857 슈타이크뮐러(Hermann Staigmüller, 1857–1908), 독일 수학자. 튀빙겐 대학 교수, Johannes Scheubel, Ein deutscher Algebraiker des XVI. Jahrhunderts. Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik, t. IX, 1895, p. 441 et suiv.

1860 레이몽(Auguste Reymond, 1860-1930) 스위스 기자, 역사가, 사서, 번역가. 대표번역 Theodor Gomperz의 “Griechische Denker: eine Geschichte der antiken Philosophie (Les penseurs de la Grèce : histoire de la philosophie antique, publié chez Payot et Alcan, à Lausanne et à Paris, entre 1908 et 1910)”.

1861 헤스(Thomas L. Heath, 1861–1940), 영국 수학자. 고전문헌학자.

The Thirteen Books of Euclid's Elements, t. I. Cambridge, 1908 p. 137 et suiv.

A History of Greek Mathematics, 2 vol. (Oxford: Clarendon Press, 1921)

1861 뒤앙(Pierre Maurice Marie Duhem, 1861-1916) 프랑스 물리학자, 화학자, 역사가, 현상론자. Sauver les phénomènes. Essai sur la notion de théorie physique de Platon à Galilée. Sozein ta phainomena[Σώζειντὰ φαινόμενα], Bibliothèque des Textes Philosophiques, Paris, Vrin, 2005 (publications précédentes : en 1908

1863 바일라티(Giovanni Vailati, 1863–1909), 이탈리아 수학자, 과학사가, 철학자. 󰡔철학 저술들(Scritti filosofici󰡕(1911)) / G. Vailati, “La méthode déductive comme instrument de recherche”, Revue de Métaphysique et de Morale, T. 6, No. 6 (Novembre 1898), pp. 667-703. et Scritti, Leipzig et Florence, 1911, p. 135.

1872 마스카르(Jean Mascart, 1872-1935), 프랑스 천문학자, 수학자. 기후에도 관심(Notes sur la variabilité des climats, 1925).

1874 카시러(Ernst Cassirer, 1874-1945), 스웨덴 출신 독일 철학자, 나토릅, 코헨과 같은 마르부르크학파. Das Erkenntnisproblem in der Philosophie und Wissenschaft der neueren Zeit, 2권, 1906, 1907.

1877 봅(Karl Bopp, 1877–1934), 독일 수학사가. Antoine Arnauld, der große Arnauld, als Mathematiker. In: Abh. zur Geschichte der math. Wiss. Band 14 (1902) S. 187–336. (Dissertation).

1880 부뜨루(Pierre Boutroux, 1880-1922) 프랑스 수학자, 과학사가.

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p. 84. 주1) 참조: Johannes Scheubel, Johannes Scheubel, Ein deutscher Algebraiker des XVI. Jahrhunderts. Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik, t. IX, 1895, p. 441 et suiv.

1494 셰우벨리우스(Johannes Scheubel (1494–1570), 독일 수학자, 천문학자. / Johann Scheubelius (Scheybl) (1494–1570) [네델란드 출신?]

1857 슈타이크뮐러(Hermann Staigmüller, 1857–1908), 독일 수학자. 튀빙겐 대학 교수, Ein deutscher Algebraiker des XVI. Jahrhunderts. Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik, t. IX, 1895, p. 441 et suiv.

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p. 85. 주1) 헤르린누스(Christian Herlinus, 1505–1562)과 다시포디우스(Conrad Dasypodius, 1531-1600)의 편집본은 1564년과 1566년에 나타났다. 그리고 칸토어(Cantor, 1829–1920), II2 (1900), p. 553.

1505 헤르린누스(Christian Herlin, Christian Herlinus, 1505–1562), 프랑스 수학자, 프로테스탄트 개혁가. 스트라스부르 대학 교수. [Dasypodius: geometriae Euclidis (1564) (collaboration with Christianus Herlinus) Analysis geometriæ sex librórum Euclidis (1566), impr. J. Richelius, Strassburg

1531 다시포디우스(Conrad Dasypodius, 본명 Konrad Rauchfuss ou Konrad Hasenfratz, 1531-1600), 스트라스부르 대학 수학교수, 스트라스부르 교회 수석사제,

- 저술: [1566] (la + grc) Christian Herlin (d), Conrad Dasypodius et Euclide (auteur des citations) (préf. Johannes Sturm), Analyseis geometricæ sex librorum Euclidis[…] Pro schola, Strasbourg, imp. Josias Rihel (d), 1566, 4-XCVIII p., in-fol

- 번역 [1557] [1564] [1579] 3차례의 번역이 있다. 또한 세 차례 편집본을 낼 정도로 유클리트에 관심과 연구가 깊었다. [신부가 유클리드 기하학 연구는 수학의 정의와 공리와 신학체계와 연관 때문일 것이다. (58UKF)]

1829 칸토어(Moritz Benedikt Cantor, 1829–1920), II2 (1900), p. 553.

[PROSYLLOGISME, substantif:

XVIIe siècle. Emprunté, par l'intermédiaire du latin prosyllogismus, du grec prosullogismos, de même sens, lui-même composé de pro, « en avant, devant », et sullogismos, « calcul, compte ; raisonnement, syllogisme ». LOGIQUE. Syllogisme dont la conclusion sert de prémisse à un autre syllogisme.]

p. 85. 주2) Livr. IV, chap. I, §9 sub fine. [4권 1장 9절: 무엇을 지칭하는지 모르겠다. 왜냐하면, 헤를린누스의 저술은, 헤를린누스 사후에 아마도 다시포디우스가 편집해서 낸 것 같은데, 어느 책인지(Livr. IV, chap. I, §9 sub fine.)이 모르겠다. - sub fine: 세부사항 이하에서]

p. 85. 주3) Ibid., chap. II, § 9.

p. 85. 주4) Heiberg, Mathematisches zu Aristoteles

Johan Ludvig Heiberg, Mathematisches zu Aristoteles. Abhandlungen zur Geschichte der Mathematischen Wissenschaften, Cahier XVIII, 1904, p. 4 et suiv.

[하이베르크(Johan Ludvig Heiberg, 1854–1928), 덴마크 문헌학자. 수학사가. Geschichte der Mathematik und Naturwissenschaften im Altertum, 1925.

p. 85. 주5) Gomperz(1832–1912), Les penseurs de la Grèce, t. III, tr. Reymond, 1910, p. 51. Cf. Vailati, “La méthode déductive comme instrument de recherche”, Revue de Métaphysique et de Morale, T. 6, No. 6 (Novembre 1898), p. 683. n. 1.

Gomperz,

Vailati

p. 85. 주6) Cf. Hankel, op. cit., p. 148.

1839 한켈(Hermann Hankel, 1839-1873), 독일 수학자. Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter. Teubner, Leipzig 1874.

κτῆμα ἐς ἀεί - [AI: "a possession for ever" or "a possession for all time," Thucydides의 “History of the Peloponnesian War”에서 나오는 문구라 한다. 그런데 이런 영원한 공언은, 아리스토텔레스의 진리 또는 유클리드 공리에 대한 표현일 것 같은데...]

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p. 86. 주1) [Leibniz], Nouveaux Essais, liv. III, chap. III, § 19. Cf. la note de Heath, op.cit., t. I, p. 144 et suiv. [히스(Alfred E. Heath, s.d.), 라이프니츠의 󰡔새 시론󰡕의 영어로 번역자.]

[Alfred Gideon Langley(1855–1926), 미국 교육자 번역가 알프레드 히스(Alfred Heath)와 연관이 있다. "New Essays Concerning Human Understanding" (1896) 번역에 주를 달았다고 한다.

p. 86. 주2) Apud Histoire des mathématiques de Zeuthen, tr. Mascart, p. 94, n.2. 뽈 딴느리의 암시는 직선의 관념과 평면표면의 관념들의 비교의 절차에 의해 획득될 수 있다고 생각하기(사유하기)에 초대한다. 구축된 선의 어떠한 점도, 구축된 표면의 어떠한 방향도, 사람들은 구축했던 것과 조정(le contrôle)을 위해 선택했던 도구 사이에 일치에 대한 결함을 확인하지 못한다. 직선의 정의에서 함축되어 있는 두 용어들, 즉 검증과 차이의 부정(vérification et négation de différence)은, 마치 과학에서 근본적 요소들의 입문에 필연적 조건처럼, 분석에서 재발견되는 용어들이다. 그러나 에우클레이데스가 글을 쓴 시대에, 사람들은 무의식이 되어 있었던 정신의 이런 작업을 고려하지 않는다. 그런데 사람들은 어느 정도로는 조정의 도구를 끌어내며, 사람들은 단지 그려진 것의 규칙성을 보존한다. (86-87)

[1872 마스카르(Jean Mascart, 1872-1935), 프랑스 천문학자, 수학자. 기후에도 관심(Notes sur la variabilité des climats, 1925).

[딴느리(Paul Tannery, 1843-1904), 프랑스 과학사가, 수학사가. 딴네리(Jules Tannery, 1848-1910)의 맏형.]

p. 86. 본문에서, σημεῖονἐστιν, οὗμέρος οὐθέν

[AI: "A point is that of which there is no part" or "A point is that which has no part" / σημεῖον(signes) ]

ex aequo

p. 86. 본문에서, Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ’ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται. (déf. IV) [ε΄. Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει.]

[AI: "직선이란 그 위의 점들과 균등하게 놓여있는 선이다." * 고대 개념: 유클리드는 '직선'을 현대 수학처럼 추상적이고 엄격하게 정의하지 않았습니다. 대신, "균등하게 놓여있다"는 다소 직관적인 표현을 사용했습니다. 이는 선 위의 모든 점이 선의 양 끝점과 같은 방식으로 배열되어 있다는 것을 의미합니다. * 후대의 해석: 이 정의는 모호하다는 비판을 받기도 했습니다. 그래서 유클리드 이후의 수학자들은 직선을 '두 점 사이의 가장 짧은 거리'나 '무한히 뻗어나가는 길이'와 같은 방식으로 더 명확히 설명하고자 했습니다.]

ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ᾽ ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται. (déf. VII)

[AI 번역: "A plane surface is a surface which lies evenly with the straight lines on itself".]

p. 87 본문에서, ὅρος ἐστιν, ὅ τινός ἐστι πέρας (déf. XIII) Platon

[AI 번역: A definition is the limit of something.] [정의는 어떤 것(사물)의 한계이다.]

p. 87 본문에서 κύκλος ἐστι σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον, [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ᾿ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ις΄ [16] Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται. ιζ΄ [17] (déf. XV-XVI)

<원(κύκλος)은 하나의 선으로 둘러싸인 평면 도형(σχῆμα)이다. 이것으로 향해, 도형의 내부에 위치한 하나의 점(중심점)으로부터 거기를 지나가는 모든 직선(지름)들은 그 자체로 서로 동등하다.>

[AI: κύκλος ἐστι σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον, "원은 하나의 선으로 둘러싸인 평면 도형이다."

[AI: πρὸς ἣν ἀφ᾿ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. « vers laquelle, à partir d'un point situé à l'intérieur de la figure, toutes les droites qui tombent sont égales entre elles ».

[AI: Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται. ιζ΄; Je vous conseille de vous en servir.]

[κύκλος (kyklos): 원 / ἐστι (esti): ~이다 ‘/ σχῆμα (schēma): 도형 (shape/figure) / ἐπίπεδον (epipedon): 평면의 (plane) / ὑπὸ (hypo): ~에 의하여 (by) / μιᾶς (mias): 하나의 (one - 여성 단수 속격) / γραμμῆς (grammēs): 선 (line - 여성 단수 속격) / περιεχόμενον (periechomenon): 둘러싸인 (contained/bounded - 중성 단수 주격) ]

[πρὸς ἣν (pros hēn): 그것(선)에 대하여 /ἀφ᾿ ἑνὸς σημείου (aph' henos sēmeiou): 하나의 점으로부터 / τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων (tōn entos tou schēmatos keimenōn): 도형(도형의) 내부에 있는 / πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι (pasai hai prospiptousai eutheiai): 부딪히는(도달하는) 모든 직선이 / [ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν] (isai allēlais eisin): [서로 같다] (※ 문장 뒤에 이어지는 부분)]

p. 87. 주1) Platon, Parménide, 137 E: στρογγύλον γέ πού ἐστι τοῦτο οὗ ἂν τὰ ἔσχατα πανταχῇ ἀπὸ τοῦ μέσου ἴσον ἀπέχῃ. ...

[[137e] στρογγύλου οὔτε εὐθέος μετέχει. - Πῶς; - Στρογγύλον γέ πού ἐστι τοῦτο οὗ ἂν τὰ ἔσχατα πανταχῇ ἀπὸ τοῦ μέσου ἴσον ἀπέχῃ. - Ναί. - Καὶ μὴν εὐθύ γε, οὗ ἂν τὸ μέσον ἀμφοῖν τοῖν ἐσχάτοιν ἐπίπροσθεν ᾖ.

Οὕτως. - Οὐκοῦν μέρη ἂν ἔχοι τὸ ἓν καὶ πολλὰ ἂν εἴη, εἴτε εὐθέος σχήματος εἴτε περιφεροῦς μετέχοι. - Πάνυ μὲν οὖν. - Οὔτε ἄρα εὐθὺ οὔτε [138a]

[[137e] puisqu'il n'est ni rond ni droit. — Et pourquoi ? — N'appelle-t-on pas rond ce dont les extrémités sont partout à égale distance du milieu? — Oui. — Et droit, ce dont le milieu est en avant de chacune des deux extrémités ? — Oui. — Ainsi l'un aurait des parties et serait multiple, s'il était de figure ronde ou droite. — Incontestablement. — II n'est donc ni droit [138a]

p. 87. 주2) [Aristote,] Topic., I, 8 103b 15: ὁ ὁρισμὸς ἐκ γένους καὶ διαφορῶν ἐστίν

[AI: "정의(定義 ὁρισμὸς)는 류(類)와 종차(種差 διαφορῶν)로 이루어져 있다" ]

[ὁ ὁρισμὸς (호 호리스모스): '정의' / ἐκ (에크): '~으로부터', '~으로'라는 뜻의 전치사, / γένους (게누스): '류(genus)', 즉 '종류' 또는 '범주' / καὶ (카이): '~와'라는 접속사 / διαφορῶν (디아포론): '종차(differentia)', 즉 '차이' 또는 '구별되는 속성'을 뜻합니다. / ἐστίν (에스틴): '~이다'라는 뜻의 동사입니다.]

-*- p. 88

κοιναὶ ἔνοιαι [AI 답변: 코이나이 엔노이아이:"공통된 개념" 또는 "보편적 관념" - 스토아학파의 중요개념. - 스토아학파는 인간의 정신이 '공통된 개념'이라는 선천적 지식(아 프리오리)을 가지고 태어난다고 보았습니다 - 우주가 이법에 따라 작동한다고 믿었으며, 이 '공통된 개념'은 인간이 자연의 이법적 구조(로고스)와 조화를 이루며 살아가는 데 필수적인 도덕적, 이법적 원리를 제공합니다.] [κοινός - κοινότητα (« communauté ») / ἔνοιαι - ἔννοια : ἐν(« dans ») et νοῦς(« faculté de penser »).] [일반화의 역량이 있다. 에노이아이 = 직관(벩송)

αἰτήματα [아이테마타: '요구', '요청', '청원. 중성명사 αἴτημα (아이테마)의 복수형.] (58UKF)

본문에서

τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα χαὶ ἄλλήλοις ἐστὶν ἴσα

"어떤 것들과 같은 것은 서로도 같다" (Things which are equal to the same thing are also equal to one another).

[AI: "같은 것과 같은 것들은 서로에게도 같다"《원론》에 나오는 공리(또는 공통 관념) 중 하나로, 등호의 추이성(transitivity)을 설명하는 원리.]

p. 88. 주1) Proclus, Commentaire sur le premier livre d’Euclide, éd. Friedlein, 1873, p. 194. Cf. Paul Tannery, Apollonius de Perge, Bulletin des Sciences mathématiques, 1881, p. 126.

[412 프로클로스(Proclus (Proclus de Lycie ou Proclus de Byzance) ou Proclos, Πρόκλος, 412-485) 별명 계승자(« le Diadoque », διάδοχος, successeur), 신플라톤학파의 철학자. 제자인 마리누스(Marinus)의 󰡔Proclus ou sur le bonheur (486)󰡕 /

240k 아폴로니오스(Apollonios de Perga ou de Perge, Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος, 전240경-180?) 그리스 기하학자, 천문학자.

-*- 89

89 주1) Félix Klein, Conférences sur les mathématiques. (Chicago, 1893), trad. Laugel, 1898, p. 41.

1894 클라인(Felix Christian Klein, 1849-1925) 독일 수학자. 군론(théorie des groupes) 전문가. Conférences sur les mathématiques. (Chicago, 1893), trad. Laugel, 1898, p. 41.

[1855 로젤(Armand Louis LéonceHenri Philippe Auguste Laugel, 1855-1925) 프랑스 수학자, 번역가.]

본문에서 καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ’ ἄλληλα ἴσα ἄλλήλοις ἐστὶν.

[AI "And things which coincide with one another (fit upon one another) are equal to one another." (ms 사물들이 다른 사물과 일치할 때, 그 사물들은 다른 사물과 동등하다. - 다른 사물에 일치하는 사물들은 다른 사물과 동등하다.)

[AI: ἐπ’ ἄλληλα ἴσα ἄλλήλοις ἐστὶν: "on one another equal to one another it is." / ἐφαρμόζοντα = "applying" or "fitting," : ἐφαρμόζω, "to fit into," "apply," or "adapt".]

[AI: "ζ' : καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ' ἀλλήλα ἴσα. ἀλλήλοις ἐστίν"은 유클리드의 《원론(Elements)》에 나오는 '공통 개념(Common Notions)' 중 하나입니다. / "그리고 서로 겹치는 것들은 서로 같다". 이것은 다른 두 도형이 완전히 일치할 때, 그 두 도형은 크기와 모양이 같다는 것을 의미합니다.]

89 주2) Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα[같은 것들에 같은 것들을 더하면, 그 전체는 서로 같다.(공리2)]. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστὶν ἴσα[같은 것들에서 같은 것들을 빼면, 그 나머지들도 같다.(공리3)]. 이것은 정식이 이미 아리스토텔레스에 있었다는 것을 주목하게 한다. Aristote, I, An., I, 24 41b 21 (Heiberg, op. cit., p. 5): ἀπὸ τῶν ἴσων αφαιρουμένων ἴσα λείπεσθαι[같은 것에서 같은 것을 빼면 같은 것이 남는다]; cf. Met. K, 4, 1061b 20.

"And if equal things are subtracted from equal things, then the remainders are equal").

만일 동등한 것들이 동등한 것으로부터 뺀다면, 그러면 남는 것들도 동등하다.

- "같은 것들에 같은 것들을 더하면, 그 전체는 서로 같다.(공리2)

- "같은 것들에서 같은 것들을 빼면, 그 나머지들도 같다."(공리3)

[AI: '공통한 10가지 개념' 중 두 번째와 세 번째 개념으로, "등호(같음)에 같은 것을 더하면 전체도 같고, 같은 것에서 같은 것을 빼면 남은 것도 같다"]

Aristote, I, An., I, 24 41b 21(Heiberg, op. cit., p. 5) [여기서 op. cit.는 아리스토텔레스 작품을 칭하는가? 아니면 Heiberg, Mathematisches zu Aristoteles.일까?]

[1854 하이베르크(Johan Ludvig Heiberg, 1854-1928), 덴마크 문헌학자, 수학사가. Euclidis Opera omnia, Leipzig, Teubner, 9 Bände, 1883 bis 1916 (이란 작품도 있다.)

ἀπὸ τῶν ἴσων αφαιρουμένων ἴσα λείπεσθαι; cf. Met. K, 4, 1061b 20.

[AI《원론(Stoicheia, τά στοιχἔια ())》에 기술한 공리(公理, axiom) 중 하나, "같은 것에서 같은 것을 빼면 같은 것이 남는다" : "If equals are taken from equals, the remainders are equal."]

-*- 90.

unicité : 직선에서 쓰이나?

p. 90. 주1) “판명하게 표현된 관념을 밝히지 않은, 말하자면 직선의 정의하지 않은 에우클레이데스는, (왜냐하면 그는 주의를 기울인 직선은 모호하기 때문이고, 그에게 증명에서 쓰이지 않기 때문이다) 두 공리로 되돌아가도록 강요되었다. 두 공리들은 그에게서 정의를 대신하고, 그리고 그는 공리들을 그의 증명들에서 사용한다. 둘 중의 하나의 공리로서는, 두 직선들은 공통의 부분을 갖지 않고, 다른 하나의 공리로서는, 두 직선은 공간을 포함하지 않는다.” (Leibniz, Nouveaux Essais, IV, chap. 12, § 6.) 이렇게 주장된 두 공리들은 󰡔원론들󰡕의 “라틴어 판본(Vulgate)”에 속하며, 오늘날에는 에우클레이데스의 독창적 재작성에서 가필본처럼 간주되었다. 제2공리는 제1권의 정리4(le théorème IV)를 위하여 주어진 증명작업의 원문에서 빌려온 것이다: δύο εὐθεῖαι χωρίον περιέξουσιν ὅπερ ἐστιν ἀδύνατον.["두 개의 직선은 공간을 둘러쌀 수 없으며, 이는 불가능하다.] Ed. Heiberg, t. I. 1883, p. 18. 이 공리는 또한 마치 요청[공준]처럼 생각되었다. 이러한 자격으로 이 공리는 비유클리트 기하학의 발전에 상당한 역할을 한다.

Leibniz, Nouveaux Essais, IV, chap. 12, § 6.

δύο εὐθεῖαι χωρίον περιέξουσιν ὅπερ ἐστιν ἀδύνατον.

Two straight lines enclose a space, which is impossible.

"두 개의 직선은 공간(영역)을 둘러쌀 수 없으며, 이는 불가능하다(모순이다)"

하이베르크(Johan Ludvig Heiberg, 1854–1928), Euclidis Opera omnia, Leipzig, Teubner, 9 Bände, 1883 bis 1916.

p. 90. 주2) 이런 빈칸[누락]은 아마도 라이프니츠(1646-1716)에 의해 처음으로 알려졌다. 클라비우스(Clavius, 1538-1612)가 에우클레이데스에게서 교정하는 것을 빠뜨렸던 “장소들(endroits)” 중에서, “가장 주목할 만한 것들과 가장 적게 주목할 만한 것들 중의 하나는, 제1권의 첫 명제의 증명에서 처음에 만난다. 이 증명에서, 사람들은 어떤 원들이 결코 만날 수 없다는 것을 안다고 하더라도, 그는 등변 삼각형의 구축에 쓰이는 두 원이 어떤 부분[점]을 만나야만 한다.” (Gerhardt, Berlin, Die Philosophischen Schriften von G. W. Leibniz, t. VII, Berlin, 1890. p. 166.)

1538 클라비우스(Christophorus Clavius, 1538-1612), 독일 제수이트 학자, 수학자, 천문학자. Commentaires sur Euclide, 1574

1816 게르하르트(Carl Immanuel Gerhardt, 1816-1899), 독일 수학자, 라이프니츠 저술 편집자. Die Philosophischen Schriften von G. W. Leibniz, éd. C. I. Gerhardt, Berlin, 1875-1890.

-*-

p. 91. 주1)

1839 조이텐(Hieronymus Georg Zeuthen, 1839–1920), Die geometrische Construction als ‘Existenzbeweis’ in der antiken Geometrie. Mathematische Annalen, t. VXVII, 1896, p. 222 et suiv.

본문에서 주2). II An. II, 7-92b 15 [분석론 후서]: (Heiberg, op. cit., p. 7). Cf. Pascal: Lettre à M. Le Pailleur, 1648). “ 사물의 정의와 그것(사물)의 존재 보장 사이에 필연적 연결점이 없다는 것은 명증하다. 그리고 진실할 수 있는 것만큼이나 가능한 사물을 정의할 수 있다는 것도 명증하다. 이렇게 사람들은 직선의 그리고 직각의 삼각형을, 두 직각을 갖는다고 상상될 수 있는 삼각형이라 부를 수 있고, 그러고 나서 그러한 삼각형은 불가능하도 제시할 수 있다. 이처럼 에우클레이데스는 우선 평행선을 정의하고, 그리고 이후에 이런 것이 있을 수 있다고 제시한다. 그리고 원의 정의는 그것의 가능성을 제안하는 요청[공준]을 앞선다.” Oeuvres, éd. L. Brunschvicg et P. Boutroux(1880-1922), t. II, 1908, p. 185. .

τί μὲν γὰρ σημαίνει τὸ τρίγωνον, ἔλαβεν ὁ γεωμετρης, ὅτι δ’ἔστιν δεικνυσιν.

[AI: '삼각형이 무엇을 의미하는지는 기하학자가 받아들였지만, 그것이 존재한다는 것은 그가 증명한다'. /τί μὲν γὰρ σημαίνει τὸ τρίγωνον ("삼각형이 무엇을 의미하는지에 관해서는") / ἔλαβεν ὁ γεωμετρης ("기하학자가 받아들였다") / ὅτι δ’ἔστιν δεικνυσιν ("그것이 존재한다는 것은 그가 증명한다") ]

p. 91. 주2). II An. II, 7-92b 15 (Heiberg, op. cit., p. 7). Cf. Pascal: Lettre à M. le Pailleur(1648) ,

1623 빠스칼(Blaise Pascal, 1623-1662), 프랑스 박학다식(un polymathe), 수학자, 물리학자, 발명가, 철학자, 도덕론자, 신학자.

1595? (르)빠이외르(Jacques Le Pailleur, ?-1654) 프랑스 자유시인, 과학자. 수학자. 왕립아카데미에서 메르센을 계승하다. 빠스칼이 르빨리외르에게 보낸 편지, Pascal: Lettre à M. le Pailleur (1648).

1869 브룅슈비크(Léon Brunschvicg, 1869-1944), 프랑스 과학 철학자, 관념론 철학사가.

1880 부뜨루(Pierre Boutroux, 1880-1922) 프랑스 수학자, 과학사가.

[1845 부트루(Étienne Émile Marie Boutroux, 1845-1921) 프랑스 철학자, 철학사가.]

p. 91 주3). 홉스는 에우클레이데스의 요청들을 의미화를 매우 잘 이해했다. “ea quae postulata et petitiones appellantur, principia quidem revera sunt, non tamen demonstrationis, sed constructionis, id est non scientiae, sed potentiae; sive quod idem est, non theorematum quae sunt speculationies, sed problematum quae ad praxim et opus aliquod faciendum pertinent.”[대략(ms) 전체 또는 요청이라 불리는 그러한 것들은 진실로 원리들이며, 증명으로서가 아니라 오히려 구축으로서 원리들이다. 그러나 사변적인 문제인 공준이 아니라 실천에 연관 있는 문제이며, 행해야만 하는 작업에 연관 있는 어떤 것이다.](Hobbes, De Corpore (1655), chap. VI, § 13, Op. Latina,: éd. Molesworth, Londres, t. 1839, p. 72) 이런 개념작업과 상관하여, 그는 정의들의 두 질서를 구별하였다. [하나] 정의들은 정신 속에서 단어의 의해 지시된 사물의 관념을 불러일으킨다. [다른 하나] 정의들은 원인을 지니도록 허용할 수 있는 사물들의 이름에 근거한다. 이 정의들은 자신들의 원인 또는 적어도 자신들의 생성작용의 양태를 포함한다. ““Veluti cum circulum definimus esse figuram natam ex circumlatione lineae rectae in plano.” [마치 우리가 원을 자연 도형으로 정의할 때와 마찬가지로, 평면에서 직선의 회전으로부터 원이 정의된다](Ibid.). 데카르트의 지시표시들에 부합하는(infra, §70) 이런 개념작업은 스피노자의 󰡔지성개선론󰡕에서 재발견되는 개념작업이다(infra, §90; cf. Lettre à Tschirnhaus, LX (64), éd. von Vloten et Land, t. II, La Haye, 1883, p. 212). 그리고 개념작업은 직접적 영향의 연관을 추측하도록 해준다(Cassirer(1874-1945), Das Erkenntnisproblem in der Philosophie und Wissenschaft der neueren Zeit, t. II, 2e édit., Berlin, 1911, p. 98.) 이로부터 라이프니츠에로 이행했다. “notio circuli ab Euclide proposita quod sit figura descripta motu rectae in plano circa extremum immotum, definionem praebet realem, patet enim talem figuram esse possibilem.”[유클리드가 제시한 원의 개념은 평면에서 직선의 움직임으로 그려진 도형이라는 것이다. 그것은 실재적 정의를 제공한다. 왜냐하면 그러한 도형이 가능한 것은 분명하기 때문이다.] Gerhardt(1816-1899), Phil. Schr. t. VII, Berlin, 1890, p. 294). 게다가 라이프니츠는, 홉스가 그것을 만났다고 믿었던 것처럼, 절대적 유명론의 반박을 실재적 정의의 개념작업 속에서 찾았다는 것이 주목할 만하다. (Ibid.; cf. Couturat, Logique de Leibniz, 1901, p. 190, n.2).

Johannes van Vloten (1818-1883), 스피노자 편집자. avec J.P.N. Land

["Ea quae postulata et petitiones appellantur, principia quidem revera sunt non tamen demonstrationis, sed constructionis" translates to: "Those things which are called postulates and demands are indeed principles, not however of demonstration, but of construction". / "id est non scientiae, sed potentiae", "that is not of knowledge, but of power". / "sive quod idem est, non theorematum quae sunt speculationies" translates to "or which is the same, not of theorems which are matters of speculation" / "sed problematum quae ad praxim" - "but of problems which pertain to practice" or "but of practical problems" / ‘opus aliquod faciendum pertinent’ translates to "something pertaining to a work that must be done"

Hobbes, Ibid. “Veluti cum circulum definimus esse figuram natam ex circumlatione lineae rectae in plano. (Ibid.) [Gl: Veluti cum circulum definimus esse figuram natam, 마치 우리가 원을 자연 도형으로 정의할 때와 마찬가지로, / 'ex circumlatione lineae rectae in plano'는 라틴어로, 직역하면 "평면에서 직선의 회전으로부터"]

(infra[다음에] § 70 )[ 문단 70에는 데카르트의 “규칙”에 관한 설명이다.]

1588 홉스(Thomas Hobbes, 1588–1679), 영국 철학자, 󰡔레비아단(Leviathan, 1651)󰡕, 사회계약론과 근대정치학의 창설자들 중의 하나.De Cive (1642), De Corpore (1655), and De Homine (1658)

De Corpore, chap. VI, § 13, Op. Latina, éd. Molesworth, Londres, t. I, 1839, p. 72.

[Editions compiled by William Molesworth. (라틴어판본과 영어판본)

- Thomae Hobbes Malmesburiensis Opera Philosophica quae Latina Scripsit, 5 vols. 1839–1845. London:

- The English Works of Thomas Hobbes of Malmesbury, 11 vols. 1839–1845. London: - Posthumous works not included in the Molesworth editions. [유고본, 논문 10편 정도] Latin Works (1839–1845) compiled by Sir William Molesworth

* Tractatus de Reformatione intellectusde Spinoza(infra. § 90;

[- Tractatus de intellectus emendatione / 일반번역: Traité de la réforme de l'entendement / 뽀트라(Bernard Pautrat, 1944-)의 번역: Traité de l'amendement de l'intellect.]

- cf. Lettre à Tschirnhaus, LX (64), éd. von Vloten et Land, t. II, La Haye, 1883, p. 212)

1651 치른하우스(Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (or Tschirnhauß, 1651–1708) 독일 수학자, 물리학자, 의사, 철학자. 여행 중 스피노자를 만났다(1672-3?).

[von Vloten et Land: 출판사]

Cassirer, Das Erkenntnisproblem in der Philosophie und Wissenschaft der neueren Zeit, 2권, 1906, 1907.

[1874 카시러(Ernst Cassirer, 1874-1945), 스웨덴 출신 독일 철학자, 나토릅, 코헨과 같은 마르부르크학파. Das Erkenntnisproblem in der Philosophie und Wissenschaft der neueren Zeit, 2권, 1906, 1907.]

Leibniz : “[Sed] notio circuli ab Euclide proposita quod sit figura descripta motu rectae in plano circa extremum immotum, definionem praebet realem, patet enim talem figuram esse possibilem.” ([Leibniz], De Synthesi et Analysi universali, seu Arte inveniendi et judicandi. Gerhardt Phil. Schr., t. VII, Berlin, 1890, 294.) .. Hobbes(Ibid.: cf. Couturat, La Logique de Leibniz, 1901, p. 190, n.2.)

[AI: notio circuli ab Euclide proposita quod sit figura descripta motu rectae in plano "유클리드가 제시한 원의 개념은 평면에서 직선의 움직임으로 그려진 도형이라는 것이다" -Cf. 유클리드 원론 제1권의 정의 15에 따르면, 원은 "평면 도형 중 하나로, 그 내부에 있는 한 점(원의 중심)으로부터 곡선(원의 둘레)까지의 모든 직선이 서로 같도록 하나의 선에 의해 둘러싸인 것" / ‘circa extremum immotum’, - "around the unmoving end" or "around the unmoving extremity". / "definionem praebet realem, patet enim talem figuram esse possibilem" translates to "it provides a real definition, for it is clear that such a figure is possible".] [그것은 실재적 정의를 제공한다. 왜냐하며 그러한 도형이 가능한 것은 분명하기 때문이다.]

['De Synthesi et Analysi universali, seu Arte inveniendi et judicandi'는 라이프니츠(1646-1716)가 1683년경에 작성한 논문으로, 그의 보편 수학(mathesis universalis) 개념을 설명하는 글 / De Synthesi et Analysi universali, seu Arte inveniendi et judicandi, (ms) 보편적 종합과 분석에 대하여, 즉 발명과 판단의 기술.]

[1816 게르하르트(Carl Immanuel Gerhardt, 1816-1899), 독일 수학자, 라이프니츠 저술 편집자. Die Philosophischen Schriften von G. W. Leibniz, éd. C. I. Gerhardt, Berlin, 1875-1890.]

Hobbes(Ibid.; cf. Couturat, Logique de Leibniz, 1901, p. 190, n.2).

-*- 92

p. 92. 주1), [Euclide,] Prop. XIV du livre I ; cf. Zeuthen, op. cit., tr. Mascart, p. 101.

[엘류떼르 마스카르(Éleuthère Élie Nicolas Mascart, 1837-1908) 프랑스 물리학자. 역학과 광학 전문 및 전자학와 자기학 관심. / 쟝 마스카르(Jean Mascart, 1872-1935), 프랑스 천문학자, 수학자. 엘류떼르의 아들. 쟝이 조이텐(Zeuthen)의 논문 번역자일 것이다.]

-*- 93

p. 93 주1) [Zeuthen] Art. cité, p. 225 et suiv.

p. 93 주2) Postulat V. καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.

[AI: "그리고 어떤 직선이 두 직선과 만나 같은 쪽의 내각의 합이 2직각(180°)보다 작으면, 이 두 직선은 2직각보다 작은 각이 있는 쪽으로 한없이 연장하면 반드시 만난다." - 평행선 공리(Parallel Postulate); 'καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας'는 "같은 쪽의 각들이 2직각보다 작을 때"]

p. 93 주3) Def., III, Λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ πηλικότητά ποια σχέσις.

[AI: Book V, Definition 3: A ratio is a sort of relation in respect of size between two magnitudes of the same kind.]

[« Le rapport est une relation de grandeur de même genre à grandeur de même genre, selon la quantité. » [비례(Λόγος)는 두 개의 동일한 류의 크기는 양에서 어떤 관계(σχέσις)가 있다. ]

[Λόγος (Logos): Ratio, proportion. / ἐστὶ (esti): Is. / δύο (duo): Two. / μεγεθῶν (megethon): Magnitudes (genitive plural). / ὁμογενῶν (homogenon): Of the same kind, homogeneous (genitive plural)./ ἡ κατὰ (he kata): The... in respect of. / πηλικότητά (pelikoteta): Size, quantity. / ποια (poia): Some, a certain. / σχέσις (scheseis): Relation, state. ]

p. 93 주4) Cantor, I3 p. 55. Cf. P. Tannery, La Géométrie grecque, 1887, p. 92, et Zeuthen, Histoire des Mathématique dans l’Antiquité, tr. Mascart, p. 4.

[칸토어(Moritz Benedikt Cantor, 1829–1920)]

- Ahmès (ou Iâhmes) et Ahmôsé (ou Ahmôsis), 고대 이집트의 이름, 달로부터 태어난(« né(e) de la lune » ou « la lune est née » )이란 의미이다.

manuel d’Ahmès

1580? Ahmès (Jˁḥ-ms(w), « né du (dieu-)lune » ou « la lune est née », 전1540경 아포피스 1세(Apophis Ier, 재위 전1581 à 전1541: selon K. S. B. Ryholt) 시대에 살았던 서기(un scribe) 또는 율법학자.

408 에우독소스(Eudoxe de Cnide. Εὔδοξος ὁ Κνίδιος, 전408–전355) 그리스 수학자.

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p. 94 주1) 칸토어(Moritz Benedikt Cantor, 1829–1920), I3 p. 238 et suiv.

p. 94 주2) Proclus, éd. cit., ad, I, 47, p. 426. Cf. Zeuthen, Memoire au second Congrès international de philosophie, p. 848.

p. 94 주3) Zeuthen, Sur la constitution des livres arithmétiques des Eléments d’Euclide, Bulletin de l’Académie de Danemark, 1910, p. 402.

p. 94 주4) Paul Tannery(1843-1904), La Géometrie grecque, 1887, p. 101.

p. 94 주5) Ibid.

-*- 95

p. 95 주1) Charles Méray, Justification des procédés et de l'ordonnance des nouveaux Eléments de Géométrie (L'enseignement mathématique 6(1904), 89-123). / p. 90 et suiv.

p. 95 주2) Antoine Arnauld, der große Arnauld, als Mathematiker. In: Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik, Leipzig, fascicule XIV, 1902, p. 235 et suiv.

-*- 96

p. 96 주1) Proclus, p. 123 Cf. Heath, t. I, p. 177.

p. 96 주2) Traduction résumée de Vincent, op. cit., p. 2 et suiv.

[1797 뱅상(Alexandre-Joseph-Hidulphe Vincent, 1797-1868), 철학자, 수학자. 음악, 수학, 고고학등 다방면 박학자. ] -quantité sous une ligne ou une surface

** [수학에서 로고스(λόγος)를 라티오(ratio)로 번역하였는데, 이는 추리하다, 생각하다라는 의미일 것이다. 로고스는 신앙(foi)와 대립된다고 할 때, 신앙은 피스티스에 가까울 것이다. - 믿음 (croyances, beliefs, πίστις [피스티스])이란, 종교들에서, 감각적 이미지들과 장엄한 예식들이 믿음을 강화한다. / similitude는 유클리드 기하학에서 합동과 같은 의미로 사용한 것 같다. 일상에서는 (Langage courant) Ressemblance과 같이 쓰였다. ]

-*- 97

p. 97. 주1)

ὅλως γὰρ οὐκ ἔστιν ἀστρολόγου τὸ γνῶναι, τί ἠρεμαῖόν ἐστι τῇ φύσει καὶ ποῖα τὰ κινητά, [[AI: "왜냐하면 천문학자가 (천성적으로) 무엇이 정지해 있고 무엇이 움직이는지를 아는 것은 결코 아니기 때문이다. ..."]]

클라우디오스 프톨레마이오스(Claudius Ptolemy)의 저서 『알마게스트(Almagest)』 제1권 1장, [AI: "대저 무엇이 본성상 정지해 있는 것이고 어떤 것들이 움직이는 것인지를 아는 것은 결코 천문학자의 소관이 아니다." - 프톨레마이오스는 이 대목에서 “물리학(자연철학)”과 “수학(천문학)”을 구분하고 있는데, 여기서 천문학자(수학자)의 수학적 설명이 천체 운동을 설명할 수 있으며, 자연학자는 태양과 지구의 움직임과 정지를 설명할 뿐이라는 것이다. 즉 그는 아리스토텔레스에 따라서, 천문학의 수학과 자연학의 운동설명은 다른 것이라는 것이다. 결국 행성의 설명을 천문학에서 수학적 주전원과 편심원으로 설명하는 것이 정당하다고 보았다.]

ἀλλὰ ὑποθέσεις εἰσηγούμενος τῶν μὲν μενόντων, τῶν δὲ κινουμένων[,] σκοπεῖ, τίσιν ὑποθέσεσιν ἀκολουθήσει τὰ κατὰ τὸν οὐρανὸν φαινόμενα. ["오히려 그는 (어떤 것들은 정지해 있고 어떤 것들은 움직인다는) 가설들을 도입함으로써, 어떠한 가설들을 따를 때 천체에 나타나는 현상들이 [모순 없이] 설명될 수 있을지를 고찰한다."] ληπτέον δὲ αὐτῷ ἀρχὰς παρὰ τοῦ φυσικοῦ .. Commentaire de Simplicius à la Physique d’Aristote, II, 2, 193b 23, éd. Diels, Berlin, 1882., p. 292; cf. Duhem, Σώζειντὰ φαινόμενα[AI: 그들은 현상을 저장합니다.] "현상을 구제한다(To save the appearances)" 즉

ληπτέον δὲ αὐτῷ ἀρχὰς παρὰ τοῦ φυσικοῦ .. -[AI: "And he must take his starting points/principles from the physicist [natural philosopher]..." -그리고 천문학자는 그의 출발점을 자연학자로부터 받아들여야 한다.

[1861 뒤앙(Pierre Maurice Marie Duhem, 1861-1916) 프랑스 물리학자, 화학자, 역사가, 현상론자. Sauver les phénomènes. Essai sur la notion de théorie physique de Platon à Galilée. Sozein ta phainomena[Σώζειντὰ φαινόμενα], Bibliothèque des Textes Philosophiques, Paris, Vrin, 2005 (publications précédentes : en 1908aux éd. Hermann, en 1992 dans la collection "Mathesis" aux éditions Vrin),

Σώζειντὰ φαινόμενα, Annales, de philosophie chretienne, mai 1908, p.122.p.

[Σώζειν: 저장하다. / "드러나는 것들", "보이는 것들", "현상들(phenomena)" <- 동사: φαίνω '보이다', '나타나다'

(13:17, 58UKH) (16:20, 59MLG)

책1912브룅슈1869수철인06.hwp

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