영어로 배우는 중학교 수학 - 다항식의 덧셈과 뺄셈 [ 한글 해설 ] - Addition & Subtraction of Polynomials

[CLARK]

영어로 중학교 수학 - " 다항식의 덧셈과 뺄셈 " 부분을 배워봅시다.     

먼저 본문에 나오는 단어를 학습한 뒤에 본문을 보시면 더 이해가 빠릅니다.

              관  련          단  어         해 설            

addition   [ d n]   . <명사> 덧셈, 더하기, 가산법, 가법(加法).

subtraction   [s btr k n]   <명사 / 수학>  빼기, 감하기,  뺄셈.

polynomial  [p lin umi l / p l-]  〈수학〉다항식

 

term [t m] 〈수학〉 항(項)

product[pr d kt,-d kt / pr d-]   <수학〉곱  ( 두 수 또는 그 이상의 수들의 곱 )

variable [v ri bl]  〈수학,물리>  변수

power[p u ]    〈수학>  제곱, 거듭제곱   <예> 27 is the third power of 3 : 27은 3의 3승이다

sum [s m]   합, 합계, 총계, 총수

integer [ ntid ] <수학> 정수(整數)   /   positive integer   양의 정수

degree  [digr ]   <수학〉 차(次), 차수(次數)   예> a term of the sixth degree : 6차항

constant [k nst nt / k n-]〈수학〉 상수(常數), 불변수,    CONSTANT TERM : 상수항 

coefficient [k uif nt] 〈수학〉 계수(係數)  / Three is the coefficient of x in 3x. :  3x에서의 3은 x의 계수이다.

monomial [moun umi l,m - / m -]  <대수> 단항식 

binomial  [bain umi l]   <수학> 이항식(二項式). 이항(식)의.

trinomial  [train umi l]    <수학> 3항식 

value [v lju ]  〈수학〉 값 

notation  [nout i n]   <수학>  기호법, 표기법 

eval‎uate [iv lju it] 〈수학〉…의 값을 구하다.

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    다음은 다항식의 전개에 관한 강의 비디오 입니다.  아래를 클릭하세요~ 

Watch Video on Multiplying Polynomials

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                                            본문   내용            

    ADDITION  AND  SUBTRACTION  OF  POLYNOMIALS  

We first used polynomials but did not identify them as polynomials.  Polynomials also occured in the equations of previous chapter.  In this section we will define polynomials and begin a thorough study of polynomials.

       다항식의 덧셈과 뺄셈 

우리는 지금까지 다항식을 접해왔지만 다항식이 정확히 무엇인지 정의하지는 않았습니다.  다항식은 전 단원의 방정식들에서 찾아볼 수 있습니다.    이번 단원에서는 다항식의 정의를 알아보고 다항식에 대하여 자세히 공부해 보겠습니다.

Polynomials         다항식

In Chapter 1 we defined a term as an expression‎! containing a number or the product of a number and one or more variables raised to powers.  Some examples of terms are 

1단원에서 우리는 '항'이란 수 또는 하나의 수와 한 개 또는 한 개 이상의 변수들을 제곱 곱하여 표현한 것이라고 하여 정의했습니다.   항의 예를 들자면 아래와 같습니다.

                                                 4x³,  －x²y³ , 6ab , and  －2.

A polynomial is a single term or a finite sum of terms.  The powers of the variables in a polynomial must be positive integers.  For example,

다항식이란 한 개의 항이나 그 이상의 항들을 더한 식 입니다.   다항식내의 제곱된 변수에서 (거듭) 제곱된 수는 반드시 양의 정수여야 합니다.   예를 들면  아래와 같은 식은 다항식 입니다.

                                                     4x³ + (－15x²) + x + (－2)   

is a polynomial.  Because it is simpler to write addition of a negative as subtraction, this polynomial is usually written as 

                                                      4x³ – 15x² + x – 2.

The degree of a polynomial in one variable is the highest power of the variable in the polynomial.  So 4x³ – 15x² + x – 2 has degree 3 and 7w – w² has degree 2.

음수의 덧셈은 뺄셈으로 쓰는것이 더 간단하기 때문에 위의 다항식은 보통 아래와 같이 바꾸어 씁니다. 

                                                       4x³ – 15x² + x – 2.

다항식의 차수는 다항식 내의 변수의 제곱수들 중에서 가장 큰 제곱수와 같습니다.

그러므로 4x³ – 15x² + x – 2 의 차수는 3이며, 7w – w² 의 차수는 2 가 됩니다.

The degree of a term is the power of the variable in the term.  Because the last term has no variable, its degree is 0.

항의 차수란 항에 있는 변수의 제곱수를 말합니다.  아래 다항식의 마지막항은

변수를 갖지 않으므로 마지막 항의 차수는 0 이 됩니다.    

 A single number is called a constant and so the last term is the constant term.  The degree of a polynomial consisting of a single number such as 8 is 0.

변수를 갖지 않는 수는 상수라고 부르고 마지막 항에 있는 수는 상수항이라고 합니다.   8 과 같이 오직 한 수만을 갖는 다항식의 차수는 0 이 됩니다.

The number preceding the variable in each term is called the coefficient of that variable or the coefficient of that term.  In 4x³ – 15x²  + x – 2 the coefficient of x³ is 4, the coefficient of x² is –15, and the coefficient of x is 1 because x = 1  ×  x.

각 항의 변수 앞에 있는 수를 그 변수의 계수 또는 그 항의 계수라고 부릅니다. 

4x³ – 15x²  + x – 2  에서  x³ 의 계수는 4 이고,  x² 의 계수는 -15 가 됩니다.

E X A M P L E  1            Identifying coefficients    

         예  1                                계수 알아내기

Determine the coefficients of x³  and x² in each polynomial:

다음 각각의 다항식의 x³  과 x² 의 계수를 말해보세요.  

a)  x³ + 5x² – 6                                              b)  4x⁶ – x³ + x

Solution         풀이

a )  Write the polynomial as 1 × x³ + 5x² – 6 to see that the coefficient of x³ is 1 and the coefficient of  x²  is  5.

a )   다항식 1 × x³ + 5x² – 6 을 써보면 x³ 의 계수는 1이고 x² 의 계수는 5 라는 것을   알 수 있습니다. 

b)   The x²-term is missing in 4x⁶ – x³ + x.  Because 4x⁶ – x³ + x can be written as  

b)   다항식 4x⁶ – x³ + x 에서 x² 의 항이 없기 때문에 다항식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

                                               4x⁶  –  1  ×   x³  +  0  ×  x²  +  x,  

the coefficient of x³ is  – 1  and the coefficient of x²  is 0.    

여기에서  x³ 의 계수는 -1 이고  x² 의 계수는 0 이라는 것을 알 수 있습니다.

       For simplicity we generally write polynomials with the exponents decreasing from left to right and the constant term last.  So we write

                      x³ – 4x² + 5x + 1         rather than        －4x² + 1 + 5x + x³.

When a polynomial is written with decreasing exponents, the coefficient of the first term is called the leading coefficient. 

     다항식의 간단화를 위해서 식을 쓸 때에는 변수의 지수를 왼쪽에서 오른쪽으로 

가면서 감소하는 순서로 쓰고 맨 마지막 항에는 상수를 씁니다.  그래서  다항식을 쓸 때    －4x² + 1 + 5x + x³    보다는  x³ – 4x² + 5x + 1  의 순서로 씁니다.

다항식이 (왼쪽에서 오른쪽으로) 지수가 감소하는 순서로 쓰여질 때 가장 첫번째 항의 계수를 최고차 항의 계수 라고 부릅니다.

   Certain polynomials are given special names.  A monomial is a polynomial that has one term, a binomial is a polynomial that has two terms, and a trinomial is a polynomial that has three terms.  For example, 3x⁵ is a monomial, 2x – 1 is a binomial, and 4x⁶ – 3x + 2 is a trinomial. 

  어떠한 다항식들은 특별한 이름이 있습니다.  단항식은 다항식 중에서 단 하나의 항만을 가지는 다항식이고,  이항식이란 다항식 중 두 개의 항을 갖는 식을 말하며, 삼항식이란 다항식중 3개의 항을 갖는 식을 말합니다. 

예를 들면 3x⁵ 은 단항식이고, 2x - 1 은 이항식이며, 4x⁶ – 3x + 2 은 삼항식 입니다.

E X A M P L E  2            Types of polynomials

        예   2                            다항식의  형태

Identify each polynomial as a monomial, binomial, or trinomial and state its degree. 

다음 각각의 다항식들을 단항식, 이항식, 또는 삼항식으로 구별해보고 그 식의 차수를 말해보세요.

 a)  5x² － 7x³ + 2                 b)  x⁴³ – x²                    c)  5x                 d) －12  

Solution         풀 이
a ) The polynomial   5x^{2 –} 7x³ + 2 is a third-degree trinomial.
b ) The polynomial  x⁴³  –  x²  is a binomial with degree 43.
c ) Because 5x = 5x¹, this polynomial is a monomial with degree 1.
d ) The polynomial  –12  is a monomial with degree 0.

a )  다항식 5x^{2 –} 7x³ + 2 은 3차 삼항식 입니다.

b )  다항식  x⁴³  –  x² 은 43차 이항식 입니다.

c )  5x = 5x¹  이기 때문에 이 다항식은 차수가 1인 1차 단항식 입니다.

d )  다항식 -12 는 차수가 0인 단항식 입니다.  

Value of a Polynomial         다항식의 값

A polynomial is an algebraic expression‎.  Like other algebraic expression‎'s involving variables, a polynomial has no specific value unless the variables are replaced by numbers.  A polynomial can be eval‎uated with or without the function notation discussed in last Chapter.

다항식은 대수학적인 표현식입니다.  변수를 갖는 다른 대수식들과 같이 다항식은 변수에 특정한 수가 대입되지 않으면 특정한 값을 갖지 않습니다.   다항식은 함수 표기법이 있을 때와 없을 때, 둘 다 값이 구해질 수 있습니다.

 E X A M P L E  3          Eval‎uating  Polynomials  

         예     3                       다항식의 값 구하기

a)  Find the value of  – 3x⁴ – x³ + 20x + 3 when x = 1. 

b)  Find the value of  – 3x⁴ – x³ +20x + 3 when x = – 2.

c)  If P(x) = – 3x⁴ – x³ + 20x + 3, find P (1).

a)  x값이 1일 때,  – 3x⁴ – x³ + 20x + 3 의 값을 구하시오.  

b)  x값이 －2 일 때,   – 3x⁴ – x³ + 20x + 3  값을 구하시오. 

c)  P(x) =  – 3x⁴ – x³ + 20x + 3 일 때, P (1) 의 값을 구하시오.

Solution           풀  이 

a)  Replace x by 1 in the polynomial:  

a)  x를 1로 바꾼다 :

                                –3x⁴ – x³ + 20x + 3 = – 3 (1)⁴ – (1)³ + 20(1) + 3

                                                      =  – 3  – 1 + 20 + 3  =  19

b)  Replace x by -2 in the polynomial:

b)  x를 -2 로 바꾼다 :

                              –3x⁴ – x³ + 20x + 3 =  – 3( – 2)⁴ – ( – 2)³ + 20( – 2) + 3

                                                   = – 3(16) – ( – 8) – 40 + 3

                                                   = –48 + 8 – 40 + 3 =  – 77

     So the value of the polynomial is – 77 when x = – 2. 

     그러므로 x = -2 일 때, 다항식의 값은 -77 이 된다.

c)  This is a repeat of part (a) using the function notation from Chapter 2.  P (1), read “P of 1,” is the value of the polynomial P(x) when x is 1.  To find P (1), replace x by 1 in the formula for P(x):

c)  이것은 2단원에서 나오는 함수의 표기법을 이용하여 반복하는 (a)의 식이다.

P(1)을 "P of 1" 이라 읽으며 이것은 x 가 1일 때의 다항식 P(x) 의 값이다.

P(1)의 값을 구하려면 P(x) 의 x를 1로 바꾸면 됩니다.

                                          P(x) = – 3x⁴ – x³ + 20x + 3

                                          P(1) = – 3 (1)⁴ – (1)³ + 20(1) + 3  =  19 

  So P (1) = 19.  The value of the polynomial when x = 1 is 19

    그러므로 P(1) =19 가 되고 x = 1 일 때, 다항식의 값은 19가 됩니다.