<p class="cafe-editor-text">수학적 귀납법으로 이 문제 증명한 것이 올바른 풀이인지 봐주세요.<br /></p><p><img src='https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/9944373359C5DAE206' class="txc-image" /></p>
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첫댓글n=k 일때 성립함을 가정하고 그 식을 이용하여 n=k+1 일때도 성립함을 보여야합니다 pf) 양변에 (k+1)^2 을 더하면 1^2 +2^2 + .....+k^2 +(k+1)^2 =1/6 k(k+1)(2k+1) +(k+1)^2 우변을 정리하면 1/6 (k+1)(k+2)(2k+3) 즉, n=k+1 일 때에도 성립하므로 모든 자연수에 대하여 성립한다
레드향기님이 하신 방법은 'P(n)이 참이므로 P(k)도 성립하고 P(k+1)도 성립한다'라고 하신 것과 같습니다. 증명을 한 것이 아니라 참임을 이미 확정한 상태에서 k와 k+1인 경우에 갖다 쓴 것 입니다. 위에 고랑몰라님이 보여주셨듯이 k+1을 대입해서 증명할 식을 만드는 것이 아니라 k일 때 성립한다고 가정한 식에서 순수하게 등식의 성질(같은 수를 더하거나빼거나 곱하거나 0아닌 수를 나누거나)만을 이용해서 k+1을 대입한 것과 같은 식이 되도록 유도하셔야 합니다. 그런 후에야 k일 때 성립하면 필연적으로 k+1일 때도 성립한다는 결론을 얻을 수 있습니다.
첫댓글 n=k 일때 성립함을 가정하고 그 식을 이용하여 n=k+1 일때도 성립함을 보여야합니다
pf) 양변에 (k+1)^2 을 더하면 1^2 +2^2 + .....+k^2 +(k+1)^2 =1/6 k(k+1)(2k+1) +(k+1)^2
우변을 정리하면 1/6 (k+1)(k+2)(2k+3)
즉, n=k+1 일 때에도 성립하므로 모든 자연수에 대하여 성립한다
감사합니다.
레드향기님이 하신 방법은 'P(n)이 참이므로 P(k)도 성립하고 P(k+1)도 성립한다'라고 하신 것과 같습니다.
증명을 한 것이 아니라 참임을 이미 확정한 상태에서 k와 k+1인 경우에 갖다 쓴 것 입니다.
위에 고랑몰라님이 보여주셨듯이 k+1을 대입해서 증명할 식을 만드는 것이 아니라
k일 때 성립한다고 가정한 식에서 순수하게 등식의 성질(같은 수를 더하거나빼거나 곱하거나 0아닌 수를 나누거나)만을 이용해서 k+1을 대입한 것과 같은 식이 되도록 유도하셔야 합니다. 그런 후에야 k일 때 성립하면 필연적으로 k+1일 때도 성립한다는 결론을 얻을 수 있습니다.
이렇게 고치면 어떤가요?
@레드향기 일단 ii)에서 k를 모든 자연수로 하면 그 또한 P(n)이 모든 자연수에서 성립한다 한 것이 되어서 증명이 의미 없어지므로 어떤 자연수로 바꿔야 합니다. 그리고 (k+1)^2 더한 우변을 저런 형태로 변형하는 과정이 들어있어야 합니다.
@성지훈 밥도 안먹어서 이만 퇴근해야겠습니다. ㅋ 계신 샘들이 도와주실거에요. 그리고 먼저 질문하셨던 것들도 피드백 부탁드립니다.