텐서장(tensor場)[= 장량장(張量場)] 그리고 공변 미분(共變 微分)

[석수]

텐서장(tensor場) 같은 기하학적 대상의 '미분'을 정의할 수 있도록 해주는 연산자는 공변 미분이다


텐서장과 같은 기하학적 대상의 '미분'을 정의할 수 있도록 해주는 핵심 연산자는 **공변 미분(Covariant Derivative)**입니다.

일반적인 편미분과 달리, 공변 미분은 휘어진 공간(다양체)이나 일반적인 좌표계에서도 텐서의 기하학적 성질을 보존하면서 미분할 수 있게 해줍니다. 

공변 미분 (Covariant Derivative, \(\nabla \)) 

필요성: 유클리드 공간의 직교 좌표계에서는 단순한 편미분(\(\partial \))으로도 텐서의 미분을 정의할 수 있습니다. 그러나 일반적인 곡선 좌표계나 휘어진 다양체에서는 좌표계 자체가 변하기 때문에 기저 벡터의 크기와 방향도 함께 변합니다.

단순 편미분은 이러한 기저 벡터의 변화를 고려하지 못하므로, 미분 결과가 좌표 변환에 대해 텐서의 성질(물리적 불변량)을 만족하지 못합니다.

역할: 공변 미분은 기저 벡터의 변화량까지 포함하여 계산함으로써, 어떤 좌표계에서도 동일한 물리적 의미를 가지는 '진정한' 미분값을 제공합니다.

표현: \(\nabla \) (나블라) 기호를 사용하여 나타내며, 텐서의 종류에 따라 그 형태가 달라집니다.

예를 들어, 반변 벡터장 \(V^{\mu }\)의 공변 미분은 다음과 같이 표현됩니다.\(\nabla _{\nu }V^{\mu }=\partial _{\nu }V^{\mu }+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }V^{\lambda }\)여기서 \(\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }\)는

**크리스토펠 기호(Christoffel symbols)**로, 공간의 곡률과 좌표계의 특성을 반영하는 보정 항입니다. 

관련 다른 연산자들 외미분 (Exterior Derivative, \(d\)): 미분 형식(differential forms, 일종의 특수한 텐서장)에 대한 미분 연산자로, 좌표계에 무관하게 정의되는 강력한 연산자입니다.리 미분 (Lie Derivative, \(\mathcal{L}_{X}\)): 벡터장 \(X\)를 따라 텐서장이 어떻게 변하는지를 나타내는 연산자로, 대칭성 연구에 주로 사용됩니다. 

결론적으로, 텐서장의 '미분'을 가능하게 하는 가장 일반적이고 핵심적인 연산자는 공변 미분입니다. 


'텐서장(tensor場)'의 한자는 **장량장(張量場)**입니다.

각 한자의 의미는 다음과 같습니다:


張 (베풀 장/당길 장): '길게 늘어놓다', '잡아당기다'라는 뜻을 가지고 있습니다.

"텐서(tensor)/장량(張量)"의 어원인 라틴어 'tensus'(늘어나는 것=張)와 연결됩니다.

量 (헤아릴 량/양): '헤아리다', '분량', '크기' 등을 의미합니다.

場 (마당 장): '마당', '곳', '영역'을 의미하며, 영어의 'Field'(장)에 해당합니다.

즉, 텐서장은 공간의 각 점에 텐서라는 물리량을 할당하는 개념을 나타냅니다.



텐서장이란 수학적 공간의 각 지점에 텐서가 할당된 것을 의미합니다. 텐서는 스칼라나 벡터, 행렬을 일반화한 개념으로, 공간의 각 지점에 위치에 따라 다른 텐서가 대응되는 함수 또는 함수 집합을 지칭합니다.

주요 개념

텐서: 텐서는 여러 벡터 공간과 그 쌍대 공간들을 복합적으로 연결한 구조로, 0차원은 스칼라(크기), 1차원은 벡터(크기와 방향), 2차원은 행렬 등을 의미합니다.

장(Field): 수학이나 물리학에서 '장(field)'은 공간의 각 지점에 어떤 값이 대응되는 것을 의미합니다.
텐서장: 따라서 텐서장은 공간의 각 지점에 텐서가 위치에 따라 달라지는 텐서가 붙어 있는 상태를 말합니다.

응용: 텐서장은 일반 상대성 이론, 응력 분석 등 다양한 분야에서 사용됩니다.

텐서장의 예시

일반 상대성 이론: 시공간의 각 지점에서 중력장의 텐서장을 정의합니다.
응력 분석: 재료의 각 지점에서의 응력 상태를 텐서장으로 표현합니다.





텐서(tensor) 또는 장량(張量)


응력 텐서(應力, stress tensor)


텐서(tensor) 또는 장량(張量)은 여러 벡터 공간 및 그 쌍대 공간들을 일종의 '곱연산'을 사용해 복합적으로 연결시킨 구조이다. '길게 늘어나는 것'이라는 뜻의 라틴어에서 왔다.

벡터 계산을 단순화하기 위해 같은 성질의 여러 벡터를 한 행렬 안에 표기하고 그것을 단순화하여 표기한 것으로 보면 된다. 변환 형식과 관련된 것으로 흔히 행렬로 표현한다.

데이터과학이나 컴퓨터과학의 관점으로는 텐서를 단순히 2차원 행렬을 N차원으로 확장한 것으로 직관적 이해가 가능하지만, 물리학이나 미분기하학에서는 이 이외에도 기하적 의미를 지닌다.

행렬의 확장,일반화가 물리학에선 텐서라 할 수 있지만 수학에선 엄밀한 정의가 아니다.




텐서장은 공간의 각 지점마다 벡터나 다른 텐서 등 텐서의 요소를 갖는 함수입니다. 공변 미분은 텐서장이 공간을 따라 어떻게 변하는지 나타내는 미분으로, 텐서장의 개념을 확장하여 서로 다른 지점에 있는 텐서를 비교하고 미분하기 위해 도입되었습니다. 이는 텐서장 자체의 '곡률'을 나타내는 개념입니다.

텐서장과 공변 미분의 관계

텐서장: 특정 공간에서 위치에 따라 텐서의 값(예: 벡터, 스칼라, 행렬)이 정의되는 함수입니다. 예를 들어, 중력장을 나타내는 아인슈타인 텐서도 텐서장의 한 예입니다.

공변 미분: 텐서장이 변하는 정도를 나타내는 텐서장의 미분입니다. 일반적인 미분과 달리, 곡선 좌표계나 곡면 위에서도 정의할 수 있습니다.
핵심: 공변 미분은 텐서장뿐만 아니라 다양한 텐서장에 적용할 수 있습니다. 예를 들어, 벡터장의 공변 미분은 다시 벡터장이 되고, 텐서장을 미분하여 새로운 텐서장을 얻습니다.

공변 미분의 중요성

일반 상대성 이론: 아인슈타인 방정식과 같은 일반 상대성 이론의 근간을 이루는 핵심 개념입니다. 이 이론에서 물질과 에너지가 시공간의 기하학을 어떻게 휘게 하는지 설명하는 데 사용됩니다.


다양체와 접속: 공변 미분은 «접속»이라는 개념을 도입하여 정의됩니다. 접속은 «다양체»의 각 지점에서 «벡터»나 텐서를 서로 비교하고 평행 이동할 수 있는 방법을 제공하며, 이를 통해 미분이 가능하게 합니다.
보존량: 텐서장의 공변 미분이 0이라는 것은 그 텐서장이 «보존»된다는 것을 의미합니다.

예를 들어, 아인슈타인 텐서의 공변 발산이 0이라는 것은 에너지-운동량 보존 법칙을 나타냅니다.


공변 미분(영어: Covariant derivative)


공변미분의 한자는 **共變微分**입니다.

'공변(共變)'은 '함께 변한다'는 뜻이고, '미분(微分)'은 '매우 작게 나눈다'는 뜻입니다. 따라서 공변미분은 '함께 변하는 성질을 고려하여 미분한다'는 의미입니다.

共 (함께 공): 함께, 같이라는 뜻을 가집니다.
變 (변할 변): 변하다, 바뀌다는 뜻입니다.
微 (작을 미): 미세하다, 작다는 의미를 가집니다.
分 (나눌 분): 나눈다는 뜻입니다.


수학에서 공변 미분(영어: Covariant derivative)은 다양체의 접벡터를 따라 미분을 지정하는 방법이다. 다른 한편으로, 공변 미분은 틀다발에 대한 주접속으로 주어진 접근 방식과 대조적으로, 미분 연산자를 통해 다양체에 접속을 도입하고 작업하는 방법이다. 더 높은 차원의 유클리드 공간에 등거리적으로 포함된 다양체의 특별한 경우, 공변 미분은 유클리드 방향도함수의 직교 투영을 다양체의 접공간으로 볼 수 있다. 이 경우 유클리드 미분은 외부 법선 성분(포함에 따라 달라짐)과 내부 공변 미분 성분이라는 두 부분으로 나뉜다.

이름은 물리학에서 좌표 변환의 중요성에 의해 동기 부여된다. 공변 미분은 일반 좌표 변환 하에서 공변적으로 변환하며, 즉 변환의 야코비 행렬을 통해 선형적으로 변환한다.

이 글은 벡터장의 벡터장에 대한 공변 미분에 대한 소개를 좌표 독립적인 언어와 국소 좌표계 및 전통적인 지표 표기법을 사용하여 제시한다. 텐서장의 공변 미분은 동일한 개념의 확장으로 제시된다. 공변 미분은 벡터 다발 위의 접속 개념으로 직접적으로 일반화되며, 이는 코쥘 접속(영어: Koszul connection)으로도 알려져 있다.