분수식과 행렬

분수식과 행렬 <embed width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/v/EXV8TwTo0A0&playlist=veIAk-EpqmQ, qouMCrKeZ88" frameborder="0" allowScriptAccess='sameDomain' type='application/x-shockwave-flash'><div style="color: rgb(68, 68, 68); text-align: center;">[  모든 날, 모든 순간 - 폴킴(Paul Kim) ]</div> 분수식과 행렬을연관지을 수 있는 것으로 알려져 있습니다. 다음과 같은 분수함수 f(x), g(x)에 대하여합성함수 f(g(x))를 생각할 수 있습니다. <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex? \\%20f(x)=\frac{cx+d}{ax+b}%20\\%20\\%20\\%20g(x)=\frac{rx+s}{px+q}%20\\%20\\%20\\%20f(g(x))%20=%20\frac{cg(x)+d}{ag(x)+b}%20=%20\frac{c(\frac{rx+s}{px+q})+d}{a(\frac{rx+s}{px+q})+b}%20=%20\frac{c(rx+s)%20+%20d(px+q)}{a(rx+s)%20+%20b(px+q)}%20=%20\frac{(cr+dp)x+(cs+dq)%20}{(ar+bp)x%20+%20(as+bq)}" border="0" style="text-align: start;"> 그런데분수식을 다음과 같이 행렬로 대응시켜본다면...<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex? %20\\%20f(x)=\frac{cx+d}{ax+b}%20=%20\begin{pmatrix}%20c%20&%20d%20\\%20a%20&%20b%20\end{pmatrix}=A" border="0" style="text-align: start;"> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex? %20\\%20g(x)=\frac{rx+s}{px+q}%20=%20\begin{pmatrix}%20r%20&%20s%20\\%20p%20&%20q%20\end{pmatrix}=B" border="0" style="text-align: start;"> 그러면다음과 같은 사실을 알 수 있습니다. <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex? \\%20\\%20f(g(x))%20=%20\frac{(cr+dp)x+(cs+dq)%20}{(ar+bp)x%20+%20(as+bq)}%20=%20\begin{pmatrix}%20cr+dp%20&%20cs+dq%20\\%20ar+bp%20&%20as+bq%20\end{pmatrix}%20=%20\begin{pmatrix}%20c%20&%20d%20\\%20a%20&%20b%20\end{pmatrix}%20\begin{pmatrix}%20r%20&%20s%20\\%20p%20&%20q%20\end{pmatrix}%20\\%20\\%20\therefore%20f(g(x))%20=%20AB" border="0" style="text-align: start;"> 물론 ∴ g(f(x)) = BA 위와 같이 분수식의 합성을 하고자 한다면혹은분수식에 분수식을 대입하고자 한다면행렬의 곱으로 전환해서 계산해도 된다는 것입니다. 그런데 사용된 변수가 x임을 명시하기 위해다음과 같이 표기해주는 것도 좋을 듯 합니다.∴ g(f(x)) = BAx 그러면행렬의 곱을 모두 계산한 후변수 x를 동원하여  행렬을 분수식으로 바꿀 수 있게 됩니다.  <hr style="display:block; border: black 0 none; border-top: black 1px solid; border-bottom: black 3px solid; height: 7px"> 분수식과 행렬 그리고 나눗셈 <div>다음과 같은 응용을 생각할 수 있습니다.</div><div> </div><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex? \\ \\\therefore\frac{cx+d}{ax+b} = {\begin{pmatrix}c&d\\a&b\end{pmatrix}}_{x}\\\\\\\therefore2x+3=\frac{2x+3}{0x+1}={\begin{pmatrix}2&3\\0&1\end{pmatrix}}_{x}\\\\\\\therefore\frac{16x+29}{3}=\frac{(3\times5+1)x+(3\times9+2)}{3}=5x+9+\frac{x+2}{3}\\\\=\frac{5x+9}{0x+1}+\frac{x+2}{0x+3}={\begin{pmatrix}5&9\\0&1\end{pmatrix}}_{x}+{\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}_{x}" border="0"><div> </div><div> </div><div>즉</div> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex? \\ \\\therefore\frac{bx+c}{a}=\frac{(a\times\left [ b \right ]^a+\left [ b \right ]_a)x+(a\times\left [ c \right ]^a+\left [ c \right ]_a)}{a}=\left [ b \right ]^{a} x + \left [ c \right ]^{a} + \frac{\left [ b \right ]_{a} x+\left [ c \right ]_a}{a}\\\\={\begin{pmatrix}\left [ b \right ]^{a}&\left [ c \right ]^{a}\\0&1\end{pmatrix}}_{x}+{\begin{pmatrix}\left [ b \right ]_{a}&\left [ c \right ]_{a}\\0&a\end{pmatrix}}_{x} \\\\\\\\ \therefore {\begin{pmatrix}b&c\\0&a\end{pmatrix}}_{x}= {\begin{pmatrix}\left [ b \right ]^{a}&\left [ c \right ]^{a}\\0&1\end{pmatrix}}_{x}+{\begin{pmatrix}\left [ b \right ]_{a}&\left [ c \right ]_{a}\\0&a\end{pmatrix}}_{x}" border="0"><div> </div><div>혹은</div><div> </div><div><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex? \\%20\therefore%20{\begin{pmatrix}b&c\\0&a\end{pmatrix}}_{x}=%20(\left%20[%20b%20\right%20]^{a}x+\left%20[%20c%20\right%20]^{a})+{\begin{pmatrix}\left%20[%20b%20\right%20]_{a}&\left%20[%20c%20\right%20]_{a}\\0&a\end{pmatrix}}_{x}" border="0"> </div><div> </div><div> </div><div>위와 같은 계산이 필요한 경우는</div><div>분자에 있는 b 혹은 c의 절대값이 </div><div>분모에 있는 a의 절대값보다 큰 경우입니다.</div><div> </div><div> </div><div><hr style="display:block; border: black 0 none; border-top: black 1px solid; border-bottom: black 3px solid; height: 7px"> 새로운 변수 도입 </div><div> </div><div>또한 새로운 변수 t를 도입한 후</div><div>변환의 관점에서 살펴 보면,</div><div> </div> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex? \\ \\ \frac{bx+c}{a}=\frac{bx+c}{0x+a}={\begin{pmatrix}b&c\\0&a\end{pmatrix}}_{x} \quad , \quad t= \frac{1t+0}{0t+1}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}_{t}=I_{t} \\\\\\\\ \therefore\frac{bx+c}{a}=t \quad , \quad \begin{pmatrix}b&c\\0&a\end{pmatrix}_{x} = t \\\\ bx+c = at \\\\ bx = at-c \\\\ \therefore x=\frac{at-c}{b} = {\begin{pmatrix}a&-c\\0&b\end{pmatrix}}_{t}" border="0"><div> </div><div> </div><div>즉</div><div>다음과 같이...</div><div> </div><div>a와 b의 위치를 바꾸고</div><div>c 대신 -c를 대입하면 됨을 알 수 있습니다.</div><div> </div><div> </div> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex? \\ \therefore \quad \begin{pmatrix}b&c\\0&a\end{pmatrix}_{x} = t \quad \Leftrightarrow \quad x={\begin{pmatrix}a&-c\\0&b\end{pmatrix}}_{t}" border="0"> <hr style="display:block; border: black 0 none; border-top: black 1px solid; border-bottom: black 3px solid; height: 7px"> 나눗셈과 변수 도입에 의한 콤비네이션 위에서 알아본 다음 두 식을 적절히 사용하여이원일차부정방정식을 구하는 과정에서 분수식 대신 행렬을 사용할 수 있을 것으로 생각됩니다. <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex? \\%20\therefore \quad %20{\begin{pmatrix}b&c\\0&a\end{pmatrix}}_{x}=%20(\left%20[%20b%20\right%20]^{a}x+\left%20[%20c%20\right%20]^{a})+{\begin{pmatrix}\left%20[%20b%20\right%20]_{a}&\left%20[%20c%20\right%20]_{a}\\0&a\end{pmatrix}}_{x}" border="0"> <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex? \\%20\therefore%20\quad%20\begin{pmatrix}b&c\\0&a\end{pmatrix}_{x}%20=%20t%20\quad%20\Leftrightarrow%20\quad%20x={\begin{pmatrix}a&-c\\0&b\end{pmatrix}}_{t}" border="0">

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재후의 역과학 분수식과 행렬

재후 추천 0 조회 1,167 20.08.07 19:00 댓글 1

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재후
작성자 20.08.08 01:04

첫댓글 사용된 LaTeX :

<img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex? \\ \therefore {\begin{pmatrix}b&c\\0&a\end{pmatrix}}_{x}= (\left [ b \right ]^{a}x+\left [ c \right ]^{a})+{\begin{pmatrix}\left [ b \right ]_{a}&\left [ c \right ]_{a}\\0&a\end{pmatrix}}_{x}" border="0">

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