E=MC2 유도하기!
설마 모르는 쭉빵인 없겠지?! ㅎ 하지만 옛날기억 되살려보자고 추억삼아 가져와봤어!
특수 상대성 이론에서의 로렌츠 변환
특수 상대성 이론은 다음의 두 가지 가설을 전제로 진행 되는데, 하나는 물리학의 모든 법칙은 모든 관성기준틀 내에서 동일한 형태를 갖는다는 상대성 원리이며, 다른 하나는 진공에서의 빛의 속력은 관측자의 위치나 운동에 무관하게 모두 같은 속력을 갖는다는 광속 불변성의 원리다.
우리는 뉴턴 역학에서 속력과 시간, 거리에 관한 개념을 잘 알고 있다. 그리고 뉴턴 역학에서 기술하는 좌표의 형태 역시 일상에서 우리가 사용하고, 체감하는 그것과 동일하다. 이 때 사용하는 좌표 변환 즉, 처음 위치에서 다음 위치로 이동했을 때의 좌표 기술의 형태를 갈릴레이 변환이라고 한다.
이를 수식으로 나타내면 다음과 같다
그런데 이러한 좌표변환을 방식은 일상의 범위에서는 잘 맞아 떨어지지만, 광속에 접근하게 되면 이 변환은 성립하지 않게 된다. 때문에 이러한 변환을 합리적으로 수행 하기 위해 다음과 같은 좌표 변환을 추측할 수 있다.
여기서 G는 상수이다. 그리고 이 변환에 대한 상대좌표의 변환 역시 다음과 같이 서술 할 수 있다.
이제 이 식을 위의 식에 대입하여 정리하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
이렇게 하면, 한 좌표계에 대한 시간과 거리에 관한 관계를 알게 되었다. 이제 위의 첫 번째 식(x')과 세 번째 식(t')을 각각 미분하여 속력(v=dx/dt)에 관한 관계를 구해보자.
그런데 특수 상대성 이론의 가설 중, 빛의 속력은 관측자의 운동상태나 위치에 무관하게 항상 같은 속력을 가지므로, 만일 v=c 이라면 v'=c가 역시 성립 하여야 한다. 따라서
상수 G의 값을 알 수 있다. 이 상수를 처음
식에 대입하여 정리면 새로운 좌표 변환식이 완성된다
이것을 로렌츠 변환이라고 부르며, 위 식을 보면 속력이 점차 빨라 질수록 길이가 줄어들며 시간은 천천히 흐른다는 것을 유추해 낼 수 있다. 우리가 일상 생활에서 이것을 체감하지 못하는 것은 우리가 너무 느리게 움직이고 있기 때문이다.
운동량 보존과 에너지 보존의 법칙
충돌하는 물체는 운동량이 보존된다.
로렌츠 변환에서
이므로, 속력은
이다. 운동량은 p=mv로 정의되며, 전과 후의 운동은 보존된다. 이때 정지된 관측계에서 서로반대방향으로 진행하는 입자의 완전탄성충돌을 예를 들면
으로 운동량 보존의 법칙이 성립한다. 또한 특수상대성이론의 가설에 1에 의해 모든 관성계에서는 동일한 형태를 가져야 한다.
이 가설을 이용하여 오른쪽 방향으로 v의 속력을 갖는 관측계에서의 관측결과 또한 위와 같아야 한다. 따라서
즉, 운동량 보존의 법칙이 만족되지 않는다. 따라서 운동량에 관한 새로운 정의가 필요하다.
E=mc²
이때 v는 입자의 속력이며, 이와 같이 정의 하면 모든 관측계에서 특수상대성원리의 가설을 만족하는 결과를 볼 수 있다.
힘 F는
와 같이 정의되며 이를 새로운 정의에 따른 상대적 뉴턴 제2법칙으로 정의하면
으로부터 에너지를 정의하면
이때 dp/dt 와 dx는
따라서
운동에너지 K는 E-U 이므로 다시
이라 쓸 수 있다.
정지상태의 물체의 속력은 0이므로 K=0 된다.
따라서 물체의 정지에너지 E는
이다.
맞아맞아!!나도 동의해!
내가 이거 엄마 뱃속에서 유도하다가 양수 터져서 태어났잖아;
나 웜톤임
1776번째 줄에 오류 있네^^ 수정좀 부탁할게 !ㅎ
헉 조심해야겠다,,,ㅠㅠ
너도 모르자나
아~~~이거~~~
와 이거 진짜 추억이다 이거 학교 입학하기 전에 기본기로 배우는 거 아니야?
오~~ 역시 여전해
히히 오줌발싸
내가 아는 엠씨는 엠씨민지밖에 없어
내 욕 하지말라고
고2 때 물리선생님이 저 식 칠판빼곡히 다써가면서 증명해줌
맞아 저거 노래로 해서 가사붙여서 부름
아~~~난또뭐라고~~~
아떡볶이먹고싶다~
냐하~~~
뭐래
이미유치원생때뗌
아그거~!!
닥치라
하,, 이거 추억이다,, 굴다리 밑에서 싱하형이랑 풀던게 엊그제 같은데,,
공식 뒤에 공간있음