허수의 기원,그리고 어떨경우에 쓰이는가?

[유토피아]

오늘의 마지막 포스팅은

수학 이야기로 마무리 해볼까 하는데요

바로 허수에 관한 이야기 입니다

아마 그렇게 짧진 않은 얘기가 될꺼 같지만

허수가 어떻게 해서

우리 수학사에 나타나게 되었는지 알고 싶으시다면

한 번 집중해서 읽어주시길 바랍니다

사실 수학 발견의 역사는 기존의 수학적 질서에 대한 모순과

그를 해결하려는 자유로운 상상력과 충돌의 역사라 표현할 수 있는데요

이런 상상의 영역을 보여주는 것이 바로 허수의 발견입니다

허수(虛數, imaginary number)는 그 이름에서부터 인간의 합리적 이해로는

접근할 수 없는 영역으로 이해되어 ‘허황된 수’, ‘상상의 수’로 이름 지어졌는데요

기존의 정수, 유리수, 무리수로 구성된 실수와는 달라 수학자들은

그 존재를 감지하고도 부인하거나 숨겨두기 일쑤였습니다

허수는 이탈리아의 수학자 카르다노(Cardano, 1501~1576)가

삼차방정식의 해법을 발표했을 시기부터 허수에 대하여 많은 관심이 커졌는데요

(참고로 삼차방정식의 해법은 사실 수학자 타르탈리아가 발견하였으나

카르다노가 비열한 수법으로 가로챈 것이라고 합니다)

이제 본격적으로 허수의 발견에 대해 알아보겠습니다

봄벨리(Rafael Bombelli, 1526~1572)는 1572년 삼차방정식을 푸는 과정에서

허수를 이용한 복소수를 생각했는데, 그는 복소수의 연산을 실제적으로

현대적인 방법으로 형식화하였지만 허수와 실수의 결합 형태인

복소수를 쓸모없고 궤변적인 것으로 보았다고 합니다

후에 데카르트(Rene Descartes, 1596~1650)는 그의 저서 ‘기하학’에서

“참인 근이나 거짓인 근(음수근)이 반드시 실수인 것은 아니다.

때로는 허수일 때도 있다”고 말함으로서 허수(imaginary number)라는

용어를 처음 사용하였지만 수가 아니라고 경멸하였다고 하는데요

실례로 'x²+1' 방정식을 생각해보면

허수가 왜필요한지 알게됩니다

실수 즉 유리수나 무리수 혹은 정수의 해는 존재하지 않는데요

따라서 해가 존재하도록 하려면 새로운 수를 만들어야 합니다

그러려면 결국 일종의 약속이 필요한데요

그래서 바로 그 약속을

x² = -1 공식에서 x값을 i라 쓰고, 이것을 상상의 수 허수로 인정한 것입니다

이 공식 외에도 허수는 다양한 수학적 경우에 나타나는데요

아무리 약속이라고 하지만, 수(실수) 집합을 수직선과 일치시켜서 생각해 왔던

우리의 상식으로는 납득하기 어려운 데가 많았습니다

제곱해서 마이너스가 되는 수는 수직선 위의 어디에도 없기 때문인데요

그래서 그런지 이 새로운 수는 단지 방정식의 해로서만 등장했지

수직선과 관련지어서 생각한다는 따위의 약속이나 규정은 전혀 없습니다

그냥 약속에 의하여 i = √-1이 성립될 뿐인데요

i 가 수라면 결국 a + bi (a, b는 실수)는 수여야 합니다

게다가 이것들 사이에 사칙연산이 성립해야 하는데요

이러한 허수의 연산에는 실수의 연산과는 너무나 다른

기존의 수의 성질로는 해명할 수 없는 특성이 있습니다

왜냐햐면 기본적인 연산이 성립되지 않기도 하기 때문인데요

그리고 실수와 허수사이의 더욱 중요한 특징은

허수는 그 크기와 순서를 정할 수 없다는 것입니다

이러한 허수의 특징은 생각할수록 기묘한 느낌을 주는것 같은데요

허수는 기존의 수의 질서를 모두 무시하고도

그 존재의 영역을 그림자로 또는 부인할 수 없는 실체로

그 모습을 드러내어 왔다고 할 수 있습니다

그래서 허수는 수학세계에서 인정받기까지 수 백 년의 세월을 필요로 했는데요

어쩌면 수학은 언제나 새로운 혁명을 필요로 한건지도 모릅니다

기존의 체계에서 문제를 해결하고자 하여도

그 체계에서 안주할 수 없는 모순이 대두되는 것인데요

이 모순을 해결하게 되면 다시 또 다른 모순에 부딪치게 되고

그 때마다 이 모순을 기존의 체계 속에 통합하는 발전의 과정을 거치게 된것입니다

즉 현재의 수학은 계속해서 모순과 부딪히는 혁명을

반복하며 발전해 왔다고 할 수 있는데요

허수 얘기를 하다보니

어느새 수학의 발전에 대해 까지

굉장히 광대한 얘기를 하게된것 같습니다ㅎㅎ

허수가 어떻게 해서

우리 수학사에 등장하게 됐는지

이제는 이해가 가시나요??

짧은 내용이 아니라

읽기가 힘들었을 수도 있지만

한번 시간을 내서 차근히 읽어보셔서

이번 내용이 여러분들에

유용한 수학적 지식이 되기를 바라겠습니다

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교과서에 보면 i는 x² = -1 의 해를 구하기 위해서 도입되었다고 언급되어 있습니다.

하지만 역사적으로는 그렇지가 않습니다.

많은 수학자들에게 있어서 허수의 개념은 사실 그다지 필요가 없었죠.

수학과 함께 발전한 물리학에서조차 20C 현대물리학의 양자역학이 나타나기 전까지의 실제로 허수의 개념이 별로 필요가 없었습니다.

그 때문에 실수의 개념만으로도 실세계의 문제를 충분히 해결할 수 있었기에 새로운 수체계에 대한 필요성이 그다지 없었습니다.

즉, 실수의 제곱이 양수라는 것으로(혹은0) 자연스럽게 받아들여지고 있는 상황에서 x² = -1의 해라는 것은

'허수를 도입해야 겠네!!' 라고 생각되는 것이 아니라 'x² = -1은 해가 없는 방정식 이군!' 이라고 받아 들여졌죠.

따라서 뭔가 새로운 개념을 얻기위해서 방정식 x² = -1의 해를 구하는 시도는 없었다는 겁니다.

그렇다면 허수의 도입은 어디에서 요구되었을까요?

역사적으로는 x² = -1 같은 이차방정식이 아니라 3차방정식을 푸는 과정에서 요구 되었습니다.

16세기경 유럽에서는 수학자들간에 명예를 걸고 수학대결을 펼치는 일이 빈번했는데,

'타르탈리아'라는 수학자가 수학대결을 하는 과정에서 최초로 일반적인 3차방정식의 근의 공식을 얻어냅니다.

이 3차 방정식의 해법을 전해들은 '카르다노'라는 수학자는 해를 구하는 과정에서 특이한 경험을 하게 되는데,

방정식의 '실근' 을 근의 공식을 통해서 얻으려고 하면, 그 중간 계산과정에서 허수가 존재하는 경우가 생긴겁니다.

위에 링크되어 있는 위키의 다음과 같은 3차 방정식의 근의 공식 일부를 카르다노는 발견 하였습니다.

그는 방정식 x³ = 15 x + 4 가 x=4를 근으로 가짐을 알고 있었는데 (4를 대입하면 등식이 성립하므로)

위 공식을 사용하면 다음과 같은 근을 얻습니다.

카르다노는 직관적으로 얻은 근인 x=4와 위의 근이 일치할 것이라고 추측하였고 (실제로도 계산하면 정확하게 4와 일치함)

그 추측을 정당화하기 위해서는 루트안의 -121을 해결해야 했던 것이지요

즉, 'x² = -1의 근과 같은 존재하지 않아 보이는 근'이 아니라 '실제로 존재하는 실근'을 구하기 위해서는 '허수'를 계산하여 간단히 하는 연산이 필요하게 된겁니다. 하지만 카르다노는 허수에 있어서 수학적으로 큰 성과를 얻지는 못합니다.

그 이후에 내노라 하는 수학자들에 의해서 복소수의 기본 개념이 잡혀가기 시작합니다.

ps1. 역사적인 배경이나 이론에 대해서 더 자세히 알고 싶으시다면 책을 하나 추천해 드리겠습니다.

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전 어디서 들었는데 빚을 진 땅이 넓이는 -1600제곱미터이고 그것의 한 변의 길이는 뭔가...에서 허수를 만들었다고 했습니다. 그런데 전 빚을 진 땅의 넓이는 그냥 땅의 넓이와 다를 바 없다고 생각하는데요 허수의 탄생의 비화가 뭔가 잘못 된 것이 아닐까요?

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EBS 방송에서 보신 그 이야기에는 약간의 허구가 섞여 있습니다.

물론 허수가 '음수의 제곱근'을 표현하기 위해 처음 수학에서 등장한 것은 맞습니다.

카르다노가 특히 허수를 이용하여 3차방정식의 해의 일반 공식을 이끌어냈지요.

그렇지만 카르다노 본인을 포함하여 당대의 유럽 수학자들은 심지어 음수도 수로 인정하지 않았기 때문에 허수는 당연히 허구의 존재라고 생각해서 '허수(imaginary number)'라는 잘못된 이름을 붙였습니다.

그러면 허수는 어디에 쓰일까요?

물론 수학 내에서 허수는 너무나도 중요하고 아름답고 고상하며, 거의 모든 수학 분야에서 쓰입니다.

허수와 실수를 합친 수 체계, 즉 복소수 체계가 갖는 기하학적인 아름다움과 구조의 풍부함은 아직도 인간이 헤아릴 수 없을 정도로 심오합니다.

그리고 여러 중요한 수학분야 - 기하학, 위상수학, 대수학 - 들이 복소수의 품 안에서 하나로 통일되는 장관을 보여줍니다. 때문에 복소수는 수학자들에게 있어 무한한 영감과 상상의 원천이 되며, 직관과 이론의 출발점이 되기도 합니다.

그러나 비단 추상적인 수학의 세계에서만 허수가 쓰이는 것만은 아닙니다.

 위상자(phaser)라고 해서 교류 회로의 전류의 위상을 표현하기 위해 복소수를 사용하기도 합니다. 그러나 이는 사실 삼각함수로도 충분히 할 수 있는 작업이기 때문에 딱히 복소수를 사용해야만 하는 응용은 아닙니다.

지금까지 말한 것만 보면, 허수는 수학 이외에서는 별로 쓸모 없는, 편리하긴 하지만 현실에 존재할 것 같지 않은 그무언가처럼 보입니다.

하지만, 복소수가 반드시 쓰여야만 하는 중요한 과학 분야가 있습니다.

그분야는 바로 반도체로 대변되는 현대의 컴퓨터 문명을 떠받치고 있으며 이론물리학의 절반을 지탱하고 있는 양자역학입니다.

양자역학에서는 입자들이 파동함수로 기술되며, 그 파동함수의 크기의 제곱이 주어진 지점에서 입자가 발견될 확률로 주어집니다.

그런데 이 파동함수는 본질적으로 복소수로 표현됩니다. 과학에 조금만 관심있으면 누구나 한번 쯤 들어본 적이 있을 그 슈뢰딩거 방정식

에서부터 이미 허수단위 i가 포함되어 있지요.

 그리고 이렇게 파동함수가 복소수로 표현되어 있기에, 비로소 파동함수 사이의 간섭현상이 제대로 설명되고 이해될 수 있습니다.

이러한 양자역학은 반도체로 대변되는 현대의 전자문명의 이론적 바탕이 됩니다.

따라서 만약 복소수가 발견되지 않았다면, 우리에게는 컴퓨터는커녕 싸구려 전자시계나 시장에서 상인들이 사용하는 조잡한 전자계산기조차 평생 볼 기회가 없었을 것입니다.

따라서 어떤 의미에서, 실수는 큰 규모의 (즉, 거시적인) 자연현상을 설명하고 복소수는 아주 작은 규모의 (즉, 미시적인) 자연현상을 설명하는 자연스러운 언어라고 생각할 수 있습니다.

 

 단지 우리가 아주 작은 세계를 직접 보고 만질 수 없기 때문에 쉽게 와닿지 않는 것이라고 생각할 수도 있겠지요.

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 수 자체는 인간이 만든 추상화예요. 실수, 허수(복소수) 자체를 실질적으로 존재한다고 확정할 수는 없어요.

다만 실수, 복소수가 갖는 성질이 자연계에 존재한다-실수, 복소수가 실제로 자연계에 존재하는 지는 모르는-라고는 말할 수 있겠지요.

예훈이가 말한 대로 양자역학에는 실수로 기술될 수 없지만 복소수가 가진 성질로는 기술될 수 있는 현상이 존재하는 것으로부터 말이에요.

 단순히 표면만 보고서의 실수/복소수 판별보다는 복소수가 가진 '성질'과 같이 그 대상의 '물리적 의미'를 파악하고, '이해'하는 것 또한 중요할 것이에요.

'허수는 무엇인가'에 덧붙이자면; 수학은 아름다워요.

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전기와 전파
그것들을 공부하다
엉뚱하게 허수 i 를 공부하게 되었습니다
과학공부하다가 수학공부하게 된 셈인데
그럴 수밖에 없었습니다
●
오늘날 우리는
- 3 ( 마이너스 3 ) , - 5 ( 마이너스 5 )
이렇게
음수를 아주 자연스럽게 사용하고 있지만
인류의 역사 4천년을 통하여
음수가 수학적.과학적으로 받아들여서 사용할 수 있는 수이다
하고
정식으로 인정된 것은 불과 500년전입니다
몇천년 동안
" - 3 개라니 ? "
" - 5 마리라니 ? "
" 대체 저게 말이나 되는 소리냐 ? "
(-3)×(-2) 란 대체 무슨 헛소리냐 ?
" 저것이 말이나 되는 소리냐 ? ?
" 음수를 어디에 써먹느냐 ?
음수란 게 의미가 있느냐 ? "
●
몇백년 동안
최고의 지성들이 음수를 놓고
수많은 고민과 번뇌를 했습니다
하지만
오늘날 중학생들도
그런 고민을 안 합니다
●
허수 i
( i ) × ( i ) = - 1
제곱하면 음수가 되는 허수 i
●
도대체 저 허수가 어디에 사용되나 ?"
이런 의문은
전기와 전파를 계속 공부하면
자연스레 해소됩니다
●
전기에서는 교류에서
이쪽으로 전기가 흐를 때는 감쪽같이 사라졌다가
저쪽으로 전기가 흐를 때는 불쑥 나타는 그런 전류
그런것을 값으로 표현하거나 계산할 때
허수 i 가 사용되며
●
광학과 양자역학에서도 밥 먹듯이 사용되는데
●
한가지 분명한 것은
음수의 경우와 마찬가지로
앞으로 200년 정도 지나면
" 허수 i 가 현실에서 의미가 있나 ? "
" 허수 i 가 대체 어디에 사용되나 ? "
중학생조차도
이런 고민은 하지 않을 거라는 것
●
전기나 전자 전공하는 사람은
당장 먹고살기 위해 허수를 다루다 보니
그런 호기심도 못 느끼고
기계적으로 허수 i 를 사용하는데

●
오히려 전공을 하지 않는 사람이 신비감을 느낄 수 있어서 더 좋은 것 같습니다 ................
●
아침에 음수의 역사를 보니
이해가 갔습니다
●
" 아직은 인류의 문명이 일반인도
허수를 음수처럼 자연스럽게 받아들일 그 단계까지 진전되지 않아서
내가 그런 고민들을 했구나 ....."
●
1 2 3 4 5 6 7 8 9
이런 자연수만 사용하다가
0 을 처음 사용했을 때도
수많은 사람들이
0 에 대해 신비감을 느끼기도 하고
고민도 많이 했을 겁니다 ...
8400
3002 하면
대체 저게 무슨 뜻인가 ? ...하고

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고등학교 때 배우는
허수 2i , 복소수 3 - 7i
저런 게 대체 어디 쓰이느냐 ?
아무 쓸 데도 없는 것 아니냐 ?
이런 질문이 많습니다

전기에서
전류 = 전압÷저항
이렇게 표현합니다

●
발전소에서
우리 집이나 공장으로 오는 전기는 교류입니다
120분의1초는 시계방향으로
120분의 1초는 시계반대방향으로
규칙적으로 방향이 바뀌면서 전기가 옵니다

● 교류에서 저항표시 방법은

합성저항 = 일반저항 + 특수저항(코일저항 + 콘덴서저항)

이렇게 표시하며
유식한 표현으로 해서
임피던스 = 리지스턴스 +
리액턴스(인덕턴스 + 캐패시던스)

이것이
a + bi ☞ 복소수로 표현됩니다
합성저항 = 일반저항 + 특수저항i
☜
일반저항 부분은 실수로
특수저항 부분은 허수로 표현되며
결국
교류의 저항은 복소수로 표현됩니다
●
그리고
전파나 전자기파의 성질을 분석하는 푸리에변환에서
어떤 전파가 올 때
그 전파의 구성성분을 밝힙니다
이 전파에는
100 헤르쯔 성분이 얼마 있고
200 헤르쯔 성분이 얼마 있고 .....
이렇게 분석할 때
" 얼마 있고 ! "
이 값이 복소수로 표현됩니다
a + bi ☞ 복소수로 표현됩니다
●
허수 2i , 복소수 3 - 7i
허수와 복소수가 없었다면
컴퓨터와 핸드폰은 절대로 탄생할 수 없었습니다
전기도 초보단계의 발전에 그치고 더 이상 발전하지 못했을 것입니다
●
자연수 , 정수 , 소수 , 분수
이런 수들로만 만족하면 살았다면
인류문명은 초보단계에서 정지했을 겁니다
하지만
3.14159265358979323846 ........
2. 71828282845904523536 ........
1 . 41421356237309504889 .....
이런 무리수와 초월수
2i , 3 - 7i
이런 허수와 초월수 ....
수학자들이
새로운 신비스런 수들을 계속 찾아냈기 때문에
인류의 문명과 과학은 엄청나게 발전한 것입니다 .........................