기초양자역학(1)

물리적으로 '상태(state)'라는 것이 있습니다. 질량, 운동량, 에너지, 속도, 온도 등등.... 어떤 물리적인 상태는 그에 해당하는 물리량으로 표현을 하지요. 그런데 이 상태라는 개념은 매우 추상적인 개념입니다. 우리가 쉽게 1,2,3 이라는 숫자를 쓰지만 이 숫자 자체가 매우 추상적인 개념인 것 처럼요. 사과 2개, 배2개, 전화기 2개, 자동차 2대...... 저마다 속성이 다 다르지만, 인간이 가지고 있는 고유의 추상화 능력으로 그들로부터 '둘'라는 공통된 특성을 뽑아내게 되었지요. 그리고 그것을 기호로 '2'라고 씁니다. 또한 숫자는 보통 a, b, c, .... 혹은 x, y, z 같은 기호로 표현합니다. 양자역학적인 상태도 마찬가지로 매우 추상적인 개념이지요. 그리고 그러한 상태를 표기하는 기호로 다음과 같은 Bracket 기호를 사용합니다. |a＞ 유명한 Paul. A. M. Dirac 이 만들어 낸 표기법이죠. 저는 이 사실 하나만으로 Dirac 이 매우 위대한 과학자였다고 말하고 싶습니다. 이 글에서 저는 Dirac notation을 약간 바꾸겠습니다. HTML Tag 를 사용하는데 있어서 ＞,＜ 같은 기호는 표기가 불편하기 때문입니다. 앞으로 |a＞ 는 |a} 로 표기하고, ＜a|는 {a| 로 표기하겠습니다. 벡터에서는 내적(Inner Porduct)이라는 연산이 있습니다. 양자역학에서도 내적이 존재하죠. 하지만, 벡터의 내적과 양자역학의 내적은 약간 다릅니다. 왜냐하면, 벡터는 그 성분이 모두 실수(real number)인데 반해서 양자역학에서는 number 라 하면 특별한 설명이 없는 한 복소수(complex)를 말하기 때문이죠. 실수범위 안에서 내적의 성질을 그대로 복소수까지 확장해서 일반화를 시키기 때문에 내적이 약간 다릅니다. 양자역학에서 내적을 정의하기 위해서는 ket 이라 불리우는 |a} 상태와 bra 라 불리우는 {a| 상태의 곱으로 표현합니다. bra와 ket 은 서로 일대일 대응합니다. bra가 존재하면 그에 따른 ket이 오직 하나 존재하고, ket이 존재하면 그에 따른 bra는 오직 하나 존재합니다. 내적은 반드시 bra - ket 의 순서로 곱합니다. {a|b}는 내적이 되지만, {a|{b|, |a}{b|, |a}|b} 등은 내적이 아닙니다. 내적의 결과물은 벡터의 내적과 마찬가지로 수(number)입니다. 양자역학의 내적은 그 결과물이 복소수입니다. 앞에서도 이야기 했지만, 양자역학에서 수(number)라 함은 복소수를 의미합니다. 그럼 이제 |a}라는 상태를 어떻게 표현(representation)하는지 알아보죠. |a} 라는 상태는 column vector로 표현할 수도 있고, function으로 표현할 수도 있습니다. {a|라는 상태는 row vector로 표현할 수도 있고, function 으로 표현할 수도 있습니다. 마치 a 라는 벡터의 성분을 결정할 때 좌표에 따라 그 성분이 달라지는 것 처럼 |a} 라는 상태는 basis에 따라서 column vector 의 성분이 달라집니다. 또한 함수도 달라지구요. 지금 단계에서는 이해하기 쉽게 |a} 는 column vector {a| 는 row vector 라고 생각하세요. 자세한 것은 나중에 설명하게 될 것입니다. 일단, 행렬 표기를 하나 약속하지요. (1, 2 ; 3, 4)로 표기된 것은 아래 행렬을 의미합니다. ┌ 1　2 ┐ │　　　│ └ 3　4 ┘ 왜 내적을 정의하기 위해서 bra - ket 의 곱을 취하는지는 다음의 벡터 내적과 행렬(coulumn vector 와 row vector)의 곱을 비교해 보시면 대충 감이 올겁니다. a = (a1, a2, a3) 라는 벡터와 b = (b1, b2, b3) 라는 베터의 내적은 (a,b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 가 됩니다.(Catesian 좌표에서. 원통좌표나 구면좌표에서는 아님) 위 결과는 {a| = (a1, a2, a3) 라는 row vector 와 |b} = (b1 ; b2 ; b3) 라는 column vector 사이의 '행렬의 곱'과 같은 결과입니다. {a|b} = (a1, a2, a3) (b1 ; b2 ; b3) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ※ 정확히 표현하자면, {a|는 |a}를 전치(transpose)하고 복소공액(complex conjugate)를 취한 것입니다. 　 하지만 각 성분들이 실수라면 복소공액을 취한 것과 자기 자신이 같기 때문에 위 처럼 적었습니다. |a}를 행렬이 아닌 함수로 표현하면 내적은 적분으로 표현됩니다. 처음 듣는 분에게는 매우 생소하게 들리겠지만, 양자역학에서 내적은 적분으로 표현될 수 있습니다. 내적의 성질은 일반적인 벡터 내적과 비슷합니다. {a|a} ＞ 0 (positive real), {a|a} = 0　iff　|a} = 0 ※ iff 는 if and only if 라는 뜻입니다, 왼쪽과 오른쪽은 필요충분조건이다. 위 내용을 말로 설명하자면, 자기 자신끼리의 내적은 항상 양의 실수를 얻게 되고 자기 자신끼리의 내적이 0 이라는 말은 그 ket 이 null ket 이라는 뜻과 같습니다. 하지만, 양자역학에서의 내적은 교환법칙이 성립하지 않습니다. {a|b} = {b|a}* 여기서, {b|a}* 는 {b|a} 의 복소공액(complex conjugate)을 의미함 0 벡터가 아닌 두 벡터가 서로 직교하면 내적이 0 인 것 처럼 양자역학에서도 내적의 결과가 0 인 두 ket을 서로 직교(orthogonal)한다고 말합니다. 또한, null ket이 아닌 임의의 ket 은 적당한 상수를 곱해서 자기 자신끼리의 내적의 결과가 1 이 되게 만들 수 있는데 이렇게 만드는 과정을 규격화(normalization) 라고 하고, 규격화 된 ket을 normalized ket 이라고 합니다. 즉, {a|a} = 1　iff　|a} is normalized ket 을 모아놓은 어떤 집합에서 그 안의 모든 원소(ket)들이 규격화 되어 있고, 모든 원소들이 서로 직교하면 그 집합을 가리켜 orthonormal 이라고 합니다. 즉, orthonormal = orthogonal + normalized 내적의 양자역학적인 의미는 '확률'입니다. |a} 라는 초기 상태에서 |b} 라는 나중 상태로 바뀔 확률은 '내적의 절대치의 제곱에 비례'합니다. (복소수 영역에서는 '제곱'과 '절대치의 제곱'은 서로 다른 값을 갖습니다.) 만약 |a} 와 |b}가 normalized 되어 있다면 확률은 '내적의 절대치의 제곱과 같은' 값을 얻습니다. Goswami 책 123p 에 있는 내용을 옮겨 적으면 It is the amplitude for the event that starts with |a} and ends with {b|. The abolute square of this amplitude |{b|a}|2 is the probability density for the event. 위의 내용을 수식으로 표현한다면 |a}에서 |b}로 바뀔 확률 = |{b|a}|2 = |{a|b}|2 = {a|b}* {b|a} 내적을 계산하는 구체적은 방법은 나중에 적도록 하겠습니다. 헥헥~~~ 고유함수 이야기 할려구 했는데... 이제까지 상태 이야기 밖에 못했네요 ㅠ.ㅠ operator 이야기도 해야 하는뎅... 다음에 이어집니다.