수의 체계 - 닫혀 있다, 항등원, 역원

[유토피아]

인류는 끊임 없이 수의 세계를 확장시키며 발전해 왔습니다. 유인원들도 셀 수 있었던 자연수, 몇 백만년이 흐른 후 겨우 발견하게 된, 무언가를 나누어 주는 것과 관련하여 고민한 결과로서의 유리수, 위대한 피타고라스와 무리수, 제로, 정수,...허수...초월수, 초실수, 초현실수, 이원수, 사원수, 8원수...

그리고 그 수의 확장 뒤에는 연산이라는 숨은 공로자가 있었습니다. 차근 차근 짚어보며 수의 체계를 잡아보고자 합니다. 그냥 무턱대고 외우는 것보다 훨씬 깊은 개념을 가져갈 수 있습니다. 그리고 이런 고민들을 해주신...역시 우리와 똑같았던..헤아릴 수 없는 많은 분들께...'고마워요'라는 생각도... 

용어 정리부터 먼저!

* 닫혀 있다 : 연산을 해도 그 범위 내에서 답이 나온다. 벗어나지 않는다.

  예) 자연수는 덧셈에 대해 닫혀 있다 : 자연수는 아무리 자연수끼리 덧셈을 해도 항상 그 답은 자연수이다.(답이 자연수를 벗어나지 않는다)

* 열려 있다(닫혀 있지 않다) : 연산을 하면 그 범위 밖의 답도 나온다. 벗어 난다.

  예) 자연수는 뺄셈에 대해 열려 있다. : 자연수끼리 뺄셈을 하면 자연수를 넘어가는 답이 나올 수 있다. 1-3=-2처럼

('닫혀 있다'의 정확한 반대말은 '닫혀 있지 않다'이지만 여기서는 이해 쉽게 하시라고 익숙한 용어인 '열려 있다'로 쓰겠습니다. 이유는 밑에 덧글 참조)

1. 자연수의 역사 : 인류의 역사와 함께 자연에 존재하는, 눈에 보이는 수를 세고 사물을 소유

                           하게 됨

                       → 자연수 내에서 자유롭게 덧셈과 곱셈 가능, 뺄셈과 나눗셈은 한계가 있음 

                       → 자연수는 덧셈과 곱셈에 대해 '닫혀 있음'

2. 0의 역사 : 876년 인도에서 처음 언급되었고 아라비아로 넘아갔다고 함. 숫자로서의 zero

                  라기 보다는 '없음'의 無라는 개념에 가까움 

3. 음수의 역사 : 생각보다 뒤 늦게 발견되었음. 본격적으로 12세기부터 정립되었음

                       → 자연수에서 뺄셈이라는 연산을 확장하다 보니 음수의 개념이 필요

4. 정수론 : 자연수, 0, 음수의 개념이 정립되고 난 후 17세기경 제대로 학문적 토대가 잡힘 

                       → 정수 내에서는 덧셈과 곱셈은 물론..뺄셈도 자유로와 짐, 하지만 나눗셈은

                             한계가 있음 

                       → 정수는 덧셈과 곱셈과 뺄셈에 대해 '닫혀' 있음

5. 유리수 : 정수보다 오히려 일찍 발견, 초기에는 무엇을 분배하기 위한 '분수'의 개념으로

                존재, 후에 음수 개념의 정립과 함께 음수의 분수도 인정받음

                       → 유리수 내에서는 덧셈 곱셈 뺄셈 나눗셈 모두 자유롭게 연산할 수 있게됨

                       → 유리수는 덧셈과 곱셈 뺄셈 나눗셈 모두 닫혀 있음

* 일단 이 유리수까지는 수직선 위에 한 점으로 표시할 수 있는 숫자임. 그래서 有理임

  (무리수는 측정이 불가능함. 그래서 無理임)

6. 무리수 : 피타고라스가 피타고라스의 정리로 루트2 발견, 유리수인 분수를 소수로 계산해

               보면서 유한소수, 무한소수로 나눌 수 있음을 알게 됨, 그런데 소수만 따로 놓고

               보니 무한소수중에도 일정하게 순환하는 순환소수와 순환없이 끝없이 진행되는 

               비순환소수가 있음을 알기 시작한 후(파이, 무리수e 등) 비순환 무한소수를 본격적

               으로 무리수라고 부르게 됨

               (비순환소수는 분수로 바꾸지 못함을 알게된 후 유리수와는 다른수로 인정)

                        → 무리수 내에서는 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈 모두 열려 있음

                       (무리수와 무리수를 연산했는데 답은 유리수로 나오는 경우가 있음)

                     -=0(유리수)              ×=2(유리수)

                     +(-)=0(유리수)          ÷=1(유리수)

* 일단 이 무리수까지는 실수임. 실수란 대소를 비교할 수 있고, 사칙연산이 가능하며(닫혀있다 열려있다가 아닌 연산이 가능함을 의미), 실수와 실수 사이에 무수히 많은 수가 조밀하게 존재하고, 유일함(수직선에 일대일 대응)

  그럼 허수는? 밑에서 다룸

7. 허수 : 가장 최근에 만들어 낸 수. 만들어 낸수임에 유의 해야 함. 상상속의 수, 그래서

             imaginary number라고 함. 약자로는 i , 의미는 제곱하면 -1이 되는 수임

                      → 실수가 아닌 상상속의 수이므로 대소비교가 불가능함.

                          예를 들어   i>0 인가? i=0인가? 아니면 i<0인가?

                          양변을 제곱해서 증명하면

                       i>0(양수)일경우 양변 제곱해도 부등호 안바뀜..그래서 결과는 -1>0이 나옴

                       (말이 안됨)   

                       i=0일경우 양변 제곱하면 -1=0이 나옴

                       (말이 안됨)

                       i<0(음수)일경우 양변 제곱하면 음수제곱이므로 부등호 바뀜..그래서 결과는

                          또 -1>0이 나옴

                       (말이 안됨)

                       결국 허수 i는 양수도 아니고 0도 아니고 음수도 아님!

                       상상 속의 수가 맞네요? 우리 인간의 합리적인 이성과 계산능력의 세계를

                       벗어난...그래서 허수끼리는 대소비교가 불가능함!

                      →  하지만, 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈에 대해서는 열려 있음

                          (상상속의 수에서 실수의 세계로 넘어갈 수 있음, 문이 열려 있으므로)

                           i+(-i)=0(실수)   i-i=0(실수)    i×i=-1(실수)      i÷i=1(실수)

8. 복소수 : 실수와 허수를 결합한 수임...그런데 실수는 사칙연산에 대해 닫혀 있고

                허수는 열려 있으므로 합칠 수가 없음. 따라서 a+bi 형태로 따로 구분하여 나타냄,

                이때 a를 실수부, bi를 허수부라고 하고 덧셈 뺄셈은 실수부는 실수부끼리,

                허수부는 허수부끼리 해주어야 함

                (이는 유리수와 무리수도 마찬가지임. 유리수는 사칙연산에 닫혀 있고 무리수는

             열려 있으므로 덧셈 뺄셈시 유리수는 유리수끼리, 무리수는 무리수끼리 해주는 것임)

                      → 복소수는 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈 모두에 대해 닫혀 있음. 이는 당연함.

                          실수와 허수를 모두 결합시킨 것이므로...

* tip) 그러고 보면 사칙연산에 대해 모두 열려 있는 무리수와 허수는 분수에서 분모에 오지 못함(분자에는 올 수 있음) 왜냐하면 연산이 안되어서가 아니라 분자는 나눌 대상이고 분모는 나누어 줄 대상이므로 분모는 최소한 측정이 가능해야 함. 하지만 수의 체계에서 측정이 불가능한 수가 3개 있음. 0 무리수 허수...이 3개는 이러한 이유로 절대로 분모에 위치하지 못하는 것임(만약 위치하면...바로 조치해야 함..무리수는 유리화(켤레무리수를 곱해서), 허수는 실수화(켤레 복소수를 곱해서)! 

수의 기본적 정의와 어느 사칙연산에 닫혀 있는지 개념이 좀 잡히시나요? 그럼 이러한 수의 체계를 그림으로 보겠습니다.

2. 이제는 연산에 대한 항등원과 역원을 알아봅시다.

연산은 계산입니다. 연산을 하게 되면 수가 변합니다 덧셈이나 곱셈을 하게 되면 수가 커지고(양수를 전제) 뺄셈이나 나눗셈을 하게 되면 수가 작아집니다.(역시 양의 정수를 전제)

그런데 연산을 해도 변하지 않는 수들이 각 연산마다 하나씩은 존재합니다.

덧셈이나 뺄셈은 0, 곱셈이나 나눗셈은 1이 바로 그것들입니다.

연산을 해도 원래의 수 그대로가 답이 되는 것들...원래 '자기 자신'이 답이 되게하는 것들..이를 우리는 항등원이라 합니다.

사칙연산 말고 특수연산에서도 항등원은 항상 최소한 하나는 있습니다.

여기서 특수연산이란 '임의적으로 만들어낸 연산'을 의미합니다.

@ 라는 연산을 하나 만들어 보세요..여러분 맘 대로..

저는 @를 a@b=ab-a로 해 볼까요?

이 이상한 연산 @에서 a의 항등원은 무엇일까요?

a에 무엇을 붙여 줘야 연산 @에서 답이 다시 a가 나올까요? 항등원을 x라 치면 다음은 단순한 방정식일 뿐입니다.

a@x=ax-a=a, ax=2a, x=2

네..그렇군요..이 연산의 항등원은 2였습니다.

검산해볼까요? 5하고 2를 대입하면 다시 답이 5가 나올까요?

5×2-5=5..맞군요...

그러나 항등원이 수학에 그리 큰 용도로 쓰이는 것은 아닙니다. 항등원이 주로 쓰이는 용도는 바로 '역원'을 구하기 위해서입니다. (역원을 곱하면 항등원이 나오기 때문에 복잡한 식을 단순화시키는 데 아주 용이합니다. 예를 들어 아래 분수식에서 분모 분자에 곱셈의 역원을 곱해주면 식이 단순해지죠..

역원이란 연산을 하면 그 결과가 항등원이 나오는 것 을 의미합니다.

a의 덧셈의 역원은 -a죠? 왜냐하면 a+(-a)=0(덧셈의 항등원)이 나오기 때문입니다.

a의 곱셈의 역원은 1/a죠? 왜냐하면 a×(1/a)=1(곱셈의 항등원)이 나오기 때문입니다.

그럼 위에서의 이상한 특수연산 @도 볼까요?

a의 연산 @에 대한 역원은? 일단..답이 무엇이 나와야 하죠? 네..아까 구한 항등원 2가 나와야 합니다. a@역원=2(아까 구한 @의 항등원)

그럼 그 다음부터는 역시 간단한 방정식일 뿐입니다.

5에 대한 연산 @의 역원을 구해보죠...항등원이 2라는 것은 이미 구했으니깐..

5@x=2

그래서..역원을 구하라는 문제를 보시면 역원에 앞서 일단 항등원부터 구해야만 역원을 구할 수 있는 것입니다.

비쥬얼리하게 정리해드리자면...

a @ (항등원) = a

a @ (역원)= (항등원)

마지막으로 고1 친구들은 아직 진도가 안나간 부분도 있겠지만 수학에서 많이 쓰이는 항등원과 역원 개념을 주욱~ 훑어 보겠습니다.

1. 덧셈의 항등원은 0, a에 대한 덧셈의 역원은 -a

2. 곱셈의 항등원은 1, a에 대한 곱셈의 역원은 1/a

3. 행렬의 덧셈의 항등원은 0, 행렬 A에 대한 덧셈의 역원은 -A

4. 행렬의 곱셈의 항등원은 항등행렬 E, 행렬 A에 대한 곱셈의 역원은 역행렬  

5. 함수 y=f(x)의 항등함수 y=x, 함수 y=f(x)의 역원은 역함수 x=f(y)

 함수는 좀 어렵지요? 함수의 연산은 무엇일까요? 함수도 연산할 수 있나요? 네..있습니다. 바로..합성함수입니다. y=2t이고 t=3x+1이라면 이를 연산하면(합성함수) y=2(3x+1)이 됩니다.

그럼 왜 항등원 역할을 y=x라는 함수가 하나요? 항등원이 무엇이라 했죠? 연산을 해도 자기 자신이 되는 것이 항등원이라 했죠? 네..위에서 t=x를 대입해서 합성함수 해보세요..원래의 자기 자신 y=2x가 나오죠..그럼 역함수를 합성하면 y=x가 나오나요? 맞습니다.

y=2x의 역함수는 y=1/2x입니다. 그렇다면..이를 y=2t, t=1/2x로 놓고 합성하면 y=2(1/2x)가 되어 결국 답은 항등원 y=x 나옵니다.

?(더 쉽게 설명이 필요하시다구요?)

연산의 존재 목적은..원래의 숫자를 변하게 만드는 것입니다.

덧셈도, 뺄셈도, 곱셈도, 나눗셈도..그리고 특별연산들도 ..모두 연산을 가하면 의 원래의 숫자가 크거나 작아지던 간에..변하게 됩니다. 

그.런.데...

각 연산마다 연산의 존재 목적을 무색하게 만드는...허무하게 만드는..무덤이 있습니다. 

바로 항.등.원이죠..

원래의 숫자가 변하기 위해 연산을 가해도..항등원이라는 무덤을 만나면 변하지 않습니다. 자기 자신으로 되돌아옵니다. 

이게 바로 항등원입니다. 연산의 무덤!

각 연산에는 단 한 개만의 항등원이 존재합니다.

그럼 역원은요? 저승사자입니다. 

무슨 뜻이냐구요? 

어느 특정한 고유 숫자가 연산을 만나 커지거나 작아지거나..신나게 변하고 있는데..역원이라는 저승사자를 만나면..누구로 변하냐면..하필 항등원으로 변합니다. 항등원으로 변하면..항등원이 무덤이잖아요? 

항등원으로 가는 저승사자는 숫자마다 다릅니다.

숫자마다 자기만의 저승사자인 역원이 있습니다. 연산을 재수 없이 역원하고 엮이면 ..변해도 하필 항등원으로 변합니다.

이렇게 생각하시고..다시 한 번 개념 파악에 도전해 보세요^^

어느 특정한 연산에는  

?자..여기서는 개념만, 그것도 아주 기초 개념만 설명드린 것입니다. 머릿속에서 증발되기 전에 빨리 문제집을 펼쳐보시고..항등원 역원 구하는 문제들을 풀어보시기 바랍니다.

저는 그저 길만 일러드린 것이고..그 길을 실제로 목표점까지 걸어가는 것은 여러분 몫입니다.