위대한 발견- 자연대수

[산내들]

곡선 y=1/x 와 x축, x=1, x=a 로 둘러싸인 영역의 넓이가 1이 되는 수 a > 1를 자연상수 e라고 정의한다. 그 외에도 e를 정의하는 방법은 여러 가지가 있다. e는 수학 및 공학 등에 없어서는 안 될 중요한 자연계의 기본 상수이다.

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자연대수 e의 정의와 수학사 및 활용의 중요성

A: e의 정의

1)기본정의
(1+1/10)10
(1+1/10^2)10^2
(1+1/10^3)10^3
...
하는 식으로 나가는 수열(함수) 의 극한값, 식으로는

lim(x->0) (1+1/x)^x = 2.7182818284904523536028............

의 값을 오일러의 수(Euler number) 라고 부르고 기호로는 e 로 나타냅니다. 이것은 기본정의입니다.

2)해석학에서의 정의
f(x)=a^x라 할 때, df(x)/dx = f(x)를 만족하는 a는 e

어떤 f(x)함수가 있을 때 어떠한 점에서라도 그 함수값은 그 함수값의 접선의 기울기와 같으며, x축과의 그 함수값과의 넓이도 같습니다. 이러한 성질을 만족시키는 지수함수의 밑수를 e라고 합니다.

3)자연로그의 밑 수 로서의 정의

e = 자연지수함수 Ln의 밑수

네이피어(John Napier , 1550- 1617)에 의해 로그가 발견된 뒤에 야 e 는 자연로그의 밑으로서 가장 흥미로운 수의 하나로 인식되었습니다.
네이피어가 발견한 로그의 원리는 곱셈을 덧셈으로 변환시킴으로써 매우 큰 수를
계산하는 부담을 엄청나게 줄여주었죠. 주어진 수의 거듭제곱들의 곱은 지수들을 더함으로써 얻을 수 있다. 예를 들면

EX)10^15*10^23 = 10^(15+23) = 10^38

이러한 지수계산법에 로그의 등장은 엄청난 계산들을 순식간에 해결 해 주었죠.
그러한 가운데, 로그의 밑수변환에 대한 많은 수학자들의 연구가 시작되었죠.
가장 이상적인 밑수는 무엇일까?
로그계산은 처음에 로그의 밑으로 10을 사용했는데 여러 수학자와 미적분학과 관
련된 모든 종류의 계산을 하는 공학자에게는 10보다 e를 밑으로 사용하는 것이 훨씬 더 정확하였습니다. 이런 이유에서 e 를 자연로그의 밑 이라고 부릅니다.
EX ] Ln 1 = 0, Log10 1=0
Ln1.01 = 0.01, Log10 1.01=0.0043
Ln1.02 = 0.0198, Log10 1.02=0.0198
위에서 볼 수 있듯이, Ln1과 Ln1.01의 차는 0.01이 됩니다.
하지만 Log10은 차이가 0.0043이 되죠.
위와 같은 편리함 때문에 e를 로그의 밑수로 사용하게 되었습니다.



B : e의 계산 방법

1) 직접 식에 대입
lim(x->0) (1+1/x)^x 에 충분히 큰 x 값을 넣어서 근사값을 계산.

(1+1/100)100 =
2.704813829421526093267194710807530833677938382781002776890201049117
10151430673927943945601434674459097335651375483564268312519281766832
427980496322329650055217977882315938008175933291885667484249510001...

(1+1/200)200 =
2.711517122929374798548993970162904126526518928644110795200316719640
03264340274456721329365784757691147666100581037568473237810853673260
460125847079076363845108898389552316150198563164180119779584177808...

(1+1/300)300 =
2.713765157942721232449228083406086003748102568691453659750348960034
16472928154630402876945095697055908262028546097685646843461884359837
910953002476204337630396378991812527000244550266371759130374010925...

(1+1/400)400 =
2.714891744381286919324497092657526075259160183289447976704962094946
82217339290395608343736013287113558688268093347292613466403504518758
250651782571401320490008543116446787595845370322815843924236677863...


위에서 보듯이 n=50000에서도 고작해야 소수점 이하 네 자리만 정확한 값을 얻을 뿐입니다


2) 테일러 급수 전개를 이용한 방법.

e^x = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ...

이 식에 x=1 을 대입하면, e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/n! + ... 을 얻습니다.

n=20일 때, 예를 들어 한 번 계산해 본 것이 아래와 같습니다.
1/0! = 1.0000000000000000000
1/1! = 1.0000000000000000000
1/2! = 0.5000000000000000000
1/3! = 0.1666666666666666666
1/4! = 0.0416666666666666666
1/5! = 0.0083333333333333333
1/6! = 0.0013888888888888888
1/7! = 0.0001984126984126984
1/8! = 0.0000248015873015873
1/9! = 0.0000027557319223985
1/10! = 0.0000002755731922398
1/11! = 0.0000000250521083854
1/12! = 0.0000000020876756987
1/13! = 0.0000000001605904383
1/14! = 0.0000000000114707455
1/15! = 0.0000000000007647163
1/16! = 0.0000000000000477947
1/17! = 0.0000000000000028114
1/18! = 0.0000000000000001561
1/19! = 0.0000000000000000082
1/20! = 0.0000000000000000004
---------------------
2.718281828459045235...

이 수열의 합은 수렴속도가 비교적 빨라서, 간단히 계산할 때, 자주 쓰입니다.
예를 들어, n=50 항까지 계산하면,
오차가 10-45 = 0.000000000000000000000000000000000000000000001 이내입니다.


C : e의 성질

1) e는 초월수 : 즉, 대수방정식의 해가 될 수 없는 수, e가 초월수라는 것은 1873년 C.에르미트에 의해 증명되었습니다.

2) 자연수의 소수의 밀도는 e ?
자연수중 소수는 극히 불규칙적으로 나타난다.
1,3,7.9 로 끝나는 수가 주어졌을때 그것의 소수 여부를 즉시 판별 할 수 없으며 이미 알려진 소수가 주어졌을 때도 그 다음 소수가 무엇인지 알 수도 없다. 그러나 이러한 소수의 출현에서 규칙성을 발견할 수 있다. 즉 소수가 무한히 출현하지만 그 빈도수는 점점 희박해진다는 것이다. 처음 100개의 수중에서는 25개, 처음 1,000 개의 수중 168개 , 처음 10,000개의 수 중 1,229개, 처음100,000개의 수 중 9,592 개의 소수가 있다.
처음 이러한 관계를 처음 인식한 사람은 가우스였다. 그가 추측한 사실은 소수정
리(Prime number theorem) 로 불리게 되었는데 이 정리는 현대수학에서 자연수에
관해 발견된 가장 중요한 사실로 인정받고 있다.
이 정리의 내용을 이해하기 위해서는 이전 수 x보다 작은 소수의 밀도를 측정하
는 문제를 생각해 볼 수 있다. 처음 10개의 수에서는 네 개의 소수 2,3,5,7 가 있다. 따라서 소수의 밀도는 0.4 로 표현할 수 있다. 처음 100개의 수중에서는 25개의 소수가있으며 그 밀도는 0.4에서 0.25로 떨어진다. 소수에 대한 밀도 조사를 계속하면 처음 1,000개의 소수의 밀도는 0.168 로 떨어진다. 가우스의 관찰 결과는 이 비가 1/lnx(x=자연수) 에 점점 가까워진다는 놀라운 사실을 발견하였다.
ex> 1~1000까지의 소수 실제밀도는 0.168, 1/ln1000 = 0.145
1~1000,000까지의 소수 실제밀도는 0.078498, 1/ln1000,000 = 0.072382
1~1000,000,000까지의 소수 실제밀도는 0.050847478, 1/ln1000,000,000 = 0.048254942
그러나 이 정리는 이해하는 것은 위와 같은 사실만으로도 가능하나 그 증명은 너무나 어려웠다. 많은 수학자가 그 증명에 도전하였으나 결국 1896년까지도 이 정리를 증명하지 못하다가 프랑스 수학자 아다마르(Jacques S .Hardamard, 1865- 1963)와 벨기에수학자인 푸생(G.J . de la vallee Pou s sin, 1866- 1962) 에 의해 증명되었다. 

로그표는 어떻게 만들까?

자연상수 e의 출신을 설명한 글에서, 브리그스가 10의 거듭제곱, 10의 거듭제곱의 거듭제곱을 여러 줄 계산했음을 언급했고, 브리그스가 그런 계산을 한 이유를 설명하겠다고 했는데, 이제 그 시기가 무르익은 것 같다. 브리그스의 상용로그를 log라고 쓰기로 하면, 계산 결과로부터 다음을 얻는다.

      

예를 들어 log(2)를 계산해보자. 첫 번째 줄과, 두 번째 줄로부터 log(2)는 1/4과 1/2 사이의 값이다. 그런데 2를 1.7782794100 38922…로 나누면 1.124682650380698…이다. 로그가 나눗셈을 뺄셈으로 바꿔준다는 사실로부터 다음을 얻는다.

 

이다. 마찬가지로 계속한다. log(1.12468 26503 80698…)는 네 번째 줄과 다섯 번째 줄 사이의 값이다. 1.12468 26503 80698…를 1.07460 78283 21317…로 나누면 1.04659 82293 62989…이므로 다음처럼 쓸 수 있다.

               

마찬가지 과정을 반복하면 log(2) = 1/4 + 1/32 + 1/64 + log(1.00961 31433 33494…)이다. 이런 식의 계산을 통해 log(2) = 1/4 + 1/32 + 1/64 + 1/256 + …=0.3010…을 얻는다. 어이쿠. 이렇게 계산해서야 log(3), log(4), log(5), …를 언제 다 구한다지? log(3), log(7), log(11) 등은 어쩔 수 없이 따로 구해야 하지만, 로그의 성질을 이용하면

                                   

등등을 알 수 있므로 이미 계산한 것을 이용할 수 있다. 눈치 빠른 독자들이라면 소수(素數) p에 대해 log(p)만 계산하면 모든 자연수에 대해 log 값을 계산할 수 있다는 것을 알 것이다. 브리그스는 변변한 계산기도 없던 시절에 10년간 계산을 하여 로그표를 만들었다. 요즘에야 계산기에 숫자 입력하고, 버튼 몇 개만 누르면 끝나는 일이지만, 브리그스 이후 수학도 많은 발달을 거듭해 더 좋은 계산법이 나온 덕택임을 잊어서는 안 된다.

자연 로그

네이피어가 로그를 발명하고, 브리그스가 상용로그의 개념을 만든 후에도, 요즘처럼 정의하는 로그의 개념은 만들어지지 못했다. 이런 상황에서 오늘날 자연 로그(natural logarithm)라 부르는 조금 색다른 방식으로 정의하는 로그가 등장한다. 여기서 우리는 아이작 뉴턴을 만나게 된다. 뉴턴은 자신이 발명한 미적분학을 써서 구간 [1, a]에서 곡선 y=1/x과 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 ln(a)라 할 때, ln 역시 로그와 동일한 성질을 가짐을 증명했다.

ln(x)는위 그림에 표시한 면적으로 정의할 수 있다.

 

즉, 다음처럼 곱셈을 덧셈으로 바꿔주는 함수를 넓이를 이용해서도 정의할 수 있다는 걸 발견한 것이다.

     

가능하면 미적분의 개념을 사용하지 않고 그 이유를 설명해 보기로 하겠다. ln(ab)는 구간 [1, ab]에서 y=1/x과 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이이다. 그 중에서 아래 그림에서 파란색으로 칠한 부분처럼 구간 [a, ab] 사이에서 곡선 y=1/x 과 x축으로 둘러싸인 넓이를 S라 부르자. 이 때, ln(ab) = ln(a) + S임은 당연하므로, S = ln(b)라는 것을 증명하라는 얘기다.

왼쪽 그림의 파란색 영역을 x축 방향으로 a배 줄이고 y축 방향으로 a배 늘리면
오른쪽 그림의 파란색 영역이 된다. 따라서 양쪽의 면적이 같다.

 

영역 S를 x축 방향으로 a배 줄이고 y축 방향으로 a배 늘려도, 영역의 넓이는 변하지 않을 것이다. 그런데 곡선 y = 1/x는 x축 방향으로 1/a배, y축 방향으로 a배 해도 여전히 y = 1/x이다! 따라서 오른쪽 그림의 파란색으로 칠한 부분의 넓이인 ln(b)와 같아진다!

밑을 10으로 하는 로그를 상용로그라고 합니다.
log_10 x 를 간단히 log x 라고 쓸수 있습니다.

자연로그란 상수 e를 밑으로 하는 로그입니다.
log_e x 혹은 간단히 ln x 라고 쓰실수 있습니다.

백과사전이 틀린것 같네요.


그리고 사용처입니다.

은행에 예금한 돈이 언제 두 배가 되느냐 하는 문제를 풀어 본 기억이 있을 것이다.

꽤 복잡한 수식 이었다고 생각이 된다. 그러나 그 답은 아주 쉽게 얻을 수 있다.

즉 0.7이란 수를 이율로 나눠 주기만 하면 된다.

만일 연 이율이 14%라면 5년(0.7/0.14=5)이 걸리고 요즈음처럼 이자율이 내려가서 7%인 경우는 10년이 걸리는 셈이다. 그러면 0.7이란 수는 과연 무엇일까.

이는 2의 자연 로그인 것이다. 어떤 수의 자연로그는 그 수와 같아지는 e의 지수를 나타내므로, 2의 자연로그는 e0.7 =2에서 0.7이 된다.

오일러의 수(Euler's number)라 불리우는 e는 스코틀란드의 에딘버그 근처에 있는 머치스톤의 영주인 네이피어(John Napier, 1550-1617))가 1614년에 발견한 것으로 곱셈을 덧셈으로 변환시킴으로 천문학적 수를 계산하는 부담을 엄첨나게 줄어 주었다.

지금은 컴퓨터의 등장으로 로그와 로그표 및 계산자는 한 시대의 유물이 되었지만 아직도 자연로그는 확률, 통계, 생물학, 물리학, 탄도학, 공학은 물론 음악을 포함한 예술이나 재정학 등 수학의 다양한 응용 분야에서 대단히 중요하게 쓰이고 있다.

< 오일러의 수 e 에 대하여 >

e 는 오일러가 처음 정의하여 쓰게 되었습니다. 오일러가 1736년에 펴낸 Mechanica 라는 책의 60 쪽에 나와 있는 e 의 정의를 살펴보면 '... ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperolocus est 1" 이라는 문구가 나와있는데 저 나름대로 해석해보면 'e 는 자연로그의 값이 1 이 되는 수이다' 입니다.

지수함수의 역사의 기원은 데카르트(Descartes)의 'Geometrie' 라는 책을 제일 먼저 읽은 F.Debeaune 이라는 사람이 어떤 기하적인 문제를 데카르트에게 편지하면서부터라고 합니다. 그는 어떤 곡선 y=f(x) 를 찾고 싶었는데 그 곡선은 다음의 성질을 만족하는 곡선입니다: y=f(x) 위의 각 점 P 에 대해, P 에서 이 곡선에 접하는 접선과 x 축과의 교점 T 와 P 에서 x 축으로 수선을 내려 그 발을 V 라고 둘 때, T 와 V 사이의 거리가 일정한 값 a 가 된다.

데카르트와 페르마(Fermat)의 노력에도 불구하고 이 문제는 거의 50년동안 해결되지 못했습니다. 그런데 1684년 라이프니쯔(Leibniz) 가 위 문제를 다음과 같이 풀어 내었습니다(이 부분은 그림을 그려가며 읽으시면 좋은데 안읽으셔도 상관 없습니다) : x 와 y 가 위 문제의 P 와 V 라고 생각하자. 이 때 x 의 값을 아주 작은 b 값만큼 변화시키면 y 는 두 삼각형의 닮음의 성질에 의해 yb/a 만큼 변화한다. 이 사실을 계속 생각하면 다음을 얻을 수 있다.
x, x+b, x+2b, x+3b,.. 일 때 함수값은 (1+b/a)y, (1+b/a)2y, (1+b/a)3y,...이다.

또다른 지수함수의 역사적 기원이라고 추측되는 것은 오일러가 쓴 1748 년의 책 Introductio 라는 책을 보면 다음과 같은 문제를 다루고 있는 것입니다. '어떤 도시의 인구는 매년 1/30 의 비율로 증가한다. 현재 인구가 100,000 이면 100 년 뒤에는 인구가 얼마나 늘겠는가' 와 ' 어떤 사람이 400,000 프랑(florins?) 을 연이자 5% 로 빌렸다...'. 이러한 문제를 풀기 위해서는 다음과 같은 계산을 해야 합니다.

(1+(1/30))100, (1+0.05)N, 일반적으로 (1+s)N 여기서 s 는 작은 수, N 은 큰 수.

이제 오일러는 위의 문제를 해결하기 위해 작은 수 s 를 1/N 으로 바꾸어 놓고 N 이 아주아주 큰 값일 때 위의 식을 계산해 봅니다. 즉 (1+1/N)N 에서 N 을 무한대로 보낸 값을 이항정리의 도움으로 구하는데 극적으로 다음과 같은 무한급수의 값과 같음을 알았습니다.

1+1+1/(1*2)+1/(1*2*3)+1/(1*2*3*4)+...

오일러는 위의 값이 수렴함을 알고 너무 기뻐했을 것 같은데 이것은 제 생각입니다. 후에 사람들은 1+1+1/(1*2)+1/(1*2*3)+1/(1*2*3*4)+... 의 수렴값을 e 라고 쓰고 오일러수(Euler number) 라고 부릅니다.

자연로그와 관련되어서는 브리그스(Briggs, 네이피어(Napier)와 함께 로그를 연구한 사람)는 로그의 발견 당시 밑이 10 인 로그를 주로 연구하였습니다. 그는 밑이 10인 로그값을 중간항 추가법(Interpoliation, 또는 비례부분의 법칙) 이라는 것을 이용하여 로그표를 계산하였다고 합니다.

이런 와중에 카랄리에리(Cavelieri), 페르마는 y=xa 와 x 축으로 둘러쌓인 넓이를 연구하고 있었습니다. 페르마는 이러한 도형의 넓이를 거의 모든 실수 a 에 대해서 잘 계산을 했지만 a=-1 일때는 계산을 하지 못하고 있었습니다. 그래서 그레고리(Gregoty 1647) 와 안톤 (Anton 1649) 은 1/x 와 x 축으로 둘러쌓인 면적을 로그(logarithm) 이라고 정의하기 시작했습니다. 그리고 양수 a 에 대해 자연로그 ln(a) 를 곡선 1/x 와 구간 [1,a] 로 둘러쌓인 면적으로 정의하게 됩니다.

이때 오일러가 자신의 연구와 그레고리, 안톤의 연구를 통합하는 정리를 증명합니다

e가 자연증가율과 관계가 있기 때문입니다.


자연증가하는 예를 자연에서 찾아보면

유기물의 세포개체수나 뿌리의 성장길이 등,

자연계의 많은 증가들이 위의 자연증가율을 따릅니다.


dy/dt = r y(t)

y(t) = y(0) e^rt 의 형태를 띄는 것들입니다.

즉 개체의 수의 증가율이 현재 개체수와 같을 때를 자연증가율이라고 합니다.



또한 exponential growth 를 reasonable growth 라고도 하는데

다음을 생각해보면 그 이유를 알 수 있습니다.

단리 : 원리금 = 원금(1+이자율*기간)
복리 : 원리금 = 원금(1+이자율)^기간


연 이자율이 100% 이고

우선 복리로 먼저 계산해보면

6개월에 한번씩 이면 어떻게 될까요?
원리금 = (1+1/2)^2 = 2.25$

1개월에 한번씩 이면 어떻게 될까요?
원리금 = (1+1/12)^12 = 2.61$

그럼 매일단위로 계산하면 어떻게 될까요?
원리금 = (1+1/365)^365 = 2.7 $


시간을 자꾸자꾸 쪼개어서 계산하면

즉, t->무한대이면

원리금 = (1+r/t)^t ~ e $ > 2$ 라는 것을 알수 있습니다.

그럼 이제 단리로 계산해 보죠

원금이 1$ 라고 하면 단리로 계산할 경우
기간이 어떠하든 2$ 입니다.
원리금 = 1(1+1/t * t)= 1+1 = 2$

원리금이 가장 작은 6개월과 비교하더라도 2.25/2= 1.125

복리가 단리에 비해 12.5%정도 더 낫다는 것을 알 수 있으며

복리가 단리에 비해 더 reasonable 하다는 것을 알 수 있습니다.


참고로 e~ 2.71828 입니다.

 

1.

수학관련 교양서적에서 빠지지 않고 등장하는 수식이 위의 수식입니다. 바로 유명한 수학자 오일러가 가장 아름답다고 여겼던 수식이지요.

과연, 왜 아름답다고 했을까요?. 그것은 수학의 근본을 이루는 구성요소들이 모여서 하나의 하모니를 이루기 때문입니다.

수식을 잘 살펴보면 모든수의 근원이 되는 1

음수과 양수를 구분짓게하는 0

그리고 초등학교시절 원의 지름과 둘레를 구하는데 많이도 사용된  π

자연로그의 밑수로 사용되는 e

허수의 기본을 이루는 i

수학의 기본인 등호 =

얼핏보면 서로 관계도 없어보이기도 하고,

e라고 하면 2.71......라고해서 무리수라고 들었고 i는 이미 실수도 아닌 녀석이고,  π 또한 무리수라고 하는데

이녀석들이 모여서 실수중에서도 정수인 -1을 만들고 1과 합해져서 0인 만든다는 것이 신의 뜻이라고 생각될 만큼

아름다움을 금치않을 수 없습니다. ^^

그런데 왜 우리는 여기서 상대적으로 덜? 익숙한 e를 살펴보겠습니다..

(저번이야기에서는 복소수 i를 살펴보았고, 시간이 나면 다음에  π 도 살펴보겠습니다.)



2.

e는 고등학생들에게는 꽤나 어렵고, 거부감이 드는 개념입니다.

사실 π 경우는 초등학교 때부터 원의 지름과 둘레를 구하는 예제문제로 철저히 연습되어 왔기 때문에!

그리고 실생활에도 유용하게 쓰기 때문에 π=3.141592......로 존재한다는 사실에 우리는 아무런 거부감이 없습니다.

나중에 중학교에서 그녀석이 2/3같은 유리수와는 차별되는 무리수라는 사실을 알게되더라도

우리는 그냥 그런가보다하고 넘어갈 정도로 익숙한 수이죠~

하지만 e같은 경우는 갑자기 고등학교 책에서 e=lim(1+1/x)^x 라고 정의! 한 다음에 일단 외우라고 합니다.

( ^ 는 지수를 뜻합니다. 예를들어 2^3는 2의 세제곱을 뜻합니다.)

그리고 마구마구 변형해서 값을 구하는 훈련을 거치게 됩니다.

그 과정에서 우리는 뭔가 중요해서 하는가보다라고 하기는 하지만 뭔가 찜찜한 마음을 버릴수가 없게 됩니다..

그런데 왜 e와 π 를 비교하면서 말을 하느냐구요?

왜냐하면 e와 π가 초중고 12년의 교육과정에서 등장하는 유일한 2개의 초월수!(실수에서) 이기 때문입니다..

(실수에서의 초월수는 무수히 많은데 그중에서 2개만 교과서에 나온다는 뜻입니다.^^)

초월수! 수학교양서적에서 한번쯤은 들어보셨을런지도 모르겠습니다..

느낌상으로는 왠지 이상하죠? 뭘 초월한다는 거야? 초월수는 '대수적 수' 가 아닌 수로 정의됩니다.

그럼 '대수적 수'는 무엇일까요? 왠지 수학쪽으로 흘러가는 것 같아서 긴장하실지도 모르겠지만^^(이미 넘어온거냐?! ㅡ_ㅡ;;)

실수에서 대수적인 수는 "유리수를 계수로 가지는 다항방정식의 해가 될 수 있는 것"입니다

예를 들어 √2 는 x^2+1=0 의 방정식의 해가 되므로 실수에서 대수적 수 입니다.

그럼 π 는  방정식의 해가 안된다는 말인가요?  네..그렇습니다.. 증명은요?  생략하겠습니다.^^

역시나 e도 마찬가지로 장정식의 해가 되지 못합니다.

혹시,,왜 방정식의 해가 되는 수가 '대수적 수'라고 이름 붙었는지 궁금하실지도 모르겠네요..

그건 대수(代數)에서 대가 대신할 대라는데 추측해보면 '대수'는 수를 대신하는 것이라는 뜻이 됩니다.

또한 '대수학' 이란 수를 대신하는 것을 연구하는 학문입니다.

중학교에서 x+1=6 같은 방정식을 다루지요? 그때 x는 숫자5를 대신하는 변수입니다.

이렇게 대수는 초기에 방정식의 해를 다루는 학문이었습니다.

영문을 살펴보면 더 확실합니다. 대수학의 영문뜻이 algebra죠 (공대분들이 익숙하신 선형대수가 linear algebra이죠)

유래를 살펴보면 아라비아의 폐르시아계 수학자인 al-Khwarizmi(7C사람)가 대수식의 사칙계산과 이차방정식에 대해서 연구를 했는데요

그의 저서 al-jabr w'al muqabala가 서양에 넘어가서 algebra가 되었습니다. (여기서 al-jabr는 이항 al muqabala는 소거를 뜻합니다. 우리가 방정식을 구할때 많이 쓰는 것들이죠?^^)

알자브르...알제브르...알제브라...??!!!

아무튼 이러한 맥락에서 방정식의 해로써 존재하는 수를 '대수적 수'라고 명명하게 되었습죠^^.

(cf. 지금의 대수학은 집합에서 군,환,체 등의 구조를 논하는 학문으로 발전하였지만 결국 마지막에는 아벨의 5차이상 방정식의 일반해는 존재하지 않는다의 증명으로 마무리가 됩니다. 즉 대수와 방정식은 뗄레야 뗄수없는?? 관계라는 거죠)



3.

자~ 그럼 다시 본론으로 돌아가서 e가 뭔가 색다른 초월수인거는 알겠는데, 왜! 무슨이유로 도입된 걸까요?

수학사를 살펴보면 e보다는 상용로그가 먼저, 상용로그보다는 자연로그가 먼저 도입되었다고 합니다.

헉?! 뭔가 교과서 순서랑 많이 다르죠?

사실 미적분의 발달과정에서 적분이 미분보다 먼저 생긴 개념이라는 것은 널리 알려진 사실이지만 이건 좀 의외이지 않으신가요?

교과서를 살펴보면 로그의 도입은 천문학의 발전에서 필요성이 도입되었다고 하죠~(정확하게는 큰 계산을 하기 위한 도구로서 필요했습니다.)

그럼 그전에는 어떻게 했을까요?

12345*23456 를 계산하고 싶다고 합시다..  12345*23456=0.12345 * 0.23456 * 10^10 으로 바꿉니다.

0.12345=cosx , 0.23456=cosy 로 두고 x,y 를 삼각함수 표에서 찾습니다.. (그 때 삼각함수표는 있었습니다.)

구한 x,y에서 x+y, x-y를 계산해서 cos(x+y) ,cos(x-y)  값을 삼각함수 표에서 찾습니다.

cosx cosy = ½cos(x+y) + ½cos(x-y) 라는 공식을 이용해서 cosx cosy 값을, 즉 0.12345 * 0.23456 를 구합니다.

그리고 10^10을 곱해줘서 최종적인 12345*23456의 값을 구합니다.~


그런데 이 방법보다 로그를 이용하면 훨씬 더 쉽게 값을 구할 수가 있었죠..앞의 방법으로 구하기 힘든 세제곱근3  같은 값도 쉽게 구할 수 있구요.

일단 e의 역사의 시작인 자연로그의 도입먼저 살펴보겠습니다.

자연로그를 네이버에 검색해 보겠습니다.

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자연로그 [自然─, natural logarithm]  
  
요약
실수(實數) e를 밑으로 하는 로그 log x로서, 상용로그와 구별하기 위해 ln x로 쓰는 경우가 많다. 로그의 이론적 연구에는 자연로그가 편리하다.
  
본문
네이피어 로그(Napierian logarithm)라고도 한다. 실수 e＝1＋1/1！＋1/2！＋1/3！＋…＝2.71828… 을 밑으로 하는 로그 log x를 간단히 ln x로 쓰고, 이것을 x의 자연로그라고 한다.  자연로그를 상용로그와 구별하기 위해 ln x로 쓰는 경우가 많다. 로그의 이론적 연구에는 자연로그가 편리하다.

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일단 실수 e의 정의가 좀 다르죠? 그건 나중에 다시 다루겠습니다.

e＝1＋1/1！＋1/2！＋1/3！＋…＝ lim(1+1/x)^x 의 이야기는 그렇게 쉽지만은 않지요

아무튼 영문을 살펴보면 natural logarithm 이라고 되어 있네요..

해석하면 '자연스로운 로가리즘'? 뒤에있는 logarithm은 그리스어로 ratio(비)와 number(수) 의 합성어인 logarithmos(맞나^^?)로 부터 유래된 말로써 "비를 계산한 수"라는 뜻을 가집니다. 즉 자연로그는 '자연스럽게 도입된 비를 계산한 수'라는 뜻인데 뭐가 자연스러운 걸까요?



4.

n이 0, 1, 2, 3,4,5,6,7,8, 9, 10 으로 변할때 (등차수열)

2^n  는   1, 2, 4, 8 ,16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024     로 변하게 되니다.    (등비수열)

그럼여기서 이 결과를 이용해서 16*64를 계산해 볼까요? 16=2^4, 64=2^6 이니까 두개 곱한것은 2^(10)이 되어서

n이 10일때의 2^n의 값이 바로 16*64의 값이 됨을 알 수 있습니다. 16과 64의 곱셈을 4와 6의 덧셈만 함으로써 쉽게 구하는 것이죠!

log의 개념을 살짝 언급하면 logxy = logx + logy 임은 교과서를 통해서 다들 알고 계실껍니다.

물론 이 성질은 10^(xy)=10^x * 10^y에서 온거구요~, 즉 xy의 값을 구하는 과정에서  logx + logy 를 로그표에서 찾아서 구했었죠?

즉, 곱셈을 덧셈으로 바꾸어서 구하는 것이죠.

(로그가 지수의 역의 성질이라는 사실은 훨씬 뒤의 일이지만 말이예요)

곱셈은 계산하기가 복잡하지만 덧셈은 그에비해 얼마나 편합니까? 12345+12345는 쉽지만 12345*12345는 생각만 해도 끔찍하지요?

그런데 저기 표에서는 치명적인 단점이 있습니다..바로. 20*80 같은 것은 저 표를 이용해서 구하지 못한다는 겁니다.

2, 4, 8 ,16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 .......에서 숫자사이의 간격이 너무나도 커서..사이에 있는 숫자를 사용한 곱셈은

무용지물이나 다름없죠!~......즉..저 밑의 수의 차이를 좁여야 뭔가 의미가 있을 겁니다.

그래서 로그를 창안한 Napier는 "초항을 크게하고 등비를 확줄이면 어떨까? " 라는 생각을 하게 됩니다. (정원사가 힌트를 준게 아니구요^^)

.n = 0, 1, 2,3,....... 일 때
10^7(1.00001)^n= 10,000,000, 10,000,100 , 10,000,200 , 10,000,300 ...... 으로 변하게 됩니다.

즉 변화폭이 확 줄었지요? 물론 폭은 100이지만 전체 숫자 10,000,000 에 대한 비로써 보면 미비한 양입니다.


★(주의) 수식 현기증이 있으신 분은 밑의 (★★) 부분으로 바로 쭉~내려가세요


여기서 네이피어는 10^7(1.00001)^n 와 n의 관계에 대해서 생각하게 됩니다.

10^7(1.00001)^n=10^7(1+1/10^5)^n
=10^7{(1+1/10^5)^(10^5)}* n/10^5

이 식이 성립하게 되는데(그냥 적당히 안보셔도 되요 ^^)

결국 저 표에서 공비를 더 줄이는 (1.000000000000000001 같이 팍팍 줄여나가는..)

행위를 하면 할 수록 (1+10^5)^(10^5)은 뭔가 어떤 수로 갈것이라 생각했고 그것이 바로 e의 최초개념입니다.

여기서 y=n/10^6, x=10^7(1.00001)^n/10^7로 두면 y=lnx가 된다는 것을 네이피어는 알았죠..

(★★) 그래서 네이피어는 지금의 로그개념의 lnx 대신 Nogx (Nap log)를 사용하였습니다.

그런데 최초의 로그는 현대적 ln와는 Nogx=10^7ln10^7/x 과 같은 관계가 있어서 조금 사용하는게 애로사항이 있었죠.

그래서 Brigg라는 친구가 현대식 ln와 그 개념을 10진법에 맞추어 수정한 상용로그 log를 도입하게 됩니다...


5.

그런데 단지 계산과정에서 도입된 자연로그 ln이 중요한 성질을 가진다는 것을 Vincent Gregory라는 사람이 알게 됩니다.(17세기 사람이었던가요? ^)

그사람은 y=1/x의 그래프의 넓이를 구하던 중에(물론 현대적 미적분이아니라 구분구적법으로 구했습니다.) 그 그래프와 x축이 이루는 a에서 b까지의 넓이는 (a>b>0)  임의의 양수 t에 대해서 ta에서 tb까지의 넓이와 같다는 사실을 발견하게 됩니다. a와 b보다 ta와 tb사이의 폭이 더 크고 1/x는 감소그래프니까 그럴듯하죠? (물론 그레고리는 증명을 제시합니다.)



★(주의) 아래부분이 어려우시면 (★★) 부분으로 바로 쭉~내려가세요

그런데 사실 이건 그렇게 의미가 있지는 않고 놀러온 그의 친구 Sarasa가 그 증명결과를 이용해서 1부터 ab사이의 넓이는 1부터 a사이의 넚이와 1부터 b사이의 넚이의 합과 같음을 증명합니다... 이게 무슨 의미가 있느냐구요?
1부터 x까지의 넓이를 S(1,x)라고 그냥 씁시다.. 그럼 사라사의 증명결과는 S(1,ab)=S(1,a)+S(1,b)라는 건데..
어디서 많이 보신거죠?

  바로 lnxy = lnx + lny 입니다!!!!......

(★★) 수학자들은 그들의 직관력으로 1/x를 적분한 그래프가 lnx라는 사실을 깨닫게 되는 것이죠

lnx=∫1/x dx는  x대신 1+x을 넣어보면 ln(1+x)=∫1/(1+x)dx 라는 사실은 엄청난 폭풍을 가져오게 됩니다!

왜냐하면 수학자들은 1/(1+x) = 1 - x + x^2- x^3 + x^4 - ..........으로 나타낼 수 있으므로
ln(1+x)=∫1/(1+x)dx =∫ 1 - x + x^2- x^3 + x^4 - ......dx = x - x + x^2 +..........으로 나타낼 수 있었죠

즉 로그 함수를 다항함수의 합으로 표현가능하다는 것을 깨닭은 겁니다.!!

그것은 몇몇 엄청난 직관력을 가진 수학자들에 의해 제시된 모든 함수는 다항함수의 무한급수합으로 나타낼 수 있다는 믿음에

힘을 실어주게 됩니다.(물론 이것은 대학 미적분학의 2절 혹은 3절?정도에 등장하는 테일러 급수의 초보적인 개념입니다.)


★(주의) 아래부분이 어려우시면 (★★) 부분으로 바로 쭉~내려가세요

또한 뉴턴은 sinx=x - 1/6 x^3 +1/120 x^5......을 기하학적인 방법으로 증명하였는데, 이것을 통해서 sinx의 적분값의 근사값을 구할 수 있었습니다.

그때 cosx와 sinx의 역관계(sinx미분하면 cosx가 되는...)에 대해서는 알려지지 않았고..그 때 적분할 수 있었던 함수는 오직 다항함수 였는데 x^n 적분하면 (n+1)x^(n+1) 이런 정도 수준이었습니다.

사실 아르키메데스가 포물선(x^2)의 면적을 구한후 x^n의 면적을 구하는 과정을 아는데 까지는 거의 1800년의 세월이 필요했습니다.

한 수학자는 x^10까지의 값을 구하는데 평생을 바쳤었죠....(후,....)

아무튼 자연로그의 수학에 대한 공헌은 아주큰 부분이었습니다.

그렇다면 e의 도입은 어떻게 이루어 진것일까요?


6.

(★★)  e가 유명한 수학자 Euler의 첫글자인 e를 따왔다는 유력한? 설이 있습니다.  

여하튼 e는 오일러가 최초로 도입하였습니다. 그가 최로로 도입한 e의 정의는

" a^x의 x=0 에서의 기울기가 1이되는 a를 e라고 한다" 입니다..왠지 좀 또다시 의외이죠?

오일러는 무한소의 방법(직관적인)으로 기울기가 1이되는 a를 구하였는데요

그값은 1+1+1/2! + 1/3! + 1/4! + ............이었으며 같은 식으로 부터
그 값이 lim(1 + 1/n)^n과 같음을 증명하였습니다. (물론 그 증명은 지금에서는 증명이라고 생각하기 어려울 만큼 비약이 심합니다만....해석개론이라는 학부수업에서 같음을 엄밀하게 증명할 수 있습니다만 오일러의 증명에 비해서 상대적으로 굉장히 복잡하죠)

따라서 1+1+1/2! + 1/3! + 1/4! + ............=  lim(1 + 1/n)^n 였으며 그값을 자신의 이름을 따서 e라고 정의하게 됩니다..