유클리드의 공리와 공준 및 비유클리드 기하학

[김동석]

유클리드의 공리와 공준 및 비유클리드 기하학

    권석근 발표

기하학의 창시자라고 불리우는 유클리드에 관하여 알려진 바는 거의 없다. 다만 플라톤 학파에서 수학을 공부하였으며, 알렉산드리아 대학의 수학교수이자 수학의 창시자라고 전해진다. 그러나 그가 5개의 공리와 공준으로 465개의 명제를 공리적 방법으로 증명한 "원론"이란 책은 기원전 3세기부터 약 2000년간 기하학에 지배적인 영향을 끼친다.

공리와 공준

○ 공리1. 같은 것과 같은 것은 또한 서로 같다.

○ 공리2. 같은 것에 같은 것을 더하면, 그 전체는 서로 같다.

○ 공리3. 같은 것에서 같은 것을 빼면, 그 나머지는 서로 같다.

○ 공리4. 서로 겹치는 둘은 서로 같다.

○ 공리5. 전체는 부분보다 크다.


○ 공준1. 임의의 한 점에서 임의의 한 점으로 직선을 그을 수 있다.

○ 공준2. 유한의 직선을 계속 직선으로 연장하는 일을 할 수 있다.

○ 공준3. 임의의 중심과 거리를 가지고 한 원을 그리는 일을 할 수 있다.

○ 공준4. 모든 직각은 서로 같다.

○ 공준5. 하나의 직선이 두 직선과 만나서 같은 쪽에 두 직각보다 작은 안 각을 만들 때, 이 두 직선은 그것들을 한없이 연장하면 두 직선은 그것들을 한없이 연장하면 두 직각보다 작은 각이 만들어지는 쪽에서 만난다.

   네 개의 공준은 항상 수학자들에 의해서 쉽게 받아들여졌지만 다섯 번째 (평행) 공준은 19세기에 이르기까지 많은 논쟁을 불러 일으켜 왔다. 유클리드의 평행공준을 다른 것으로 대체시켜보려고 했던 시도들이 비 유클리드 기하학의 기초를 이루게 되었다.

비유클리드기하학 非-幾何學 (non-Euclidean geometry)

     유클리드기하학의 평행선의 공리(제5공리)는 이를 부정하나, 그 밖의 공리와는 모순되지 않는 기하학.

   유클리드기하학에서는 직선 밖의 한 점을 지나 그 직선과 만나지 않는 직선은 하나밖에 없다는 것을 가정하고 있다. 즉, 평행선은 아무리 연장하여도 만나지 않는다고 가정하고 있는데, 19세기에 들어와서 이 가정은 부정되었고 야노스 보여이(J怖nos Bolyai)(1802∼1860), 니콜라이 로바체프스키(Nikolay Lobachevsky)는 직선 밖의 한 점을 지나는 평행선은 무한히 있다고 가정하여 이와 나머지 공리로부터 하나의 새로운 기하학을 세웠다. 다시 말하면, 평면상의 두 직선은 모두 만난다는 것이다. 즉, 직선 밖의 한 점을 지나고 그 직선과 만나지 않는 직선을 그을 수는 없다고 가정하여 다른 기하학을 만들 수가 있었다.

크리스티안 F. 클라인(Christian F. Klein)은 카를 F. 가우스(Karl F. Gauss)와 보여이 및 로바체프스키의 기하학을 쌍곡선기하학, 이에 대하여 다소 수정된 형식으로서의 리만기하학을 타원기하학이라 하였고, 이들 두 새로운 기하학에 대하여 유클리드기하학, 즉 정확하게는 닮음변환의 기하학은 그 중간적 존재이므로 이것을 포물선기하학이라 하였다. 유클리드기하학에서는 삼각형의 내각의 합은 2직각이 되나 쌍곡선기하학에서는 그보다 작게 되며, 타원기하학에서는 그보다 커진다. 또 비유클리드기하학의 대상이 되는 공간을 비유클리드공간이라 하며, 이들 세 기하학은 모두 리만기하학에 포함된다.

비유클리드기하학이라는 명칭은 가우스가 처음으로 사용하였는데, 그 엄밀한 정의는 명확하지 않다. 이 비유클리드의 탄생은 실재하는 면을 추상화하여 여러 기하학이 만들어졌다는 사실이 알려지게 되어, 그 때까지의 수학에 대한 견해가 근본적으로 고쳐지게 되었다. 이런 뜻에서 19세기 수학사상 가장 중요한 사건의 하나로 볼 수 있다. 비유클리드기하학의 발견은 공리를 자명한 명제로만 여겨왔던 재래식 사고방식에 혁명적인 변혁을 가져오게 하였고, 또 모델(이론을 말하는데 때로는 그 이론의 전제가 되는 가설)에 의하여 추상적 사상을 구체화시킨다는 사고방식은 다비트 힐베르트(David Hilbert)를 거쳐 쿠르트 괴델(Kurt G熙del) 이후의 수학기초론 등에도 커다란 영향을 미쳤다. 사상사에 있어서도 진화론이나 상대성이론의 탄생과도 비견되는 것으로서 물리적 세계에 대한 인간의 생각을 급변시켰다. (두산세계대백화사전 인용)