Re: 고1 수학 함수의 합성으로 순환군만들기

[신선물고기]

해당하는 함수는 우선 일차 분수변환에 국한하여 이야기 할 때 일차 분수변환의 행렬 표현과 연관지으면 해결해 볼 수 있습니다. 전공수학 원론의 연습문제 중에서 그림과 같은 것이 있습니다.

이 문제에서 정의한 표기법으로 하면 f_A와 f_B의 합성은 f_AB 가 됩니다. 따라서 여덟번 합성해서 제자리로 돌아오는 것은 A^8=E가 되는 행렬을 찾는 것과 맥을 같이 합니다. 지금, 45도 회전 변환을 생각하면, 여덟번 합성하면 원래대로 돌아올 것입니다. 헌데 이때 그 회전변환을 R이라 할 때 f_R(z)는 이미 언급하신 (z-1)/(z+1)과 같습니다. 왜 그런가 하면 R^4=-E가 되는데 f_kA 는 결국 f_A와 같은 것이라서 그렇습니다. 그렇다면 네번만에 원래대로 돌아오지 않고 여덟번이 되어야 처음으로 원래대로 돌아오도록 하려면 어떻게 해야 할까요? 
45도 절반인 22.5도 변환을 생각해 봅시다. 그 회전을 R이라 할 때 f_R은 다음과 같이 얻어집니다.

이것은 네 번 합성해서는 -1/z 가 되며 여덟번을 합성을 해야 비로소 z가 얻어집니다.

이런 방식으로 원하는 일차 분수 변환을 얻는 것이 가능합니다.

마찬가지 방법으로 여섯번 합성해야 처음으로 비로소 항등함수가 되는 경우는

와 같은 것이 있습니다.

첨언하자면, 일차 분수변환은 확장 복소평면에서야 1-1 대응이지만 고등학교 1학년 범위라면 합성할 때 정의역에서 분모가 영이 되는 수를 제거해야하는 이슈가 있으므로 주의해야 합니다. 이것은 맥락에 따라 문제가 될 수 있습니다. 곧 합성했을 때는 보이지 않는 정의역에서 이미 제외된 점이 있을 수 있습니다. 물론 확장 복소평면상의 함수로 이해한다면 이런 고려를 할 필요가 없습니다.

[수학합격!!]

매우매우 감사합니다! ㅎㅎㅎㅎ
일차분수변환! 이라는 툴을 생각하기엔
전공 공부가 너무 오래되었지만
이 새벽에 문제 연구하다, 전공생각나서 6,8의 경우가 되는지 열심히 해봤네요

첨언하신 말씀, 너무나 감사합니다
고1에 엄청 어렵게 낸다고
6이나 8짜리용으로 낸다면
재시험을 볼수도 있을...ㅠㅠ
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이번 기출이랑 분모,분자가 뒤집혀있는 형태이네용 ㅎㅎㅎ

[신선물고기]

계산하신 것을 보니 제가 쓴 글이 잘 전달된 것 같아 기쁘네요. 읽어봐 주시고 계산도 해 봐 주셔서 고맙습니다. 시험 문제 잘 되시길 기원할게요! 이렇게 열심히 연구하시는 선생님을 둔 아이들 복받았네요!