삼각함수, 사인과 코사인은 규칙적인 파동을 일으키는데 탄젠트는 왜 무한대로 나아갈까?

[한글사랑]

사인(sin), 코사인(cos), 탄젠트(tan) 함수는 모두 삼각함수지만, 탄젠트가 무한대로 발산하는 이유는 그 정의 방식과 관련이 있다. 탄젠트는 다음과 같이 정의된다. tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} 즉, 탄젠트는 사인을 코사인으로 나눈 값이다. 탄젠트가 무한대로 발산되는 이유는 코사인 함수가 0이 되는 지점에서 분모가 0이 되므로, 수학적으로 정의 되지 않기 때문이다.

예를 들어, 탄젠트 x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots 같은 지점에서는 \cos(x) = 0이므로, 탄젠트는 무한대로 발산하거나 음의 무한대로 발산한다. 이 지점들에서는 **수직 점근선(vertical asymptote)**이 생기고, 함수값이 급격히 증가하거나 감소해 그래프가 끊어져 보이게 된다. 그러면 시인과 코사인은 왜 파동일까? 이 함수들은 주기적으로 반복되는 곡선을 그리며, 최대값과 최소값이 항상 -1과 1 사이로 제한되어 있다. 따라서 규칙적인 파동 형태를 가지게 된다. sin(x)는 단위원의 y좌표, -1~1이란 값의 범위를 가지며 주기는 2 \pi 로 부드러운 파동을 그리고 cox(x)는 단위원의 x좌표, -1~1 이란 값의 범위를 가지며 주기는 역시 2 \pi 로 부드러운 파동을 그린다. 두 함수는 항상 유사한 값을 가지며 주기적으로 반복되는 파동을 그린다. 

탄젠트 함수의 그래프는 특징을 갖는데 먼저,주기는  \pi(사인과 코사인은 2\pi)다. 즉, 정의역의 제한 x = \frac{\pi}{2} + n\pi (n은 정수)에서는 정의되지 않음. x = \frac{\pi}{2} 근처에서는  \cos(x) \to 0, \sin(x) \to 1, 따라서 \tan(x) = \frac{1}{\text{매우 작은 수}} \to \infty로 이런 지점에서는 **그래프가 수직으로 치솟거나 떨어지며, 수직 점근선(vertical asymptote)**이 생긴다. 따라서 값의 범위: (-\infty, \infty) 가 제한이 없다. 그러므로 그래프 모양은 반복되는 곡선이지만, 무한대로 치솟거나 떨어지는 구간이 존재하게 된다. 요약하자면,  탄젠트는 사인을 코사인으로 나눈 함수이기 때문에, 코사인이 0이 되는 지점에서는 값이 무한대로 발산하게 된다. 이로 인해 사인·코사인과 달리 탄젠트는 파동이 아닌 무한히 반복되는 발산 곡선을 그리게 된다. 

사인함수가 0이 되는 지점을 생각해 보자. 사인 함수는 다음과 같은 지점에서 0이 된다: \sin(x) = 0 \quad \text{when} \quad x = n\pi \quad (n \in \mathbb{Z}) 즉, x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, \ldots 또는 음의 방향으로도 -\pi, -2\pi, \ldots 등 π의 정수배에서 사인 값은 0이다. 사인 그래프는 파동형태로 위 아래로 진동한다. 사인 x = n\pi 지점은 x축과 교차하는 지점이다.  이 지점들은 **사인 함수의 '영점(zero)' 또는 '근(root)'**이라고 부릅니다. 이 지점에서 함수값이 0이 되므로, 진폭의 전환점이 되기도 한다. 사인함수는 주기함수로, 주기가 2 \pi다. 따라서 사인이 0이 되는 지점은 **일정한 간격(π)**으로 반복된다. 이 규칙성 덕분에 사인 함수는 **정현파(sine wave)**로서 물리학, 공학, 음악 등 다양한 분야에서 쓰인다.  사인이 0이 되는 지점에서 탄젠트 tan(x)=0이 된다. 즉, 탄젠트 그래프가 x축과 만나는 지점이기도 합니다. 요약하면 지점 x=n \pi 의 의미는 \sin(x) = 0, 사인함수의 영점(x축과의 교차점),  \ tan(x)=0 탄젠트 함수의 영점이 된다. 

사인과 코사인은 인간의 삶의 리듬, 탄생, 성장, 쇠퇴, 소멸 그리고 기업이나 조직, 국가의 형성, 성장, 발전, 쇠퇴, 소멸에 비유한다면 탄젠트는 어떻게 비유할 수 있을까? 탄젠트는 일정한 주기마다 무한대로 치솟거나 급락한다. 마치 사랑, 분노, 슬픔 같은 감정이 갑자기 폭팔하는 순간처럼, 평온하다가 갑자기 감정이 극단으로 치솟는 모습과 닮았다. 사인과 코사인이 규칙적인 삶이라면 탄젠트는 통제되지 않은 욕망이나 충동을 상징할 수 있다. 특히 분모가 0에 가까워 질 때 폭팔하는 모습은 자제력을 잃은 인간이 행동과도 비슷하다. 이러한 순간은 일상의 틀을 깨는 초월적인 순간을 상징할 수도 있다. 탄젠트는 겉보기에는 혼란스럽지만 그래도 정확한 주기와 수직 점근선을 가지고 있다. 이는 혼돈 속에서도 일정한 법칙이 존재한다는 것을 의미한다.