벌린스키: 수학의 역사(2005, 번 2007)

[마실가]

책벌린스1401수학의

수학의 역사

데이비드 벌린스키, 김하락, 류주환 역, 을유문화사, 2007.05.25, P.203.

원제 Infinite ascent : a short history of mathematics 2005)

- 벌린스키(David Berlinski, 1942) 미국 철학자, 교육자, 작가. 독일 태생인데 비시정부를 피해 프랑스에서 망명 온 유태계 미국인. 신학적으로 무신론자이다. 그의 딸 끌레느(Claire Berlinski)는 잘 알려진 기자이다. ,

간략하게 수학사를 일별하게 쓰여진 책이다. 수학의 중요개념들이 시대를 거치면서 생겨났다는 것을 가르쳐 주지만, 책인 얇은 관계로 수학사의 뒷이야기가 거의 없다. 그럼에도 수학사에 일어난 사건을 저자 나름으로 재치있게 묘사한 점은 수학책을 인문학적으로 서술하려는 점이 보인다. 피타고라스의 산술학으로서 수, 유클리드 기하학, 데카르트 해석기하학, 뉴턴과 라이프니츠의 미적분, 오일러의 복소수, 갈루아 군론, 리만의 비유클리드 기하학과 다양체, 칸토어의 집합론, 괴델의 불완전성공리, 마지막으로 프락탈까지를 다루고 있다.

가끔 어려운 수식을 뛰어넘고 읽어도 문제없다. 그래도 전체적 흐름으로 수학의 발전사가 시대별로 인류에 미친 영향과 다른 과학과의 연결을 생각할 수 있다. 집합론에서 언어와 연관을 좀더 다루었으면 하는 문제를 보려면, 모리스 클라인(Morris Kline, 1908-1992)의 󰡔수학: 확실성의 상실(Mathematics: The Loss of Certainty, 1980)󰡕(수학의 확실성: 불확실성 시대의 수학, 심재관, 2007)을 보는 것이 좋을 것이다. 영미 철학이 왜 언어와 분석논리에 한정되고, 윤리학과 정치철학도 은연중에 아리스토텔레스 학문을 기반으로 하고 있는지를 알게 되려면 집합론이 수렁에 빠진 것을 어떻게 구출하려고 하는 지를 보면된다. 수학은 이미 그 학문의 자율성 속에서 자기의 길을 가는 것이지, 다른 학문들에 적용과 응용은 사실상 미적분에 가장 활발하고 힘이 있었다. 인문과학의 관심에서는 여기에는 없지만 확률론과 카오스 이론을 한번 볼 필요가 있다.

수와 논리에 관한 집합론에서, 이 책은 러셀의 논리주의와 힐베르트의 형식주의 설명에 머물면서 앵글로 색슨철학의 뒷받침만 표현하고 말았다. 수의 직관주의와 위상수학에서 “2”라는 정수조차 부정되고 차원으로 넘어가는 이야기를 설명하지 않은 이유가 있을 것 같다. 나는 논리주의자와 형식주의자가 어떻게 직관주의와 논쟁하는 지를 알고 싶은 데 여긴 없다. (47LMD)

*****

목차

옮긴이의 글 5

이 책은 이밖에도 복소수, 군 이론, 현대수학을 다룬다. 확률론이 빠져 아쉽기도 하고 상식적으로 쉽게 이해되지 않는 내용도 있으나 지적 호기심을 충족하기에 충분하리라 본다. (9) [행렬을 간접적으로 언급만 하고 말았다.]

목차 11

이 책의 페이지 수는 무한 이상도 아니고 무한 이하도 아니다.

첫 페이지도 없고 끝 페이지도 없다

헤르헤 루이스 보르헤스(Jorge Luis Borges), 󰡔모래의 책(The Book of Sand)󰡕(Le Livre de sable, 1975) (13)

1장 수 15

[피타고라스의 수가 원리라는 설명은 재미있다. 그런데 현의 원리에 대한 설명이 없다.]

라마누잔(Srinivasa Ramanujan, 1887-1920(32살) 인도수학자. 1729 = 13+123 = 93+103

2장 증명 25

[유클리드(Euclide, Εὐκλείδης/Eukleidês) 고대 그리스 수학자. 정확하게는 기하학자.]

유클리드는 “기하학에는 왕도가 없습니다.” (26)

󰡔원론(Les Éléments, Στοιχεία/stoïkheïa)󰡕은 기하학 교과서이다. (27)

[유클리드의 방법은 정의, 전제, 공리, 명제로 되어 있다. 제1권에는 정의 35개, 5개 전제, 5개 공리가 있다. (La méthode d'Euclide a consisté à baser ses travaux sur des définitions, des « demandes » (postulats), des « notions ordinaires » (axiomes) et des propositions (problèmes résolus). Par exemple, le livre I contient 35 définitions (point, ligne, surface, etc.), cinq postulats et cinq notions ordinaires. /

5 postulats [전제, 요청] - 이 책은 이것을 공리라고 한다.

1. 임의의 점에서 다른 임의의 점으로 직선을 그을 수 있다.‘

2. 주어진 유한 직선을 연장하여 계속 직선을 만들 수 있다.

3. 임의의 중심과 반지름이 주어지면 원을 그릴 수 있다.

4. 모든 직각은 서로 같다.

5. 주어진 직선 밖의 한점을 지나면서 이 직선에 펴행한 선은 하나 뿐이다. (31-32)

1.Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques.

2.Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.

3.Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre.

4.Tous les angles droits sont congruents.

5.Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.

5. notions ordinaires [공리 Axiom]

1.Deux choses égales à une troisième sont aussi égales entre elles.

2.Si des grandeurs égales sont ajoutées à d'autres grandeurs également égales entre elles, leurs sommes sont égales.

3.Si des grandeurs égales sont soustraites à d'autres grandeurs égales, leurs différences sont égales.

4.Des grandeurs qui coïncident, s'adaptent avec une autre, sont égales entre elles.

5.Le tout est plus grand que la partie.

󰡔원론󰡕은 ... 경험적인 것을 다룬다. (28)

󰡔원론󰡕은 ... 학술서이다.

유클리드의 삼각형은 경험게를 떠나 절대에로 들어가는 환상적인 외삽법이다.(28)

수학에서는 가정을 ‘공리’라 하고, 결론을 ‘정리’라고 한다.

3장 해석기하학 39

로마인은 정치와 선전에 천재적 재능을 보였고, 법률, 의학, 위생공학에 재능을 타고 났다. .. 로마인은 수학에 무능했다. (39)

850? 아부 카밀(Abu-Kamil Shoja ben-Aslam ou Al-Hasib Al Misri) 850경-930경. 이집트 수학자, 거듭제곱을 다룰 줄 알았다.

1048 오마르 하이얌(Omar Khayyām ou de Khayyām[2] (prononcé "omar khayam") 1048-1131) 페르샤 수학자 3차 방정식

1588 메르센(Marin Mersenne, 1588-1648) 프랑스의 물리학자, 수학자. 󰡔우주의 조화(Harmonie universelle, 1636-1637)󰡕

1596 데카르트(René Descartes, 1596-1650) 프랑스 수학자 의학자 철학자이다.

유클리드 평면위의 직선은 그저 직선에 지나지 않는다. 주소도 없고 다른 직선과 구별하는 방법도 없다. 그런 직선이 여기저기 수천개나 있다. 그러나 데카르트 좌표계가 주어지면 속수 무책의 직선들이 정해진 아이덴티티를 획득하여 자신을 명료하게 나타낸다. (그러려면) 다시 두 수가 필요하다. (49) [유클리드에서 두 점이라는 페라스가 필요하다. 하나의 점을 설정하는데 두 개의 위상이 필요하다. 이 위상의 점은 이미 페라스 이다. 마치 원주위의 점들은 중심과 연관 속에서 점이듯이, 좌표의 점은 두 축의 연관 속에서 점이다. 다시 모든 개체라는 점은 페라스가 없는 것이 아니라, 상대적으로, 페라스가 있다. 점이 페라스가 없는 경우는 (추상화를 통한) 기호화 또는 관념화이다. 즉 개별적 위치를 추상화하는 것으로 심리적 투영물에 불과한다. 그럼에도 그 투영물이 값어치를 갖는 것은 그에 그 값어치를 부여한 자에 의해서이다. (47LMB)]

1차 방정식의 일반형은 Ax + By +C = 0 이다. 이 방정식에는 변수가 x, y 두 개 있고, 일정기간봉안 일시적으로 작용하는 매개 변소가 A, B, C 세 개 있다. (50)

4장 미적분 57

[라이프니츠와 뉴턴]

이제 사상사에서 '꽝‘하는 소리가 터진다. 수학은 미적분이 발견되기 전에는 매우 흥미있는 분야였고, 미적분이 발견된 되에는 대단한 힘을 지닌 분야가 되었다. 20세기에 알고리듬(algorithm)이 등장하여 미적분에 필적할 만한 수학적 개념이 나타났다. 미적분과 알고리듬은 서양과학의 주요한 두 개념이었다.(57) [크누트(Donald Knuth, 1938-) 컴퓨터 프로그램 계산에 알고리듬을 적용하다.]

라이프니츠는 1684년에 󰡔학술기요(Acta Eruditorum)󰡕 3원에 ｢극대치와 극소치를 구하는 새로운 방법(Nova Methodus pro Maxima et Minimus)｣이라는 논문을 발표했다. (61)

｢새로운 방법｣을 쓴 라이프니츠는 거리나 속도를 직접 다루지 않았다. 라이프니츠는 ‘곡률’에 관심이 있었다. (62)

속도(웅크린다, 뛰어오른다, 위로, 아래로)와 곡률(굽은 것)은 같은 것이다. 둘 사이의 연관성을 알았는지? 물론, 그 정도는 알아야 한다. / 속도의 수수께끼는 곡률의 수수께기임도 알아야 한다. (63)

함수 f(x)=x2 으로 시작하여 라이프니츠는 x가 무엇이든 간에 모든 점의 곡률(또는 속도)은 ‘다른’ 함수로 설명될 수 있다고 확신했다. 그래서 수 사이의 연관성이 아리라 함수 사이의 한 차원높은 연관성을 확립했다. 그 다른 함수는 g(x)=2x이다. (66)

도함수가 한 점의 끝까지 변화를 짜낸다면 정적분은 일정한 면적에 걸쳐 일어나는 변화를 평가한다. 흔들림이 정지에 양보했다.(70)

미분은 원래 수 대 수 거래와 관련이 있고, 특정한 점에서 함수의 변화율을 평가하는 것이다. 그 후 수 대 수 거래는 함수 대 함수를 다루는 것으로 대체되었다. (71)

5장 복소수 77 [un nombre complexe ]

이탈리아 수학자 지롤라모 까르다노(Girolamo Cardano (1501-1576)가 뛰어난 표절자라는 이야기... (77) /

카르다노는 󰡔위대한 술법(Ars magna, 1545)󰡕(Le grand art ou Les règles algébriques)을 출간... (78)

17세기에 복소수는 귀신처럼 나타났다가 사라졌다. (80)

i2 = -1 (81) [허수 i, 복소수란 a+bi]

레온하르트 오일러(Leonhart Euler, 1707-1783) .. [무한소수의 귀재였다.]. 카트리아 2세(Catherine II, 1729- 1796)[재위 1762-1796] (83) [반복은 동일반복이 있고 동일반복이 아닌 무한히 열림이 있다. 잴 수 있는 방법은 있는가? 잴 수 없는 반복을 초월수(초무한)이라고 부르자. (47LMB)]

[직각 삼각형을 다루는] 삼각함수는 +1과 -1 사이를 주기적으로 오가고, 끝없이 같은 패턴을 반복한다. (085)

지수함수는, 학부생들이 페트리 접시(세균 배양용 접시, 역주)안에서 감당하지 못할 만큼 세균을 분열시킬 때처럼, 생물학에서 배가 과정을 나타내는 데 사용된다. (86)

e 도 π, i, 0, 1처럼 그것은 이론 물리학에서 기초 상수 비숫한 역할을 하는 듯하다. / 임의의 함수 ax를 전적으로 e로 나타낼 수 있다.

e(x) = 1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + ... 이다. / x=1일 때 수학자는 e1 의 값을 구하려 한다. 그러나 101이 10인 것처럼, 1로 거듭제곱되면 수는 단순히 그 자체일 뿐이다. 기대에 찬 수학자는 e(1)에서 2.71828...을 구한다. (90) [이 무한은 루트2의 무한과 다르며, π의 무한처럼 정해져 있지 않은 무한수이다. 그래서 초월수라 부른다. (47LMB)]

6장 군 97 [군론 théorie des groupes, un groupe]

프랑스의 천재 수학자 갈르와(Evariste Galois, 1811-1832) (97)

노르웨이 수학자 아벨(Niels Henrik Abel, 1802-1829) (101)

그날 밤 갈루아는 이 질문의 답이 부정적임을, 곧 계수를 산술적으로 조작하거나 끊임없이 근을 찾아 헤매도 5차 방정식이 ‘반드시' 풀리지 않음을 증명했다. (102)

큰 사실: 임의의 두 수는 서로 더해질 수 있고, 그 결과로 ‘다른 수를 생성할’ 수 있다.(103)

제1 세부사항: 덧셈에는 결합법칙이 성립된다. 순서는 중요하지 않다. .. / 제2 세부사항: 0은 항등원이다. 곧 어떤 수에 0을 더하면 언제나 그 수 자신이 된다. .. / 제3세부사항: 모든 수에는 역의 음수가 있다. (103)

이 특수한 정수 대신에 특정되지 않은 집합 G ={a, b, c, ...} .. 괄호는 요소[원소]를 모아두었다는 뜻이다. / G에는 불특정한 결합 연산이 있다. .. 즉 a o b = c 이다. .. / 게다가 군에는 항등원 구실을 하는 원소 e 가 있다. a o e = a 이다. / 마지막으로 G의 모든 요소 a에 대해서 a를 항등원 e 로 만드는 역원 a-1 이 있다. 즉 a o a-1 = e 이다. (104)

1907년 헤르만 민코브스키(Hermann Minkowski, 1864-1909)가 아인슈타인의 특수 상대성 이론을 수학적으로 뜻이 통하게 풀어썼다. 민코프스키는 아인슈타인이 예견한 시간과 공간의 융합을 군 언어로 보여주었다. (114) [ 민코프스키의 시간-공간의 4차원 연속(un « continuum espace-temps » à 4 dimensions) 개념은 아인슈타인에 의해 상대성이론으로 발전되었다. (47LMB)]

1960년대 초에 소립자물리학자들은 여러 가지 실험을 하다가 빛나는 흔적을 남기면서도 안정된 패턴으로 분류되기를 거부하는 불안정한 물체인 새로운 소립자군에 직면했다. 머레이 겔만(Murray Gell-Mann)과 유발 네만(Yuval Ne'eman)은 ... 군으로 득정된 물리적 8중항들 중 하나가 있어야할 구성입자 하나를 빠뜨린 것처럼 보였을 때, 겔만과 네만은 그 빠진 소립자가 거기에 분명히 존재하고 언젠가는 발견될 것이라고 예언했다. (116)

7장 비유클리드 기하학 117

가우스(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)

공리

1. 임의의 점에서 다른 임의의 점으로 직선을 그을 수 있다.‘

2. 주어진 유한 직선을 연장하여 계속 직선을 만들 수 있다.

3. 임의의 중심과 반지름이 주어지면 원을 그릴 수 있다.

4. 모든 직각은 서로 같다.

5. 주어진 직선 밖의 한점을 지나면서 이 직선에 펴행한 선은 하나 뿐이다. (31-32)

별표가 붙은 5의 부정 두 개는 다음과 같다.

5* 주어진 직선 L 밖의 한 점을 지나면서 이 직선 L에 평행한 선은 ‘없다’ 또는.

5** 주어진 직선 L 밖에 한점을 지나면서 이 직선 L에 평행한 선은 적어도 ‘두 개’있다.

(121)

요한 볼리야이(Johann Bolyai, János Bolyai, 1802-1860) 헝거리 수학자. 1823 비유클리드 기하학을 다루었고, 1832년에 책자를 냈다.

로바체프스키(Nicolay Ivanovich Lobachevsky, Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski, 1792-1856) 러시아 수학자. 비유클리드 기하학 또는 쌍곡 기하학 (géométrie non euclidienne, appelée géométrie hyperbolique)의 내용을 1837년 불어로 출판했다.

이것은 수학의 문제가 아니라 논리 문제이다.(125)

1866년 이탈리아 기하학자 에우제니오 벨트라미(Eugenio Beltrami 1835-1900)는 쌍곡기하학이 의구의 표면에 의해 모델이 될 수 있음을 증명했다. (126)

가우스와 베른하르트 리만(Bernhard Riemann, 1826-1866)의 업적으로 비유클리드 기하학을 유클리드 기하학에 연결하는 탯줄을 마침내 잘라졌다. 두 사람의 업적은 정말 기묘했고, 우리의 경험과 예상을 뒤집는 것이었다. 길을 발견한 사람이 가우스라면 그 길을 따라간 사람은 리만이다. (130)

[가우스(Karl Friedrich Gauss, 1777-1855)의 지도로 리만은 학위발표 논문, 1854년에 ｢기하학 기초를 이루는 가정에 대하여(Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen, 1854, Sur les hypothèses sous-jacentes à la géométrie)｣

리만은 이 좌표들이 자신이 다양체라고 부른 특수한 순서에 따른 수들에 지나지 않는다고 했다. 평면 대신에 정돈된 쌍들의 집합<x1, x2>가 있고, 3차원 공간 대신에 3중항의 집합<x1, x2, x3>가 있고, n차원 공간에는 n개의 요소가 있는 n 중항의 집합<x1, x2, ... xn>이 있다. (133)

직관적인 공간 개념이 그의 다양체로 대체되자 리만은 다양체 개념에 못지 않게 과감한 명제에 매달렸다. 그것은 그런 다양체 해석은 국소적이어야 하며 전적으로 한점에서의 다양체의 성질에서 출발해야 하다는 것이었다. 이것은 유클리드의 관점이 전혀 아니다. 유클리드 관점에는 평면이 처음부터 주어졌다. 리만은 처음부터 거기에 존재하는 것은 ‘없고’ 거기에 존재하는 것이 없다면 거기에는 아무것도 없다고 생각했다.(133) [아무것도 규정이 없다는 점에서 아페이론이다. 카오스는 아니지만 무규정자이다. 들뢰즈가 사회의 다양체에서 ‘고아’로부터 시작하는 것도 같은 의미일 것이다. 석가가 천상천하유아독존이라 할때도 다양체(무경지에 있는 무규정자)일 것이다. (47LMB)]

ds2 = g12 du1 du2

방정식 우변의 g12를 텐서(tensor, fr tenseur)라고 한다. 테서는 이 점들이 어떤 관계를 즐길 수 있고 어떤 환경에서 즐길 수 있는지를 가리키는 지시처럼 생각해도 좋다. .. 이 방정식은 점 사이의 거리를 규정한다. 이런 점에서 이 방정식은 피타고라스의 거리 공식을 일반화한 버전이다. (134)

유클리드 공간은 적당한 텐서가 모두 1이고 그 결과 곡률이 모든 점에서 같을 때 생긴다. 그러나 만곡이 다양체 위의 모든 점에서 변하는 이상한 공간도 있다. 말이 나왔으니 말이지 범위는 유한하나 끝이 없고, 측지선이 미지의 점을 향했다가 필연적으로 출발하는 곳으로 되돌아오는 곳인 3차원 구체 공간은 대체 무엇인가? 눈으로 그려볼 수 있는 힘은 모두 빠져나간다. (135-136)

이 괴상함을 물려받은 사람을 물리학자이다. (136) [그리고 인간의 기억을 설명하려는 들뢰즈가 물려받았다고 해야 할 것이다. (47LMB)]

8장 집합 137

[가우스가 죽고 리만 등이 떠나고] ... 바이에르스트라스(Karl Weierstrass 1815-1897), 크로네커(Leopold Kronecker 1823-1891) 쿠머(Ernst Kummer 1810-1893) 데데킨트 (Julius Wilhelm Richard Dedekind, 1831-1916)가 막 떠올랐다. (137)

집합론은 칸토어(Georg Cantor 1845-1918)가 창조한 것이고 그의 혁명적 위업이었다. (138) 칸토어를 박해하는데 몰두한 사람은 크로네커 였으며 .. 옹호자 가운데 데데킨트가 있다. (139)

해석기하학에서 평면위의 점은 수의 쌍과 일치한다. ‘쌍’은 첫째 수가 첫째[1]이고 둘째 수가 둘째[2]임을 말해준다. 기본적인 개념은 사물의 순서가 주어졌다는 것이고, 순서가 주어진 사물이라는 개념을 이용하지 않고서는 그 개념을 정의하기 쉽지 않다는 것이다. (141)

집합론에서 함수는 즉시 형이상학적 수화물의 일부를 잃는다. 행동과 행위자를 제거해보자 함수는 순서가 정해진 쌍의 집합‘이다’.(142)

[칸토어의 집합적 사유로] 위대한 해석의 시대가 시작되었다. (143)

[칸토어는 초월무리수가 존재한다는 것을 증명했다. 초월무리수란 대수 방정식의 근이 될 수 없는 수를 말한다. 그런데 1882년 페르디난트 린데만(Ferdinand von Lindemann 1852-1939)이 π가 초월무리수임을 보였다. (405-406)]

칸토어는 수학적 플라톤주의자였다. 아니 수학적 플로티누스주의자였다. 칸토어가 고백한 적은 없지만 그리스 철학자 플로티누스야 말로 칸토어의 스승이었다. (146)

그래서 무한 기수가 처음으로 모습을 보였다. 그것은 자연수 자체의 집합의 기수이다. 칸토어는 이것을 히브리어 알레프 א0로 표시했다. א0 는 자연수와 일대일로 대응될 수 있는 모든 집합의 집합을 나타낸다. (147)

수학자들은 오랫동안 아리스토텔레스를 추종하여 무한 개념과 껄끄러운 타협을 했다. 물론 수학은 자연수처럼 영원히 진행되는 것을 많이 다룬다. (149) [아리스토텔레스의 무한은 무한 소급에 일정부분에서 멈춘 것이다.‘] [무한이라는 표현으로 일반 무리수 א0 루트, 이에 비해 파이, 이 등은 다른 것이다.]

2N이 ‘늘’ N보다 크다는 것이 포인트다. 칸토어가 집합의 멱집합이라 부른 것은 집합자체 보다 크다. (151)

할모스(Paul Halmos, 1916 - 2006) 미국 수학자...(152) [저자가 퓨전으로 엮어 이야기를 만들기 위해 개입시켰다.(47LMB)]

럿셀(Russell, 1872-1970)의 역설이 있다. 집합론이 자유로운 구성이라는 원리만 따르면서 자기 자신을 원로소 포합하지 안흔 모든 집합들의 집합은 어떻게 되는 가 하고 러셀은 물었다. (154-155) [자기 지시를 빼고 설명해야 하는 모순에 빠진 것을 알았다. 그것은 위험한 것이다. 아마도 수학의 기초로서 철학을 그만두고, 사회와 평화에 대한 견해를 수필로 쓴 것은 1950년 후이다. (47LMC)]

칸토어는 “집합론의 가장 중요한 문제는 모든 ‘자연’에 존재하는 집합의 여러 가지 힘을 발견하는 도전이다”라고 썼다. 그 도전은 받아들여졌고, 그 결과 칸토어는 자연에 있는 기본입자의 수가 무한하고, 각각의 입자는 크기아 없는 점에 대응해야 한다고 확신했다. 솔직히 말해 칸토어의 이러한 주장은 수리 물리학자들 사이에 호의를 얻지 못했다. (156) [크기가 없는 점이라는 입장는 플로티누스의 경향이라 할 만하다. 내가 보기에 집합의 원소라는 개념은 페라스가 없다. 벩송은 단위가 그렇다고 표현할 것이다. (47LMC)

9장 불완전성 157

괴델(Kurt Gödel 1906-1978)의 논문 1932년 .. ｢󰡔수학원리󰡕 및 관련 체계에서 형식적으로 결정될 수 없는 명제에 관하여｣(On Formally undecidable Proposition of Principia Mthematica and Related Systems)발표로 구획지어진 부자연스런 시대였다. (157) [수학에서 논리적 형식적 무모순성과 완전성은 깨어지다. (47LMC)]

1900년 다비드 힐베르트(David Hilbert 1862-1943)는 파리에서 열린 국제 수학자 회의에서 ‘기본문제’라는 제목으로 강연했다. .. 유클리드 이래 처음으로 수학의 지적 권위와 수학의 토대가 상당한 의심을 받고 있다.. (158-159)

1910년 버트란트 러셀과 알프레드 노스 화이트헤드는 󰡔수학의 원리(Principia Mathematica)󰡕(with Alfred North Whitehead), 3 vols., 1910–1913) 1권을 출간했다. 두 사람의 야심은 수학의 원리가 순수 논리학 원리에서 도출될 수 있음을 증명하려는 것이었다. .. 수학계 전체가 󰡔수학의 원리󰡕에 관심을 보였다. 러셀과 화이트해드가 1+1=2임을 증명하기 위해 300쪽을 넘게 필요 했다...(160) [벩송과 브라우어는 집합적 단위로로서 2는 자연속에서 없다는 쪽이다. 각각의 2는 추상하지 않은한 보태어지지 않는다. (47LMC)]

󰡔수학의 원리󰡕는 수학자들이 별로 의심하려 하지 않는 것을 추인하는 데는 기여했지만, 많은 수학자들이 문제 삼으려는 것, 즉 전반적인 수학체계의 무모순성을 보장하는 데는 아무런 기여도 못했다. (161)

기호를 기호자체로서 받아들이는 기호 연구는 새로운 수학분야가 되었다. 이 새로운 수학의 주제가 일반 수학에서 쓰이는 기호의 도구였기 때문에, 힐베르트는 새로운 수학을 ‘초’수학(metamathematique 메타수학)이라 했다. (163) [기호는 symbole 일지 signe가 아닐 것이다. (러셀의 논리주의나 힐버트의 형식주의에서 기호(un symbole)와 다른 기호(le signe)로 언어를 다룬이는 이 시대의 소쉬르였다. (47LMC)]

[1831년 «Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme» (en, (On Formally undecidable Proposition of Principia Mthematica and Related Systems)이 논문은 불완전성공리(정리)가 불린다. 1933년 유태인이 아니지만 오스트리아에서 미국으로 간다.]

그래서 괴델의 불완전성 정리는 고대 이래로 수학자에게는 없어서 안될 도구이자 영예의 상징이던 증명방법을 흔들어 놓았다. 그러나 불완전성정리가 하나의 ‘정리’였다. 괴델은 증명가능한 것을 증명하며, 증명 방법을 동시에 그리고 단번에 지지하면서 파괴했다. (168)

괴델의 증명은 실질적으로 수학 자체의 배경을 요구하지 않는다는 점에서 특이하다. 그렇지만 추론방법은 유달리 복잡하다. 괴델자신은 유대인은 아니었지만 그의 위대한 논문은 옛날 탈무드 주석서의 전통에 자리 잡고 있다. (168-169)

여기서 자신의 예술품에 감탄하느라 정신없는 감독은 저건 참으로 영화에 대한 영화야, 라고 겨우 중얼거릴 수 있을 따름이다. (172) [포스트모던이 아니라 후기구조주의가 갖는 특성들 중의 하나이다. (47LMC)]

폰 노이만(John von Neumann, Johann von Neumann, 1903-1957)

제1불완정성정리는 󰡔수학의 원리󰡕의 체계가 모순이 ‘업다면’ 결정할 수 없는 명제가 존재한다고 단언하고 있다. ... 2단계[제2정리]... 그러나 이것은 한마디로 제1정리가[를] 단언하는 것이 불가능하다고 단언하고 있다. (177)

괴델의 논문 발표로 시작된 시대는 지금까지 이어진다. 예기치 못한 불확실함은 이제 수학문화의 일부이다. 기이한 해방감이다. (177)

괴델 몬문은 1961년에야 영어로 출간되었다. (178)

1942년 뉴저지의 트렌턴에서 시민권 획득 ...아인슈타인이 후원자... (179) [미국 상부가 존재하는 무서운 나라다... 국가에 대해 맹세를 받는 나라다... 자유 평등이라는 문제가 아니라... (47LMC) ]

20연 뒤 미국의 수학자 폴 코언(Paul Cohen 1934-2007)은 선택공리와 연속체 가설의 부정이 집합론의 공리와 모순되지 않음을 증명하며 수학의 핵심부에 절대로 결정될 수 없는 명제가 존재함을 밝혔다. (180) [1934 코언(Paul Joseph Cohen, 1934-2007) 미국 수학자. 그는 1963년에 연속성의 가설과 선택공리(l'hypothèse du continu et l'axiome du choix)가 체르멜로-프랭켈의 집합이론의 공시들과 독립적이라는 것을 증명했다.]

10장 현대수학 181

부르바키(Nicholas Bourbaki) 수학단

수학에 식견이 있는 사람이라면 수학적 관심가가 10년 마다 바뀜을 알아챌 것이다. 1940년대에는 호롬롤지 대수, 카테로리 이론, 아르틴(Artin)의 상반 법칙이 거론되었다. 1950년대에는 모스(Morse)리론과 미분위상기하학이 거론되었고, 새슬러 휘트니, 르네 톰, 스티븐 스메일(Steven Smale)이 고급 강의실을 독차지 했다. .. 10연 뒤에는 대수기하학이 수학자에게 섬광을 발하는 것처럼 보였다. .. 그 다음에는 유한 단순군이 이어졌고 또 다음에는 타니야마-시무라 추측, 유명한 페르마 정리의 증명, ... (182-183)

1936년 앨런 튜링은 계산 가능성에 관한 자신의 첫째 논문을 발표했다. 계산 가능한 수에 관한 연구 및 결정 문제에의 응용 « On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem 1936) » (187)

논리학자들이 어디서 알고리듬의 정의를 내리기 시작하든 간에 끝나는 곳은 늘 같다. 괴델은 이것을 기적 같은 것으로 여겼다. (188)

알고리듬은 서양과학의 위대한 두 개념 중에서 둘째의 것이다. 첫째는 미적분이다. (190)

브누아 만델브로(Benoit Mandelbrot, 1924-2010 리투아니아 유태계 미국인)는 컴퓨터를 이용하여 얼마나 아름다운 그림을 그릴 수 있는 지를 보여줌으로써 보통사람을 몹시 행복하게 해준 수학자이다. (191) [프락탈 그림들... 󰡔Les Objets fractals - Forme, hasard et dimension, 1974)󰡕 .] fr

만델브로 집합이 알고리듬에서 생겨났지만 알고리듬의 지배를 전혀 받지 않는다는 사실은 더욱 기이하다. 만델브로 집합은, 논리학자들이 오랫동안 그럴지도 모른다고 생각한 것처럼, 귀납적이다. (194)

[프락탈 소개로 끝난다. 1972년 나비(La métaphore du papillon)를 보탰으면 좋았을 것이다. En 1972, Lorenz fait une conférence à l'American Association for the Advancement of Science intitulée[23]: « Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set off a Tornado in Texas? », qui se traduit en français par : « Prédictibilité : le battement d'ailes d'un papillon au Brésil provoque-t-il une tornade au Texas ? ».]

* 찾아보기 197.

 (47LMD)

책벌린스1401수학의등.hwp

년과14수학사등.hwp

# 싸이월드(마실에서 천이틀밤)에 있는 것인데 펌이 안되기에 이곳으로 옮김

책1908클라인1800수학C.hwp

[마실가]

더하여,
수학의 확실성 - 불확실성 시대의 수학
모리스 클라인(Morris Kline, 1908-1992)저, 심재관역, 사이언스북스, 2007.03.30, P. 638.
󰡔수학: 확실성의 상실(Mathematics: The Loss of Certainty, 1980)󰡕, Oxford University Press.