정오각형(108)

[유토피아]

천지인의 3극세상을 음양의 양극세상으로 환산하는 것은

수리학적으로 원방각의 81개의 정사각형을  정오각형으로 환산하기와 동일합니다.

요즘의 황금비의 개념으로 말하자면 황금비를 외적으로 보는냐 아니면 숩겨진 것으로 보는냐하는 겁니다.

즉 13위 5와 8의 수를 외적으로 보는 것이면 1년13개월이고

내적으로 보면 8괘론이나 정오각형이되는 겁니다.

  

                                                                   91자          

一

始 無

始 一 一

始 無 始 一

析 三 極 無 盡

本 天 一 一 地一

二 人 一 三 一 積 十

鉅 無 櫃 化 三 天 二 三

地 二 三 人 二 三 大 三 合

六 生 七 八 九 運 三 四 成 環

五 七 一 妙 衍 萬 往 萬 來 用 變

不 動 本 本 心 本 太 陽 昻 明 人 中

天 地 一 一 終 無 終 一 一 終 無 終 一

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환역의 원방각은 자연의 천지인으로 환산되는데

그렇다면 364의 원방각 정사각형을 정오각형으로 환산해보세요

이문제는 81개의 정사각형비을 두개의 정오각형비으로 변형하는 문제와 동일합니다.

비율로 말하자면 3과 4와 5의 원방각을  2와 5와 8의 비로 환산하라는 겁니다.

즉 원의 81개의 세상으로수리화한 것을 두개의 실수와 허수로 구분하는 것과같은 것입니다.

다시말하자면 즉 천지인의 세상을 음양의 세상으로 환산해보라는 것과 같습니다.

           

주역은 성수81을 64와 17의 비로  2등분한 것이다.

17의 수는 정오각형의 넓이에 해당한다.

그렇다면 64는 정오각형의 길이에 해당한다.

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정오각형은

한변의 길이가 8.1이 10개가 됩니다.

그리고 10개의 각도108

각도 총합 108×*10=1080= 90×12 = 360×3= 방3개= 원3개

정오각형의 넓이 구하는 공식은 다음과 같습니다.

 한 변의 길이가 a 인 정오각형의 넓이는

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입니다.

1.7204774006× 8.1×8.1= 112.8805222534...

                      한변= 13.9358669449...

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정오각형의 넓이를 구하여 보자.

<방법1>

​빨간색 점 F 는 정오각형의 무게중심이다.

즉 점F를 중심으로 하고 반지름을 선분 AF로 하는 원에 이 정오각형이 내접한다.

​이 무게중심과 정오각형의 각각의 꼭짓점을 연결한 5개 선분이 있다.

 이 5개 선분으로 인하여 정오각형은 5개의 합동인 이등변삼각형으로 나뉘어진다.

​따라서 이 정오각형의 넓이는 이등변삼각형의 넓이에 5를 곱한것과 같다.

​

​여기서 끝내도 되지만 tan54도의 값을 구해보도록 하자.​

​ 

<방법2>

<그림1>​

<그림2>

<그림3>

한 변의 길이가 1인 정오각형이 있다.

정오각형을 위 그림들과 같이 대각선을 3개 그어보았을 때 <그림3>에서

정오각형의 넓이는 3S+T임을 알 수 있다.

(<그림1>의 각도를 참고하면 삼각형S가 합동이 되는지를 알 수 있다.)

삼각형 S의 넓이를 구하기 위해서는 정오각형의 한 대각선의 길이를 알아야 한다.

삼각형T와 삼각형S+T 가 AA닮음이다. (세각이 72도,72도,36도 이다.)

그리고 삼각형 T가 이등변삼각형이므로 선분EF=1 이고,

선분 FB의 길이는 모르니까 x라고 하자.(<그림2>)

그러면 정오각형에서의 한 대각선의 길이는 1+x가 된다.

선분EC:선분EA=선분EA:선분AF 즉, 1+x:1=1:x (선분FA=선분FB=x)

​ 

점D에서 선분EC에 수선의발 G를 내리면 합동인 직각삼각형 2개가 나온다.

cos36도와 sin36도 값을 몰라도 직각삼각형의 세변의 길이를 구해낼 수 있다.

S의 넓이를 구하였으므로  T의 넓이를 구하여보자.

​

​

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往	萬	衍	妙	一	七	五	環	一
萬	三	二	天	三	化	櫃	成	終
來	地	一	天	本	盡	無	四	無
用	二	一	無	始	無	鉅	三	終
變	三	地	始	一	極	十	運	一
不	人	一	一	析	三	積	九	一
動	二	二	人	一	三	一	八	地
本	三	大	三	合	六	生	七	天
本	心	本	太	陽	昻	明	人	中

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법수는 258의 비율수 즉, 황금비 혹은 금강비

사물을 2분법 5분법 8분법으로 구분하는 방법이다.

원방각을 정오각형으로 환산하는 것과 같다.

91= 7×13

364= 7×13×4= 91×4

91집합수= 4186= 91×46

46= 2×23

24집합수=300

46집합수= 1081

정오각형 내각= 108 = 3×36 = 36+72

정오각형의 내각의 합=    5각형인경우5×108=540 ,   각이 10경우=  108×10=1080

540= 32합수(528)+ 12

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첫번째 그림에서

초록색이 출발점입니다.

파란색이 두번째입니다.

빨간색이 정오각형의 한 변의 길이가 됩니다.

두번째 그림에서 

이 길이를 반지름으로 하는 빨간색 원을 순차적으로 그려서 원래의 초록색 원과 만나는 점을 얻고, 이들을 꼭짓점으로 하여 이어줌으로써 정오각형의 작도를 완성하였습니다. 

어김없이 딱 맞아 떨어지는 것이 신비스럽습니다. 이 포스팅에서는 이것을 증명하겠습니다.

위의 작도는 

길이의 비를 추적하기 위해서 그 특성이 드러나도록 그린 것이므로 실제의 작도는 당연히 이보다 훨씬 단순하게 처리하면 될 것입니다. 정오각형의 작도는 유클리드 원론에 소개되고 있는데, 정오각형의 비밀은 무엇보다 황금비일 것이고, 바로 이것 때문에 정오각형과 별이 피타고라스 학파의 상징이기도 합니다.

위의 그림에서 두 개의 주황색 직사각형이 바로 가로 세로의 비가 황금비인 황금비 직사각형입니다.

큰 주황색 직사각형의 가로와 세로의 비는

작은 주황색 직사각형의 긴 변과 짧은 변의 비

역시 황금비입니다.

그리고 아래 정오각형과 별에서,

평행선, 대칭, 마름모, 이등변삼각형, 닮음 등이 관찰되는데요,,.

두 개의 빨간색 이등변삼각형이 닮음이므로,

       

       

       

       

역시 황금비입니다.

여기서 더욱 신기한 것은 

짧은 선분과 조금 긴 선분의 길이의 비는 모두가 황금비라는 것이지요. 

쉽게 확인할 수 있으므로 계산 과정은 생략.

그리고 관찰되는 이등변삼각형 중에서 밑변과 밑변이 아닌 등변의 비가 황금비인 삼각형을 황금삼각형이라고 부르며, 위 직사각형은 황금사각형이라고 부릅니다. 

이제 이들 둘을 엮어주면 되는데요...

이 부분이 매우 어렵습니다.

360°를 5등분한 각인 72°가 작도수임을 밝히는 과정이기도 합니다.

72°의 코사인 비로 이 두 그림이 결국은 길이의 비가 같음을 확인하는 것은 어렵지 않습니다. 

첫번째 그림에서 

먼저 피타고라스의 정리로 정오각형의 한 변의 길이를 구한 다음, 빨간색 이등변삼각형에 코사인 제2법칙을 적용하면,

두번째 그림에서

두번째 그림에서 코사인 제2법칙을 바로 적용해보아도 됩니다.

결국 정오각형을 작도하는 문제는 72°를 작도하는 문제로 귀착되고 있음을 확인한 셈입니다. 

이제 남은 문제는 코사인 제2법칙을 모르는 상황에서 어떻게 이 둘이 결국은 같아지는 것인지를 좀 더 추적해 보는 일입니다.

그러기 위해서 먼저 다음 그림에서 정오각형의 작도법을 한가지 더 살펴 보겠습니다. 

정오각형의 작도법은 여러가지가 알려져 있는데,

임을 알고 있다면, 다음 그림과 같이 각의 이등분선의 정리를 이용하여 쉽게 중심각 72°를 얻을 수도 있습니다.

위 그림에서 초록색이 출발점입니다. 

M은 중점입니다. ∠AMO의 이등분선을 그어 선분 AO와 만나는 점이 I이고, 점 I를 지나 선분 MO에 평행한 선이 원과 만나는 점이 B입니다. 파란색 삼각형 AMO에서 각의 이등분선의 정리에 의하여

       

이므로

       

빨간색 직각삼각형 BOI에서

       

따라서 중심각 BOA 즉, ∠BOI는 72°입니다.

따라서 빨간색 선분 AB의 길이를 한 변으로 하는 정오각형을 초록색 원 위에 그려주면 됩니다.

[마무리하는 글]

어떻습니까?

코사인 제2법칙을 사용하지 않고도 정오각형의 작도가 가능함을 확인했나요? 

눈여겨 살펴보았다면 알아차렸을 것입니다.

위에 있는 그림들 중에서 관계된 것을 여기에 가져다 놓고 한 번 더 확인해 보겠습니다.

어떻습니까? 

첫번째 별 그림에서 72°의 코사인 비가 바로 보이지요? 

그리고 두번째 그림의 빨간색 직각삼각형에서 72°의 코사인 비 역시 쉽게 보입니다. 당연히 이들 둘은 같으며, 그렇기 때문에 코사인 제2법칙을 모르는 상황에서도 72°의 작도가 가능해 지며, 동시에 정오각형의 작도가 가능해지는 것입니다.

一終無終一 一始無始  一析 三極  無盡本 天一一  地一二  人一三    

허수적 존재 5의저곱은  두쌍

一積 十鉅無 櫃化三   天二三  地二三  人二三 大三  合六  生七八九   

실수적 존재 5의 제곱은  두쌍

 運 三 四 成 環五七一 妙衍  萬往萬來 用變 不動本   本心 本太陽 昻明人 中天地一  

전체 소수 31의 수로서 11의 소수가 존재한다.   

2, 3, 5, 7

11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

31의 숫자는 다음의 원의 수를 표현한다.

30은 원주를 의미하고 1은 원주의 한점을 의미한다.

녹색의 원주는 31의 수로 표현한다.