군론 [수학문제 푸는 동네] 치환군에 대한 몇가지 질문(1-1, onto)

[폭풍속으로]

[질문 - "invu" 님]
너무 쉬운 질문 같지만,
치환군이요, 치환해서 만들어진거면 다 치환군인가요?
치환군이 되려면1-1, onto 여야한다던데 그럼 동형과의 차이는 뭔가요?

그리고 1-1이란건 일대일 대응이 아니고 일대일 함수를 말하는건지,, 그럼 그냥 일대일 대응을 보이지 왜, 두개를 다하는 건가요??

너무 쉬운 걸 또 많이 물어봐서 죄송합니다..;;

[꼬리말 - "블러디" 님]
동형이란 단순히 두집합이 1-1대응이 되는것보다 강한 조건입니다.
한마디로 두집합 사이의 구조(structure)까지 보존될때를 말하죠.
연산이 보존되면 대수적 동형(isomorphism)이되고 연속이 보존되면 위상동형(homeomorphism), 미분구조가 보존되면 미분동형(diffeomorphism)등등 으로 말이죠.
치환이란 집합 S={1,2,...,n} 에서 S로 가는 1-1대응을 말합니다.
그러면 치환들끼리의 모임이 함수 합성의 연산아래 그룹을 이루죠.
1-1대응은 1-1함수 + onto 입니다. 공역은 치역으로 제한하면 onto가 되므로 두개를 구분안할 수도 있습니다(엄밀히는 구분해야죠).

[꼬리말 - "허걱~" 님]
음 치환군이 permutation group이었군요 -_-;;
근데 1-1이면 onto이다는 유한집합에서는 맞을지 몰라도 infinit이 되면 맞지않습니다.
permutation group의 정의에서 보면 set이 finite이라는 조건이 없습니다.
즉, infinite도 가능하다는 거죠.
Z에 대해서 생각해보면 y=2x는 분명 1-1이지만 onto는 아닙니다.
책에보면 많은 예들이 유한 집합에 대해서 나와있고 주로 Sn만을 주로다루기때문에 많이 헷갈릴지도 모르지만
1-1, onto는 늘 따로따로 보여주어야하는 대상입니다.

[꼬리말 - "자갈림" 님]
1-1이면 onto이다 유한집합에서도 성립하는지 모르지 않나요?
1-1함수인거 같은데요?

[꼬리말 - "블러디" 님]
1-1과 onto 는 아무런 관련이 업죠 유한이건 무한이건..