그렇군요. 우선 납득이 가실지 모르겠으나 '증명'이 아닌 '설명'을 해 보려고 합니다. 혹시 '증명'을 원하시면 다시 말씀을 해 주세요. 대칭 행렬이 positive definite 하다는 것은 그 고윳값이 모두 양임을 말합니다. 고윳값이 모두 양이니 이러한 행렬은 행렬식이 양이겠지요. 그 역도 성립하면 얼마나 좋겠습니까마는 아시다시피 역은 성립하기 어려운 것이 n>2일 때 고윳값이 음수인 것이 짝수개씩 들어있게되면 행렬식은 양이지만 양의 정부호는 안 되게 됩니다. 이때 고윳값을 l1, l2, ... ln 이라 하지요. 지금 본 것은 l1l2l3...ln 이렇게 곱한 것이 양수라 해서 그 각각이 양수라는 말은 못한다는 이야기 입니다. 그러나 우리가 l1, l1l2, l1l2l3, .... , l1l2l3...ln 이러한 앞에서부터 차례로 곱한 것이 각각이 양이라면 결국 l1, l2, ... ln 이 모두 양이어야 한다는 사실을 알고 있습니다. 위에 언급한 정리의 증명은 훨씬 복잡하기는 하나, 본질적으로 방금 설명한 내용과 철학적으로는 같은 이치입니다. 증명이 필요하신가요?
비밀글 해당 댓글은 작성자와 운영자만 볼 수 있습니다.21.01.02 00:29
첫댓글 질문이
"실 대칭 행렬 M이 양의 정부호일 조건이 leading principal submatrix의 행렬식이 모두 양임과 동치이다'
가 왜 성립하는지 모르겠다는 것 맞나요?
아니면 그 내용은 알고 있지만 저 문제의 풀이가 왜 저렇게 되는지 모르겠다는 이야기인가요?
전자입니다. . ;
그렇군요. 우선 납득이 가실지 모르겠으나 '증명'이 아닌 '설명'을 해 보려고 합니다. 혹시 '증명'을 원하시면 다시 말씀을 해 주세요.
대칭 행렬이 positive definite 하다는 것은 그 고윳값이 모두 양임을 말합니다. 고윳값이 모두 양이니 이러한 행렬은 행렬식이 양이겠지요. 그 역도 성립하면 얼마나 좋겠습니까마는 아시다시피 역은 성립하기 어려운 것이 n>2일 때 고윳값이 음수인 것이 짝수개씩 들어있게되면 행렬식은 양이지만 양의 정부호는 안 되게 됩니다.
이때 고윳값을 l1, l2, ... ln 이라 하지요. 지금 본 것은 l1l2l3...ln 이렇게 곱한 것이 양수라 해서 그 각각이 양수라는 말은 못한다는 이야기 입니다. 그러나 우리가 l1, l1l2, l1l2l3, .... , l1l2l3...ln 이러한 앞에서부터 차례로 곱한 것이 각각이 양이라면 결국 l1, l2, ... ln 이 모두 양이어야 한다는 사실을 알고 있습니다.
위에 언급한 정리의 증명은 훨씬 복잡하기는 하나, 본질적으로 방금 설명한 내용과 철학적으로는 같은 이치입니다. 증명이 필요하신가요?
감사합니다. 그럼 행렬이 nxn경우라면 소행렬식 2x2부터 n-1 x n-1까지 양임을 보여야 하는게 맞나요?
@호메오까메오오레오 비슷합니다. 1x1 부터 자기자신까지 주대각부분소행렬식이 모두 양임을 보이면 됩니다.
@신선물고기 늦은시간에도 답변주셔서 정말 감사합니다.
말머리를 달아주세요. 이번엔 제가 달았습니다.