반지름 r인 원의 원주의 길이를 l이라 하면, 원주의 길이 l과 지름의 길이 2r와의 비는 반지름의 길이에 관계 없이 일정하다. 이 비 l/2r이 원주율이며, 둘레를 뜻하는
그리스어 περίμετρο?(perimeter)의
머리글자를 따서
그리스문자 π(파이)로 나타낸다. 이외에도 다양한 정의가 존재한다.
원주율을
기하학에 사용한 예를 들면, 반지름이 r인 원의 원주의 길이 l은 l=2πr이고 넓이 S는 S=πr
2이다. 그리고 반지름이 r인 구의
겉넓이는 4πr
2이며, 부피는 4/3πr
3이다. 또 세상에서 가장 아름다운 등식으로 알려져 있는 오일러의 등식
에도 원주율이 등장한다.
π를
소수점 아래 30자리까지 나타내면 3.141592653589793238462643383279…이다.
일반적으로 π의
근삿값으로는 3.14, 3.1416, 22/7, 355/113 등을 사용한다. π는 소수점 아래 어느 자리에서도 끝나지 않고 무한히 계속되며 반복되지 않는다. 이렇게 π가 무리수라는 사실은 1761년에
요한 하인리히 람베르트가 증명했다.
한편,
유리수를 계수로 갖는 유한 차수의
다항식의 해가 될 수 없는 수를
초월수라고 한다. π가 초월수라는 것은 1882년 페르디난트 폰 린데만이 증명하였다. π가 초월수라는 사실을 통해,
그리스 3대 난제 중의 하나였던 "자와
컴퍼스만을 사용하여 원과 같은 넓이를 갖는
정사각형을 작도하는 문제"가 유한한 대수적 방법으로는 불가능하다는 것을 증명할 수 있다.
원주율의 근삿값을 구하는 방법은 여러 가지가 있다. 일반적으로
무한급수를 이용한 방법을 주로 사용하며, 대표적인 방법이 arctan(1)=π/4 인 점을 이용하여 arctan함수를 테일러전개하는 방법이다. arctan함수를
테일러 전개하면
와 같다. x에 적당한 값을 대입하면 π/4의 근삿값을 얻을 수 있다.
라이프니츠가 고안한 공식도 x에 1을 대입한 것이다.
(라이프니츠의 공식)
그러나 이 공식은 수렴성이 떨어져 빠른 시간에 정확한 근삿값을 얻는 데는 부적절하다. 이를 보완하여 대부분의 근삿값 계산에서 사용하는 공식은 마친의 공식이다.
(마친의 공식)
이외에도 π를 나타내는 무한급수로 다음과 같은 것이 유명하다.
(오일러)
(존
월리스)
근래에는 컴퓨터의 발달로 소수점 아래 수천억 자리 이상도 계산이 가능하다. 이렇게 매우 길게 계산할 때는
가우스-르장드르 알고리즘이나 보어와인의
알고리즘을 사용한다.
최근의 기록은 2002년 12월에 발표된 것으로 일본
도쿄대학의 가나다 야스마사(
金田康正) 교수팀이 병렬
슈퍼컴퓨터 히타치 SR8000/MPP를 이용하여 소수점 아래 1조 2411억 자리까지 구한 것이다. 컴퓨터로 파이의 소수점 아래
자릿수를 계산하는 것은 π의 정확한 값에 대한 흥미 때문이 아니라 새로운 슈퍼컴퓨터를 개발하였을 때 성능을 평가하기 위한 척도로 생각하는 것이 좋다.
파이의 날을 기념하는 곳도 있다. 세계 각국의 수학과에서는 매년 3월 14일 1시 59분에 원주율의 탄생을 축하하는 행사를 갖는다. 그리고 근삿값으로 사용하는 22/7에 따라 7월 22일을 파이 근삿값의 날로 기념하기도 한다. 행사에 참가하는 사람들은 원주율이 그들의 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하거나 원주율이 없는 세상을 상상해 보기도 하며, 보통은 파이를 먹는다.
[출처]
원주율 [圓周率, number π ] |
네이버 백과사전
직선의 조합으로 이루어지는 도형(삼각형, 4각형, … 등) 다음에 가장 자연스럽게 생각 할 수 있는 도형은 원일 것이다.
원의 둘레의 길이와 지름의 비(比)가 어떤 크기의 원에 대해서도 일정하다는 것은 유클리드 당시부터 알려져 있었는데, 그 일정한 값을 원주율(圓周率)이라고 하고, 그리스문자인 π(파이)로 나타낸다.
즉 반지름 인 원의 둘레의 길이는 2π이다.
아르키메데스는 원에 내접 또는 외접하는 정96각형의 둘레의 길이를 계산하여,
π이라는 관계를 얻었으며(96=인데, 정 96각형은 정6각형에서 각의 2등분을 계속해가면 얻어진다).
그 후 16세기에 프랑스의 F. 비에트는 정각형을 써서 3.1415926535π3.1415926536을 얻었고, 17세기에는 해석학의 발달과 함께 급수를 사용하여 =1---…라는 관계가 얻어졌다.
현대에는 컴퓨터에 의해 100만자리까지 구할 수 있지만, 실제의 계산에는 이미 5세기에 중국에서 사용했다는 밀률(密率) =3.1415929…로도 충분하다.
π의 값이 근사값인 것은 길이의 단위를 직선(미터 원기 등)을 써서 정할 수 밖에 없기 때문이다.
평면 위의 원주의 길이와 지름의 비(比). 어떠한 원에서도 원주 길이의 지름에 대한 비는 일정하며 이 비의 값이 원주율이다.
둘레를 뜻하는 그리스어의 περιμετροζ의 두문자를 써서 π라 표시한다.
서유럽에는 원주율에 해당되는 술어가 없어, 다만 수 π 또는 아르키메데스의 수라고도 한다(독일에서는 종종 π를 루도르프의 수라고도 한다).
π는 무리수로서 3.14159265 …로 나아가는데 실용적인 계산에서는 3.14, 좀더 정밀한 계산에서도 3.1416으로 충분하다.
π의 근사값으로는 3이 예로부터 사용되어 왔으며 고대 이집트 에서는 (4/3)4이 사용되었다.
아르키메데스는 원에 내접 · 외접하는 정96각형의 둘레를 계산하여
임을 밝히고 π의 소수점 아래 두 자리까지의 정확한 값을 이론적으로 유도해 냈다.
5세기경에는 π의 근사값으로 인도의 아리아바타가 3.1416을, 중국 남제(南齊)의 조충지(祖沖之)는 22/7 또는 355/113를 구했다.
16세기에 S. 폰루도르프는 π의 근사값을 소수점 아래 35자리까지 계산했고, 프랑스의 F. 비에 트는 다음 공식을 구했다.
17세기에 들어와서 미적분이 발견되면서부터
처럼 π를 정적분에 결부시킨 식을 구했다.
이식으로 π를 무한급수의 합, 혹은 여러 가지 형식의 극한 값으로 표시하는 식을 얻게 되어 π의 근사값을 정밀하게 계산하게 되었다.
예컨대, 무한급수로 나타내는 공식에는
이 있고, 무한곱으로 나타내는 공식으로는
이 있다.
또 연분수로 표시한 것으로는
가 있다.
π의 근사값으로는 1873년에 W. 샹크스가 소수점 아래 707자리까지 산출한 것이 오랫동안 기록되어 있었으나, 소수점 아래 528자리에 오류가 있다는 것이 1946년 발견되었다.
현재는 컴퓨터의 발달로 소수점 아래 100만 자리 이상까지도 쉽게 계산할 수 있게 되었다.
π가 무리수라는 것은 1761년 J. H. 람베르트에 의해 증명되었지만 다시 1882년 C. L. F. 린데만이 π가 초윌수, 즉 정수(整數)를 계수로 하는 대수방정식의 근이 되지 않는 수라는 것을 증명했다.