9.합이 20인 두 정수의 곱이 최대가 될때, 두 정수를 구하여라
이건...
1+19 = 20 하고 곱해보고
2+18 = 20 하고 곱해보고
3+17 = 20 하고 곱해보고
... ...
19+1 = 20 하고 곱해보고 풀어보시면면...
정.확.히. 알 수 있습니다.(19번이나 계산해야...하지만... 10번만 계산해두 되지예... 어짜피 1+19=19+1, 1×19=19×1니까)
이렇게 한 번 풀어보시면
[두 자연수의 합이 몇 일때, 두 자연수 곱의 최대값을 구해라] 이런 문제라든가
[두 자연수의 곱이 몇 일때, 두 자연수 합의 최대값을 구해라] 이런 문제들은
그야말로 '문제 없을' 거예요.
흠... 이 문제를 푸시는데는 여기까지만 보셔도 알겠지만...
아래 부분은 참고로 보시면 좋을 것 같아요... 만일 아래 부분이 어려우시다면 아직은 몰라도 될 겁니다. 고등학교 올라오시면 배울 거예요
. . . .
아? 여기 문제에서는 자연수가 아니라 [정수]라고요? 정수라면 요 위
의 방법을 그대로는 적용할 수는 없겠지만 이 문제에서는 그냥 [자연
수]로 생각하고 풀어도 관계없을 듯.
적어도 이 문제에서는 두 정수 모두 음수(-)일 수는 없으니까(음수+음수=20가 될 수 없자나여)
두 정수는
i) 양수(+)랑 음수(-) 이게 아니면
ii)양수(+)랑 양수(+) 이 둘 중 하나이겠죠~ 근데 양수 곱하기 음수는 0보다 작으니까..
양수 곱하기 음수 < 양수 곱하기 양수 니까 답으로는
절대 두 수가 양수랑 음수가 나올 수 없죠.(예를 들어 -6+26=20 이런
걸루 답을 구할 수 없죠)
거꾸로 말하면... 구하려는 두 수는 양수랑 양수가 되니까
문제의 [정수]라는 부분을 [자연수]라 고쳐 놔도 정답을 구하는 데는
별 문제 없을 듯. 너무 어렵게 말해 놓았나요??...
조금 편리한 방벙으로는... 산술,기하평균의 관계식을 이용하는 게 있어요.
산술평균 > 기하평균 이라는 유명한 관계가 있걸랑요. 요걸 변형한 공식을 초중고 수학문제 푸는 데 자주 이용하곤 하는데요
그 공식이 바로
a,b가 모두 0보다 크거나 같을 때, a+b ≥2√ab (a더하기b 는 2배의 룻트ab보다 크거나 같다.)
참고로... 이 공식 사용하실 때... a,b모두 0보다 크거나 같다 는
전제조건을 유의하십시오...
주의할 점은 a,b 둘 중 어느 하나라도 0보다 작으면 이 공식을 이용하실 수 없습니다요.
예제 하나를 들어볼까요?
가로의 길이가 a, 세로의 길이가 b인 직사각형이 있다.
둘레의 길이가 20일 때, 넓이가 최대가 되려면 어떤 모양일까?
푸는 방법을 보여드리죠.
둘레의 반이 10이니까 a+b=10
여기서 a,b는 선분의 [길이]니까 a,b모두 0보다 크죠(크거나 같다 해도 되구)
따라서 a+b ≥2√ab
따라서 10 ≥ 2√ab
따라서 25 ≥ab
그니까 넓이가 최대려면 ab=25가 되야되죠.
a+b=10 이고 ab=25가 될 때는 a=b=5일 경우가 되죠.
그니까 정사각형일 경우 넓이가 최대가 됩니다.
참고... 나중에 아시겠지만... '정'자 들어간 도형이(평면도형이든 입체도형이든) 가장 넓이(또는 부피)가 크게 되어요.
...
이 산술기하평균의 공식은 이처럼 기하학과도 관계가 있습니다. 원을
가지고 산술기하평균공식을 보여주는 방법도 있을 정도로 말이죠.
글구... 나중에 보시면 아시겠지만 [등호는 a=b일 경우]라는 말이 거의 항상 들어가거든요
흠.. 그건 많이 이용하시다 보면 절로 알게 될 거예요^^ 도움이 되시길...