<< 베루누이 방정식 >>
베르누이 정리는, 쉽게 정압(Static Pressure) + 동압(Dinamic Pressure) = 전압(Total Pressure) 이라 설명합니다.
다시말해서 유체속의 한 점의 압력은 방향에 관계없이 일정하게 작용하는데 이것을 정압이라 하고, 정압의 크기는 유체가 정지상태일때 최대가 됩니다.
유체가 흐를때의 입자는 속도를 가지며, 이 속도가 압력으로 나타내어지는데 유체의 운동에너지를 해당되는 압력으로 환산한것을 동압이라 합니다.
정상 흐름에서의 압력은 전압(Total Pressure) 이고, 이것은 정압과 동압을 합한 값과 같습니다. 전압이 일정하기때문에 동압이 증가하면 상대적으로 정압은 감소하게 되는 것입니다.
그렇다면 연속의 법칙에 대치시켜 생각해보면, 정상흐름이고,점성이 없는 유체인 완전유체(Perfect Fluid)가 비 압축성 유체일때 유체가 흐르는 통로(Stream Tube)의 단면적이 S₁, S₂유속이 V₁, V₂일때 유입량과 유출량을 같다고 본다면, S₁V₁= S₂V₂가 됩니다.
실제 우리 주변의 유체는 점성이 있거나 압축성이거나 흐름에 저항이 가해지거나 하는등의 이유로 정확히 일치하지 않습니다만, 이 원리를 이용해 하루 수천만이 하늘을 나르거나 바다위를 떠 달릴수 있는 것입니다.
유체역학에서 제일 중요한 부분입니다.
베르누이의 방정식은 역학적 에너지 보존 법칙의 변형이라 생각할 수 있다. 비압축성 유체가 양끝의 높이가 다른 관에 담겨져 있다고 가정하자. 이때 한 쪽 끝에 P1 의 압력을 가해서 dV 만큼 밀려나면 비압축성 유체임으로 반대편 구멍으로 다른 압력 P2 으로 dV 만큼 밀려날 것이다.유체가 외부에서 받은 일의 크기는
đW = d F촵d r = -Pds촵d r = -PdV가 된다.
이때 유체가 외부에서 받은 일은 역학적 에너지 보존 법칙에 의하여 역학적 에너지의 변화량만큼이 된다. 즉, 체적 dV 의 질량이 dm 일 때 (- P2dV) - (-P1dV) = [½(dm)v2²+(dm)Ω2]-[½(dm)v1²+(dm)Ω1]가 된다. 여기서 Ω 는 단위 질량당 위치에너지를 의미한다. 중력장의 경우 Ω = gh가 된다. 양변을 dV 로 나눈후 상태 2와 상태 1에 관련된 항을 각각 좌변과 우변으로 이항하면 P1 + ½ρv1² + ρΩ1 = P2 + ½ρv2² + ρΩ2인 베르누이 방정식을 얻을 수 있다.
다시 말해 H = P + ½ρv² + ρΩ의 값은 항상 일정하다. H 는 유체가 갖는 체밀도 에너지이다. 베르누이 일가는 수학자 가문으로 유명한데 베르누이가의 첫 수학자는 베르누이 방정식을 발표한 다니엘 베르누이의 백부 야콥 베르누이였다.
그리고 두번째가 다니엘의 부친 요한 베르누이였고 세번째가 바로 다니엘이었다. 야콥과 요한은 서로 경합하며 뉴턴과 대립했던 라이프니츠의 미적분학을 발전시켜 나갔다. 형제간인 둘의 사이가 나중에 별로 좋지 않았는데 이유는 물론 학문적 의견 대립이었다. 부자간인 요한과 다니엘 역시 다툼이 있었는데 선취권을 두고 한 다툼이었다. 야콥은 확률론의 실질적 출발이었던 "추론술"의 저자였고 베르누이 시행의 제안자이다. 요한은 18 세기 전반의 저명한 수학자였으며 18세기 최고의 수학자인 오일러의 스승이기도 하다. 테일러 급수의 선후문제를 두고 뉴턴파의 테일러와 다투기도 하였다. 다니엘은 현의 진동론에 관한 일반해인 삼각급수해를 구했는데 이는 훗날 푸리에 급수의 시초가 된다. 그리고 중합의 원리를 이용, 일반 진동을 단순한 고유진동으로 분석 종합한 업적도 있다. 물론 다니엘의 가장 유명한 업적은 베르누이 방정식의 성립이었다.
<< 오일러의 공식 >>
오일러의 공식은 지수함수와 삼각함수를 연결해 주는 중요한 공식으로
공학을 전공하는 사람, 특히 신호처리, 영상처리 등 frequency를 이용하는
학문을 전공하는 사람이라면 누구나가 사용하는 공식입니다.
이 공식은 오일러가 1743년에 미분방정식 y''+y=0을 연구하다가 발견한 공식입니다.
증명을 하면 다음과 같습니다.
일단 증명을 하기 위해서는 테일러 전개에 대해 알아야 합니다.
테일러 전개는 임의의 연속함수를 다항식의 합으로 표현하는 것을 말하는데
이미 알고 계시리라 생각되지만 혹시 배우지 못한 부분이라면
미적분학이나 대학 교양수학 정도의 책을 참고하시면 될 것 같습니다.
지수함수와 삼각함수의 경우 테일러 전개는 다음과 같습니다.
exp(x) = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + (x^4)/4! + ... ...<1>
sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...
cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...
이제 <1>식에서 x 대신에 ix를 대입하면
exp(ix) = 1 + ix - (x^2)/2! - i(x^3)/3! + (x^4)/4! + i(x^5)/5! - (x^6)/6! - i(x^7)/7! + ...
= (1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...) + i(x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...)
= (cosx) + i(sinx)
이로써 증명이 끝나게 됩니다.