[김대수의 수학 어드벤처] 디오판토스의 묘비 방정식

[겨울소나기]

[김대수의 수학 어드벤처] 낯선 문제는, 누구도 밟지 않은 눈길 가듯 풀어라

디오판토스의 묘비 방정식

김대수 교수 한신대 컴퓨터공학부 | 제343호 | 20131006 입력 

수학을 배우며 방정식이라는 것을 처음으로 접했을 때 상당히 어렵다는 생각을 가지게 된다. 수학 기호를 사용해 복잡한 관계를 식으로 만들어 푸는 과정이 그리 만만하지 않기 때문일 것이다.

방정식 문제는 약 1800년 전 이미 비문에 적혀 있어 피타고라스의 기하학과 더불어 방정식의 역사가 매우 오래된 것임을 알 수 있다.

고대 그리스의 저명한 수학자 디오판토스(Diophantus, 200~284)는 3세기께 산학(算學·Arithmetica)이란 저서를 통해 수 이론의 바탕을 마련했다. 그는 수학 기호를 처음으로 방정식에 적용해 ‘대수학의 아버지’라고도 불린다. 

그의 비문에 새겨진 나이에 관한 이야기는 매우 흥미롭다. 비문의 내용은 당시 사람들이 풀기엔 무척 까다로운 방정식 문제였는데, 다음과 같이 새겨져 있다고 한다. 

“보라. 여기에 디오판토스의 일생에 관한 기록이 있다. 일생의 6분의 1은 소년이었다. 그 후 12분의 1이 지난 후 수염이 자랐고, 다시 7분의 1이 지나 결혼했다. 5년 후에 낳은 아들은 아버지 나이의 꼭 절반을 살았고, 그는 아들이 죽고 난 4년 뒤에 세상을 떠났다. 그가 몇 살까지 살았는가를 구해 보라.” 

디오판토스가 죽은 해의 나이를 x라고 하면 다음과 같은 식을 세울 수 있다.

x÷6+x÷12+x÷7+5+x÷2+4=x

이 방정식을 풀면 x=84다. 따라서 디오판토스는 84세까지 살았다.

지금은 수학 지식이 일반화돼 어느 정도 수학적 개념이 있으면 방정식을 세우고 풀 수 있다. 그러나 아득한 옛날, 묘비에 이런 문제를 남길 생각을 했다니 참으로 기발한 수학자였던 것이다.

[문제 1]에서 곱셈한 결과로 만들어지는 세 자릿수의 값이 모두 같은 값인 B임에 착안해 A와 B의 값을 찾아내 보자. 먼저 A의 값에 0부터 9 사이의 수를 대입해 BBB와 같은 형태의 값이 나오는 조합을 모두 찾아내면 되는데, 이 경우에는 한 가지만 성립됨을 알 수 있다.

[문제 2]에서는 주어진 식이 모두 곱하기와 나누기의 연산들로 이루어져 있으므로 이것을 반대 방향으로 이항해 계산하면 된다. 즉 이항하면서 곱하기는 나누기로, 나누기는 곱하기로 변환하면 된다. 이러한 아이디어를 적용하면 암산으로도 능히 가능할 것이다.

[문제 3]에서 작은 정사각형의 개수가 모두 12개임에 착안한다. 따라서 이것을 4개의 도형으로 나눌 경우에는 각각 3개씩의 조합을 고려한다. 또한 4개의 도형으로 나눌 경우에는 각각 3개씩으로 구성되는 같은 모양의 도형으로 나눈다. 여러 모양으로 나누는 방법으로 접근해 본다.

수학과 관련된 문제를 오랜만에 접할 때에는 누구나 낯설고 어렵기 마련이다. 그러나 차분한 마음으로 문제의 핵심을 이해하고 나면 생각보다 쉽게 풀릴 것이다.

누구도 밟지 않은 눈 쌓인 길을 걷는 마음이 곧 발상의 전환을 가져다주는 수학 문제에 도전하는 마음이 아닐까.

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