조별활동 : 피보나치 수열

[양은희]

자연과 수학이 만났다? 피보나치 수열!

조원 : 양은희, 최종범, 정승호, 박현정

Ⅰ. 서론

1. 수열의 정의

자연수를 정의역으로 하고 일정한 규칙을 가진 수들을 나열한 것으로 등차수열, 조화수열, 등비수열 등으로 구분한다.

2. 피보나치 수열의 정의

첫번째 항의 값이 0이고 두번째 항의 값이 1일 때, 이후의 항들은 이전의 두 항을 더한 값으로 이루어지는 수열을 말한다. 즉, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55∙∙∙인 수열로 보통 a₁＝a₂＝1, a_n+a_n+1＝a_n+2 (n＝1,2,3…)로 나타낸다.

이것은 이탈리아 수학자 레오나르도 피보나치(1170?~1250?)가1202년 ‘산술의 서’에서 처음으로 제기하였다.

이렇게 단순한 수열이 중요해진 것은 이 수열이 자연계의 일반법칙을 나타내는 것으로 보이기 때문이다. 피보나치 수열의 인접한  두수의 비(뒷수와 앞수의 비)를 분수의 형태로 하여 수열을 만들면, 

     또는  

와 같이 되는데,  이 두 수열은 각각 (√5－1)/2＝0.6180339…와 (√5＋1)/2＝1.6180339… 에 수렴한다. 

이것은 황금분할의 비로 잘 알려진 수로, 자연계에서 많은 생물의 구조가 이를 따르는 것으로 밝혀져 있다.

Ⅱ. 본론

  1. 기원, 토끼의 번식

피보나치 수열의 기원은 토끼의 번식에 대한 피보나치의 질문에서 생겨났다.

피보나치는 다음과 같은 문제를 제시하였다.

 •   1월 1일에 태어난 암수 한 쌍의 토끼가 있다.

•    모든 달의 길이는 동일하다고 가정한다.

•     한 쌍의 토끼는 태어난지 두 달이 지나면 매달 두 마리의 새끼(암수)를 낳는다. 즉 첫번째 쌍은 3월 1일에 처음으로 두 마리의 새끼를 낳는다.

•    그들에게서 태어난 새끼들도 두 달이 지나면 짝을 이루어 매달 두 마리의 새끼를 낳는다.

•     어떠한 토끼도 중간에 죽지 않는다.

일 년 후에 전체 토끼는 모두 몇 쌍일까?

그림을 보면 1월 1일에 태어난 아기토끼 암수 한 쌍은 2월에 어른토끼가 되고 3월에 첫 두마리 새끼를 낳는다. 4월에는 첫번째 암수 한 쌍이 다시 두 마리 새끼를 낳고 3월에 태어난 아기토끼는 어른토끼가 된다. 이렇게 토끼가 번식을 할 때 피보나치는 매달 관찰되는 토끼의 쌍이 특정한 규칙을 따르고 있음을 발견하고 12월 말에 144쌍의 토끼를 예상했다. 결국 이 문제는 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144∙∙∙ 피보나치의 수열을 따르는 것을 알 수 있다.

2. 피보나치 수열의 끝, 자연

정의에서 알 수 있듯이 피보나치 수열은 자연계와 밀접한 관련을 맺고 있다.

(1) 자연계에 피보나치 수열이 흔한 이유

학자들 중 피보나치 수열의 효율성을 말하는 이도 있지만, 식물성장의 역학적 측면에서 고찰해 볼 필요가 있다. 가장 처음 생각했던 한 쌍의 토끼를 고려해보자. 그들은 평생을 살면서 매달 두 마리씩의 새끼를 낳지만 생후 2달이 되어서야 성장을 완료하기 때문에 둘째 달부터 출산이 가능하다는 것이다. 식물의 줄기를 생각해보자. 이들이 두 갈래로 갈라지기 위해서는 줄기의 굵기가 어느 정도 이상이어야 된다. 필요한 굵기 이상이 된 이후에는 정기적으로 가지치기를 할 수 있다. 따라서 새로 돋아난 새끼 가지도 어느 정도의 시간이 지난 후에는 정기적으로 가지를 칠 수 있다는 얘기이다. 그 원리가 토끼의 번식과 완전히 동일하다. 꽃잎의 모태가 되는 입자도 어느 정도 성장하고 나서 작은 새끼 입자 하나를 만들고 그것이 다시 새로운 입자를 낳기 위해서는 특정한 시간이 필요하다고 가정한다면 꽃잎이나 씨앗의 개수에서도 피보나치 수열이 설명될 수 있다.

(2) 꽃

여러 꽃잎의 갯수를 조사해보면 피보나치 수열이 자주 나타난다.

 가상적으로 표현된 아래의 그림을 보면 식물 줄기의 가지와 잎의 갯수에서도 피보나치 수열이 나타난다.

(3) 솔방울

아래 그림의 솔방울은 한쪽 방향으로 8개의 나선이 나타나고 다른 방향으로는 13개의 나선이 나타난다. 모두 피보나치 수열에서 나타나는 숫자들이다.

(4) 과일

 아래 그림의 파인애플은 한쪽 방향으로 13개의 나선이 나타나고 다른 방향으로는 21개의 나선이 나타난다. 과일 씨앗의 개수도 피보나치 수열을 따르는 경우가 많다.

   

3. 예술에서의 피보나치 수열

피보나치 수열은 또한 음악·미술 등의 분야에서 매우 중요하게 다루어졌다. 레오나르도 다 빈치의 미술작품들이 철저히 황금분할을 이용한 것이라든지, 음악에서 고전파의 소나타 형식이 황금분할의 비를 나타내고 있는 것 등이 그 예이다. 특히 B.바르토크의 ‘현악기와 타악기 및 첼리스트를 위한 음악’은 피보나치 수열에 따라 새로운 주제의 도입, 악기의 배치, 음색 변경 등의 시점을 정한 것으로 유명하다. 흥미로운 점이 있다면 피아노 1옥타브 건반에서 검은색 건반이 2개와 3개로 피보나치 수열을 이루고 있다는 것이다.

Ⅲ. 결론

피보나치 수열은 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55∙∙∙로 이루어진 수열로 이탈리아 수학자 레오나르도 피보나치가 토끼의 번식에 대한 궁금증을 가지면서 생겨났다. 인접한 두 항의 비는 황금분할의 비로 잘 알려져 있으며 이는 예술에도 많은 영향을 미쳤지만 자연 현상에서 자주 관찰되는데 주요한 역할을 한다. 특히 꽃잎, 솔방울의 나선 개수, 과일의 씨앗 수 등 식물에서 피보나치 수열이 많이 발견된다.

 Ⅳ. 소감

수학에 대한 다양한 주제를 조사하며 보고서를 작성하는 게 쉬운 일은 아니었다. 하지만 분명 글을 쓰는 사람에게는 장점이 많은 일이다. 한 가지에 대해 여러 자료를 접하면서 새로운 것을 접목하는 일에 적응해 나가게 되고 모르고 지나칠 수 있는 한 가지 주제에 대해 풍부한 지식이 생긴다. 또한 그 주제에 대해 다양한 사람들의 의견을 들어보면서 생각하는 폭도 넓어진 것 같다.

피보나치 수열의 예를 자연에서 얻을 수 있다는 게 정말 신기한 것 같다. 특히 꽃잎 개수들의 대부분이 피보나치 수열의 특정 항의 값과 일치한다니, 어떻게 이런 수학의 법칙, 자연의 법칙이 생겨나게 된 것인지 궁금하다. 정말 우연에 불과한 걸까?

피보나치 수열의 기원인 토끼의 번식에 대한 실험결과도 놀라웠다. 처음에는 자료를 접하고 무슨 뜻인지 해석하는 데 한참이 걸렸던 기억이 난다. 발표를 위해 아기토끼, 어른토끼 쉴 새 없이 반복하며 이해하려 노력했는데, 결국 이해를 하고 나니 정말 뿌듯했던 게 아직도 생생하다.

인간의 두뇌에서 나온 수학, 하지만 결국 인간이 살아가고 있는 자연을 벗어나지 못한다. 피보나치 수열은 무겁게만 느껴지는 수학이 자연, 결국 우리와 가까이 존재한다는 신비함과 새로움을 선사한다. 결국 인간과 수학, 자연이 서로 멀어질 수 없는 각별한 존재임을 보여주는 것이 아닌가 싶다.

(사진 및 자료출처 : 네이버 백과사전  http://100.naver.com/100.nhn?docid=237462 , 네이버 블로그 http://blog.naver.com/kwanskim/20110843012)

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와, 한글로 쓰려고 했는데 정진실 컴퓨터 본체 빼버림.. -_-

ㅠㅠㅠㅠ 결국 이렇게 쓰는데 띄어쓰기, 들여쓰기 불규칙적으로 변해버림 ;;

알아서 잘 수정해 줄 거라 믿는다~ 회장!! 늦어서 미안하고 수고해 ><

[이 현진]

조별 논문 쓰기의 표본임다 !
개잘썻네 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 와 완전맘에듬
짱짱 수고했어 ㅎㅎ !!!!