유제 2-23, 필수예제 28

[럭키감자]

https://cafe.daum.net/math-hm/pRQl/729?svc=cafeapi

유제 2-23-(2) 답지 관련 질문의 답글을 보고 m이 자연수라는 조건이 없으니 답지의 저 부분은 무시하고 일반화된 이항정리가 적용된 것이라고 이해했습니다.

그런데 필수예제 28-(3) 교수님 강의에서

유제 2-23 답지 풀이와 똑같이 풀이하셔서요.. (n이 m보다 커지게 되면 0이 되어서 n=m까지만 보면 된다)

질문입니다!

1. 유제 2-23-(2)에서는 m이 자연수라는 조건이 없어서 현재 답지 풀이는 불가능하고, 일반화된 이항정리를 바로 적용해야 한다고 이해한 것이 맞을까요?(답지가 결국 수정이 안 되어있어서 잘못 생각하는 건가 싶습니다 ㅠㅠ)

2. 필수예제 28-(3)에는 문제 자체가 순열로 시작해서 m이 자연수일 수밖에 없어서 유제 2-23-(2)와 다르게 이런 해석이 가능한건가요?

3. 그냥 일반화된 이항정리를 바로 적용해서 하지 않고 m까지만 하면 된다는 과정이 꼭 필요한건지 궁금합니다. 일반화된 이항정리의 조건에 절댓값x가 1보다 작을 때라는 조건이 걸려있어서 그런 걸까요? 조건 때문이라면 이산수학에서는 이런 범위 조건은 무시하고 풀어도 된다고 하셨는데 이럴 때는 또 신경 써줘야 하는 걸까요?

[박정환]

1. 풀이 수정이 안되어있었네요. 풀이 마지막 괄호부분 삭제해주세요. m이 자연수라는 조건이 들어가는게 맞는데 아니어도 성립하는 상황이긴 합니다.
2. 네. m은 자연수라고 보시면 됩니다.
3. m이 자연수면(유제 문제도 문제 의도는 m이 자연수 조건이 붙는게 맞습니다) 일반화된 이항정리까지 생각하지 않고 수업에서 설명하신 풀이대로 하면 충분합니다.
m이 자연수가 아닐 때는 일반화된 이항정리를 적용하면 되는데 n=m까지만 더하는 풀이를 적용하면 안되겠죠.
|x|<1이라는 조건은 위 내용과 별개로 등식이 성립하기 위해 반드시 필요한 조건이 맞고, 여기서는 암묵적으로 |x|<1이라고 가정하고 식을 전개한다고 보시면 됩니다. 이산수학에서 급수 수렴 조건을 무시하는 이유는 경우의 수를 구하는 도구로 이용되는 것이 생성함수이고, 이건 단지 형식적 멱급수로 사용되기 때문인데 여기서 급수의 수렴성이 중요하지 않기 때문입니다.