항등정리 관련 질문

[양영완]

Chapter 3 초등함수 중 motivation으로 항등정리를 서술하시고 어떤 실함수 g가 이미 존재한 상황에서 적당한 해석적 복소함수 f를 만들어 f를 실함수로 제한시켰을 때 g가 된다면 그런 함수는 유일하다고 하셨는데요. (강의 내용과는 조금 다르게 정리했습니다.)

그런데 여기서는 단원이 초등함수 단원이라 어차피 지수함수 삼각함수 등 적당하게 실함수로서도 해석적인 함수로 주어지겠지만, 일반적으로 생각하면 예를 들어 디리클레 함수 같은 함수는 어떻게 확장시켜도 복소수에서 연속이 안될 텐데요.

그러면 여기서 '실함수'라는 것은 '실해석적 함수'를 말한다고 생각해도 되나요? 제 생각으로는 실해석적이 아닌 함수 g를 확장시켜 복소해석적으로 만들 수 없을 것 같거든요. 그런 f가 존재한다면 그 f를 실함수로 제한시키면 실해석적이어야 되지 않나 하는 생각이 들어서요.

이런저런 생각이 들어 항등정리를 교재나 강의록에서 찾아보려 했는데, 교재나 강의록에 명시적으로 나와 있지는 않는 것 같네요. (몇 번 찾아봤는데 제가 못 찾은 것일까요?) 혹시 기출 문제풀이에 별 쓰임이 없어서 제외시킨 것일까요?

[수정과]

① 복소에서 해석적인 함수라고 하여 반드시 실수로 축소한 함수가 실해석에서 해석적이 되는 것은 아닙니다.
② 교재에 빠져있어 수업시간에 부연 설명하신 것입니다.

[양영완]

아, 그렇군요.
1번 답변에 대한 추가 질문이 있습니다. 그러면 복소해석적 함수인데 실함수로 축소시켰을 때 실해석이 아닌 예시가 어떻게 될까요?

그리고 복소해석적으로 확장가능한 실함수의 조건이 어떻게 될까요?

[수정과]

① f(z)=i라 하면 f는 정함수인데 실수로의 축소함수는 실함수가 아니므로 실해석에서 해석적의 정의를 만족하지 않습니다.
② 조건은 잘 모르겠네요. 굳이 생각해보자면 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)로 확장할 때 u(x,0)=f(x), v(x,0)=0이고 v가 u의 켤레조화함수가 되도록 정의할 수 있어야하지 않을까라고 생각해볼 수 있을 것 같습니다.

[양영완]

그렇군요. 그러면 실해석적인 함수는 복소해석적으로 확장가능하다고 할 수 있나요?

[수정과]

자주 다루는 내용이 아니라 참인지 거짓인지 판단할만한 금방 떠오르는 아이디어가 없네요. 충분한 시간을 가지고 생각을 해봐야 할 것 같은데 현재 타 업무가 밀려있어 죄송하지만 시간이 여의치 않을 것 같습니다. 혹여나 관련된 정리의 증명이나 반례가 있어 그 내용을 이해함에 있어 모르는 부분이 있다면 댓글 남겨주시면 체크해보도록 하겠습니다.