[수학 산책] 서로 다른 포켓몬 스티커 159개 모으려면 빵 몇 개 사야 할까요

[무지렁이]

신문은 선생님

[수학 산책] 서로 다른 포켓몬 스티커 159개 모으려면 빵 몇 개 사야 할까요

입력 : 2022.04.07 03:30

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확률

최근 1990년대 유행하던 만화 캐릭터인 포켓몬 스티커가 들어 있는 빵이 재출시되며 다시 인기를 끌고 있어요. 빵을 만든 기업에 따르면, 하나의 빵에 서로 다른 포켓몬 스티커 159가지 중 하나를 무작위로 넣었다고 해요. 그렇다면 모든 포켓몬 스티커를 종류별로 다 모으려면 빵을 몇 개나 사야 할까요?

쉽게 설명하기 위해 총 스티커의 개수는 10개이고, 각 스티커가 같은 개수로 생산된다고 가정해 볼게요. 맨 처음 빵을 샀을 때는 당연히 갖지 못한 스티커가 나오겠죠. 두 번째 빵을 샀을 때 첫 번째 나온 스티커와 다른 것이 나올 확률은 10분의 9가 돼요. 만약 첫 번째와 두 번째 모두 다른 스티커를 뽑았다면, 세 번째 빵을 샀을 때 또 다른 스티커를 뽑을 확률은 10분의 8이겠죠.

이런 방식으로 계산해 보면, 빵을 다섯 개 살 때까지는 다른 스티커가 나올 확률이 더 커요. 여섯 개 살 때에 자신이 가진 스티커가 나올 확률과 갖지 못한 스티커가 나올 확률이 같아지고요. 따라서 빵을 여섯 개 살 때까지는 모두 다른 스티커가 나왔다고 가정할게요.

그럼 아직 얻지 못한 스티커는 총 4장이 돼요. 빵을 하나 더 샀을 때 이전까지 얻지 못한 스티커일 확률은 10분의 4예요. 얻지 못한 스티커를 확실하게 얻으려면, 이 확률이 1이 넘어가야 해요. 빵을 하나 더 사서 총 2개를 사면 여기에 10분의 4 확률이 더해지고, 그러면 그동안 갖지 못했던 스티커를 얻을 확률이 10분의 8이 돼요. 아직도 확률은 1을 넘지 않았기 때문에, 빵을 하나 더 사야 다른 스티커가 나올 확률이 확실해져요. 따라서 빵을 3개 사야 얻지 못한 4개 중 1개의 스티커를 확실하게 얻을 수 있는 거예요.

7개의 서로 다른 스티커를 모았을 때는 어떻게 될까요? 빵을 하나 더 사면 그동안 얻지 못한 스티커일 확률이 10분의 3이죠. 빵을 3개 사도 10분의 9로 1보다 작아요. 따라서 빵을 적어도 4개 이상 사야 하는 거예요. 이런 방법으로 계산해보면 빵이 총 10개일 때 사야 하는 빵의 개수는 1+2+2+ 2+2+2+3+4+5+10=33으로 적어도 33개가 된답니다.

같은 계산 방법을 포켓몬 빵의 스티커에 적용해 보면, 평균적으로 빵을 890개 정도는 사야 한다는 결론이 나와요. 참고로, 계산을 하다 보면 서로 다른 스티커를 모으면 모을수록 새로운 스티커가 나올 확률이 낮아진다는 것을 알 수 있는데요. 예컨대 포켓몬 빵의 경우, 전체의 절반 정도 되는 80개를 모으기 위해 사야 하는 빵의 수는 평균 111개 정도인데, 나머지 79개를 모으기 위해서 사야 하는 빵의 평균 개수는 779개가 된다는 사실을 알 수 있답니다.

이광연 한서대 수학과 교수