원방각 혹은 천지인은 3체문제인가?

[유토피아]

삼체 문제(三體問題, three-body problem)는 세 개의 물체간의 상호작용과 움직임을 다루는 고전역학 문제이다.

삼체문제는 태양 지구 달의 세천체의 궤도에 대한 물음에서 시작되었다.

아이작 뉴턴은 그의 저서 프린키피아에서 세계의 물체가 중력을 주고받으며 움직이는 경우에 대하여 다루었다.

삼체문제는 오일러 시대부터 수학의 모든 영역 안에서 가장 어려운 문제 가운데 하나로 생각되어왔다. 수학적으로 이 문제는 9개의 연립미분방정식을 푸는 것으로 귀착된다. 라그랑주는 이 연립방정식을 더욱 간단한 것으로 귀착시키는데 성공했다. 방정식의 해는 대개 물리학상의 문제가 그런 것처럼 유한의 모양이라고 기대할 수 없다. 즉 대체로 해가 존재한다면 그것은 무한급수로써 주어질 것이다. 이 급수가 변수의 일정한 구간에서 방정식을 (형식적으로) 만족하고, 또한 수렴할 때 해가 '존재한다'고 할 수 있다. 새로운 어려움은 그 수렴성을 증명하는 데 있었다. 1905년에 이르기까지 여러 가지 특수해가 발견되었다. 그러나 일반적이라고 할 수 있는 것은 어느 하나도 얻을 수가 없었다. 헬싱키의 준드만은 3체가, 세 개가 동시에 충돌하는 지극히 드문 경우를 제외하고는 해가 존재한다는 것을 증명했다. 이 해는 수치계산에 사용될 수 없었고, 실제의 천체 운동에 많은 지식을 제공하는 것도 아니었지만, 중요한 것은 그 때까지 풀 수 없었던 문제가 풀린다는 것이 증명되었다는 것이다.
달/지구/태양으로 이루어진 계의 운동을 흔히 3체문제(three body problem)라고 부른다. 그 명칭에는 충분한 이유가 있다. 뉴턴이 깔끔하게 풀었던 2체 문제와는 전혀 다르기 때문에 다른 은하나 다른 우주의 다른 행성에서 고안된 문제가 아닐까 하는 생각이 들 정도이다.
3체 문제는 거리 역제곱의 중력 법칙하에서 3개의 질량 사이에 일어나는 운동을 기술하는 방정식의 해를 요구한다. 지난 수세기 동안 많은 수학자들이 그 문제의 답을 구하기 위해 애썼다. 그러나 들로네가 계산한 근사치를 제외한다면, 수학자들은 놀랄 만큼 완벽하게 실패한 셈이다.

쉽게 얘기해서 두개의 천체(또는 질량을 가진 물체)사이의 운동은 정확한 계산이 가능하지만 여기에 제3의 천체가 개입하게되면 계산이 불가능하고 근사치만을 갖게 된다.

그런데 실제 천체의 운동은 여러개의 천체가 서로 작용하므로 그 정확한 운동은 구해낼수 없다는 것이다.

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삼체문제에는 새로운 두 가지의 놀랄 일이 있다.

May 30, 2012, by Hamish Johnston, physicsworld.com

미국의 물리학자들이 새로운 종류의 삼체(three-body) 구속 상태가 장거리 상호작용을 경험하는 원자들에 존재함을 계산해 냈다.

이 상호작용 자체는 너무 약해서 같은 원자들 두 개씩 쌍이 되도록 구속하지는 못한다.

 이 같은 상태들은 과거 단거리 상호작용에 영향을 받는 보손(boson) 계열 원자들에서 발견되었으나, 최근 연구팀이 발견한 현상은 이와는 매우 다르다.

특히 페르미온에서도 발생할 수 있기 때문이다.

 연구원들은 새로운 상태를 이론적으로 계산만 했지 아직 보지 못했으나, 초저온(ultracold) 상태의 원자 가스 실험에서 밝혀질 수 있다고 한다.

삼체(三體)면 서로 달라붙는다. 그러나 이체(二體)면 그렇지 않다.

두 개의 원자들로는 서로 묶일(혹은 속박될) 수 없지만, 세 개의 원자들이 느슨하게 묶인(혹은 속박된) 양자 상태를 형성할 수 있다는 아이디어는 러시아의 물리학자 비탈리 에피모프(Vitaly Efimov)가 1970년대 초에 최초로 예견했다.

 지금은 "에피모프의 삼체 속박 상태"로 알려졌는데, 지난 2006년 오스트리아 인스부르크 대학의 한스-크리스포트 네걸(Hanns-Christoph Nägerl)이 이끄는 팀에 의해서 10nK까지 초저온으로 냉각된 세슘 원자 가스에서 발견되었다.

 에피모프 상태는 보손 원자들에서만 생겨난다.; 보손이란 스핀 값이 정수인 원자들을 말하며, 페르미온은 분수 값을 갖는다.

* nK는 나노켈빈(nano Kelvin)을 뜻한다. 절대 온도 0도에 얼마나 근접했는가를 따지기 위해 10-9K

요점

에피모프 상태의 중요한 특징은 원자들 간의 상호작용이 단거리에 적용된다는 것이다. 달리 말하자면 원자들 간의 거리 역제곱보다 더 빠르게 감소하는 인력 퍼텐셜(attractive potential)로 기술된다는 것이다. 만일 퍼텐셜이 장거리에 미친다면 에피모프의 계산은 적용되지 않으며, 따라서 에피모프 상태도 존재하지 않는다. 물론 장거리 퍼텐셜이 강할 수 있다면, 무한정 많은 삼체 속박 상태가 있을 테지만, 그러나 그 경우는 에피모프 상태는 아니다.

* 이 긴 표현을 수식으로는 간단히 이렇게 쓴다. → " Uatr ⟨ 1/r2 "

그러나 지금까지 퍼텐셜이 너무 약해서 원자 쌍들을 묶을 수 없는 경우, 삼체 속박 상태가 존재할 지 명확하지 않았다. 캔자스 주립대의 브렛 에스리(Brett Esry)와 동료들은 매우 약한 거리 역제곱 퍼텐셜에 의해서 서로간 인력이 작용할 때 세 원자들 사이에 속박 상태가 일어나야 함을 발견했다. 연구팀은 세 개의 동일한 보손들에 대한 삼체 슈뢰딩거 방정식의 수치 해석을 연구하여 이 같은 결론에 도달했다.

에스리가 해내다.

에스리와 동료들은 다음으로 페르미온 쪽에 관심을 가졌고 두 번째의 놀라운 결과를 얻었다.

 세 원자들의 스핀 방향이 같은 경우, 삼체 속박 상태가 일어난다는 것이다. 이는 두 원자 간에는 서로를 밀어내는 척력이 있음에도 불구하고 세 원자들 간에는 삼체 속박 상태가 발생한다는 의미이다.

Esry told physicsworld.com that it may be possible to see the new states in lab experiments. 에스리는 실험실에서 새로운 상태를 관찰할 수 있을 것 같다고 말한다. 에피모프 상태처럼 매우 약하게 묶여있는 경우 초저온 가스에서 이 현상을 볼 수 있을 것으로 생각되었다. 가장 가능성 있는 시나리오는 무거운 보손 원자들과 가벼운 페르미온 원자들의 혼합 상태이다.

이 시나리오에서 페르미온은 강제 조정자 역할을 하여 보손들 간의 거리 역제곱 인력을 발생시키게 된다. 에스리는 이 효과가 그 자체로 보손인 세슘과 페르미온인 리튬으로 구성된 가스에서 나타날 수 있다고 믿으며, 보다 이상적인 후보 시스템은 보손과 페르미온 간의 질량비가 큰 경우일 것이라고 한다. 가능한 시스템으로 이테르븀-수소 혹은 에르븀-수소 가스가 있는데, 에스리는 수소가 특히 다루기 어려워 페르미온 쪽은 리튬을 선택하는 편이 나을 수 있다고 지적한다.

네걸(Nägerl)은 에스리가 이런 결과를 기대하지 못했을 것이라고 말한다. 그러나 네걸은 이론적 결과를 실험적으로 확인하는 것이 어려울 수 있다고 믿는다. 실험실에서 적절한 보손-페르미온 조합을 생성하여 연구하려면 도전해야 할 어려운 과제들이 있기 때문이다.

이번 연구는 전문 저널(Physical Review Letters)에 실렸다.

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질점이 2개인 경우는 이체문제라 하며, 그 궤도는 상대 질점을 초점으로 하는 원·타원·포물선·쌍곡선의 2차곡선 중 하나가 된다. 그러나 뉴턴역학에서 삼체문제의 운동방정식은 18계의 미분방정식으로 나타낼 수 있는데, 수학적인 방법으로는 계수를 6으로밖에 줄이지 못하여 풀지 못한다는 것이 증명되어 있다.

다만, 특수한 경우로, 3개의 질점이 정삼각형의 꼭지점을 이룰 때, 공통무게중심 주위를 타원운동하고 있을 때, 특별한 위치관계로 일직선상에서 타원운동하고 있을 때에 특수해를 구할 수 있는데, 먼저 것을 정삼각평형해(正三角平衡解)라 하고, 나중 것을 직선평형해(直線平衡解)라 한다.

일반적으로 태양계의 천체들은 태양으로부터 인력이 작용할 뿐 아니라, 모든 행성과 위성들 사이에도 인력이 작용하므로 각각의 운동궤도를 구하는 데는 다체문제(多體問題)의 방정식으로 풀어야 한다.

그러나 행성인 경우에는 태양의 인력이, 위성인 경우에는 모행성의 인력이 압도적으로 크기 때문에 그 궤도를 근사적으로는 이체문제의 해인 타원으로 나타낼 수 있다.

또한, 태양·지구·달의 경우와, 태양·목성·소행성의 경우 등을 간단한 삼체문제로 볼 수 있다.

소행성 중에는 태양과 목성을 잇는 선분을 밑변으로 하는 정삼각형의 꼭지점에 있는 트로이소행성군이 있다. 소행성은 질량이 매우 작아 목성이나 태양의 운동에는 아무런 영향을 주지 않는다.

 따라서 목성과 태양의 궤도는 이체문제로 생각하여 그 궤도를 원으로 가정하고, 또 세 개의 천체가 한 평면 위에서 운동하고 있다고 가정하면, 이는 가장 간단한 삼체문제가 된다.

 이를 제한삼체문제라고 한다.

이 경우에는 삼체 중 하나의 질량을 0으로 놓고, 나머지 두 물체는 공통무게중심 주위를 원궤도운동을 하고 있다고 보며, 세 물체가 같은 평면 위에 있다고 가정하여 그 궤도를 구한다. 물론, 이 경우도 엄밀하게는 문제를 풀 수 없으나, 라그랑주의 특수해에 대한 성질이 상세하게 알려져 있다. 태양과 지구의 인력을 받아 운동하는 달의 공전궤도를 구하는 문제도 제한삼체문제로 해결할 수 있다.

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삼체문제(三體問題, Problem of three bodies)

  삼체문제는 오일러(Leonhard Euler) 시대부터 수학의 영역에서 가장 어려운 문제 가운데 하나로서 천체역학(天體力學 celestial mechanics)에서 3개의 질점(質點, Material point)이 만유인력으로 서로 끌어당기며 운동할 때 각 질점의 공전궤도(公轉軌道, Orbit of revolution)를 구하는 문제를 삼체문제라 한다.

삼체문제는 거리 역(逆)제곱(Inverse Square)의 중력 법칙 하에서 3개의 질량 사이에 일어나는 운동을 기술하는 방정식(運動方程式, equation of motion)의 해(解, solution)를 요구하는 것으로 물체의 수가 3 또는 그 이상이 되면 비록 그들 상호간에 작용하는 힘의 성질을 잘 알고 있어도 방정식을 풀어 운동의 양상을 추구하기란 수학적으로는 불가능하다. 

 뉴턴의 운동방정식(Newton's equation of motion)은 두 개의 물체 상호간에 작용하는 이체문제(二?問題, two-body problem)에만 적용되는 것으로 삼체문제는 뉴턴의 방정식으로 풀리지 않는다. 

태양계의 천체들은 태양으로부터 인력이 작용할 뿐 아니라, 모든 행성과 위성들 사이에도 인력이 작용하므로 태양계의 중력방정식은 비선형적(非線型的)이 되며 아직까지 그 해(解)를 해석적(解釋的, Analytically)으로 구하는 방법은 없는 것이다.

태양계에 있어서 행성(行星)인 경우에는 태양의 인력이, 위성(衛星)인 경우에는 모 행성의 인력이 압도적으로 크기 때문에 그 궤도를 질점(質點)이 두 개인 이체문제(二?問題)로만 풀어낸다.

예컨데 지구의 공전주기는 태양과 지구의 중력만을 고려하고 달의 공전주기는 지구와 달의 중력 이외에는 고려하지 않는다.

이것이 뉴턴역학(Newtonian mechanics)의 한계이다.

결국 19세기 말, 프랑스 수학자인 포앵카레(Jules Henri Poincare)는 닫힌계(Closed system)에서의 뉴턴역학의 오류를 지적하였다.

 어떤 경우 매우 작은 변화가 행성을 큰 폭으로 움직이게 하고 충분한 시간이 지나면 태양계의 행성들이 그 궤도를 이탈할 수도 있는 것이므로 뉴턴역학으로는 행성들의 운동에 대하여 어느 정도 근사치 예측은 가능하지만 완벽한 결과를 계산하는 것은 불가능하다는 것이다.

그러므로  동적(動的)시스템의 시작점 이론을 가진 비선형시스템의 정성적(定性的, Qualitative) 연구를 제안하였다. 

그는 카오스의 예측 불허성의 원인이 되는 <결정론적 계에서의 초기 조건에의 민감성>을 최초로 알았던 사람인 것이다. 

 MIT의 컴퓨터 과학자 서스먼(Gerald Sussman)과 천문학자인 위즈덤(Jack Wisdom)은 사이언스 지(誌, Science Journal)에 기고한 글에서 어떤 주어진 순간에 행성들의 위치와 속도를 무한히 정확하게 알지 않는 한 태양계에 대한 우리의 뉴턴 방정식에 의한 예측은 단지 4백만 년 뒤에 완전히 빗나가게 되므로 태양계의 운행은 예측할 수 없는 것이라고 하였다.

실제로 뉴턴이 물체의 운동을 설명하는 단순한 이체문제(二?問題, Two-body problem)란 자연계에는 존재하지 않으며 자연은 그렇게 단순한 계가 아니고 복잡하고 유기적(有機的)인 상관관계(相關關係, Organic correlation)이다.    

 뉴턴역학에서 삼체문제의 운동방정식은 18계(階)의 미분방정식으로 나타낼 수 있는데 수학적인 방법으로는 계수(階數, Rank)를 6으로 밖에 줄이지 못하여 절대로 풀지 못한다는 것이 증명되었다. 

이제 이 삼체 운동의 이면에는 호모 클리닉 카오스(homoclinic chaos)라고 불리는 복잡하고 신비로운 카오스의 계층적 질서 구조가 자리 잡고 있다는 것이 밝혀졌지만 이 구조의 극히 일부만이 컴퓨터의 도움을 받아 그려질 수 있다고 한다.

이러한 삼체문제와 같이 세 개 이상의 변수가 서로 작용하는 역학계(力學界, Dynamical system)를 연구하는 분야가 Chaos 과학이며 카오스가 어떤 특정분야의 학문이 아닌 것은 생명현상을 비롯한 모든 자연계가 동전의 앞뒤와 같이 질서적(秩序的)이면서도 카오스적인 모습을 동시에 보여 주기 때문이다.

삼체(三體) 이상의 모든 운동은 상호 피드백(feedback) 작용으로 결국 카오스 상태로 가게 되고 카오스의 잠재성은 비선형계 자체의 특성이므로 구조적으로 미래의 장기적인 결과를 예측할 수가 없다.

역(易)은 기본적으로 삼체와 삼체의 대응인 육체문제(六體問題)의 물리적 상(物理的相, Physical Phase)을 다루고 있고 그 속에 6개의 상태변수(狀態變數, state variable)와 매개변수(媒介變數, Parameter)에 따른 카오스의 결과를 예측하는 다체문제(多體問題,  many-body problem)를 다루는 학문이다.

역이란 역법을 의미하는데  이것이 바로 태양과 달과 지구 그리고 우리의 일상적으로 감지는 하는 기온의 변화를 관계문제이다.

이러한 관계를 수로 정확하게 한 것이 바로 성수와 법수 체수이론이고 이를 수리학적으로 완성한 것이 원방각이론으로서 주비산경이 있다.

결국 3체문제는 천지인의 철학을 구구단으로 원리화한 천부경이며 이를 계승한 금척론 그리고 이를 철학적인 역사관으로 저술된 부도지등은 결국 오늘날 3체문제를 수리학적으로 정립하는데 빠트려서는 않될 것이다. 

[유토피아]

진정한 3체문제는 시간상의 주기가 다르다는 것의 문제가 아니라 존재론적인 문제입니다.
즉 허수와 실수 그리고 복소수의 문제가 진정한 의미의 3체문제라고 봅니다.