오일러공식

[유토피아]

레온하르트 오일러(Leonhard Euler) - 생애(生涯) - 각종 공식의 창시자

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시대별 특징과 주요 수학자

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박성일(geochips)

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끝으로 삼각함수의 생략 기호(sin, cos, tan)의 창안이나 자연 로그의 밑을 나타내는 e(= 2.718…)의 도입(1727), 원주율을 π로 표기(1737), 허수의 단위를 ‘i’로 정한 것(1777), 그리고 ‘오일러의 정리’ 등은 유명하다. 그 중에서도 오일러는 ‘허수(虛數)’에 흥미를 가져 허수의 단위를 ‘i’로 정했다.

그리고 1748년에는 수학자들에 의해 ‘세계에서 가장 아름다운 수식(The Most Beautiful Equation in Mathematics)’으로 뽑힌 ‘오일러의 등식’, 즉 ‘’을 발견했다. 이 등식에 이런 이름이 붙게 된 것은 수학에서 가장 중요하게 여기는 5가지의 상수(常數), 즉 가장 기본적인 자연수(自然數)인 ‘1’, 인도(印度)에서 발견된 ‘0’, 원주율(圓周率) ‘π’, 자연로그의 밑 ‘e = 2.71……’, 허수 단위(虛數 單位) ‘i’라는 각각 별개의 유래를 가진 중요한 수들이 3가지의 연산(덧셈․곱셈․지수셈)을 통해 단 하나의 공식에서 더할 나위 없이 간결한 형태로 결합되어 있기 때문이다. 이 등식은 ‘오일러의 공식(Euler’s Formula)’이라 불리는 ‘(단, i는 허수 단위이고 x는 실수)’라는 식의 x에 원주율 π를 대입하고 양변에 1을 더함으로써 얻어지는 식이다. 즉 오일러의 공식은 실수의 세계에서는 관계가 없었던 지수함수와 삼각함수가 허수를 통해 표리일체에 있었음을 나타냈다. 그리하여 카스너(Edward Kasner)와 뉴먼(James Newman)의 공저『수학과 상상력(Mathematics and the Imagination)』에서 “프랑스 출신의 영국 수학자 드무아브르(Abraham de Moivre : 1667∼1754)의 발견을 오일러가 발전시켜 얻은 은 아마 모든 수식 중 가장 집약적이며 가장 유명할 것이다.…과학자와 수학자는 물론 철학자와 신비주의자들까지도 이 식에 빨려들고 만다.”고 극찬을 받았고, 미국의 물리학자로서 노벨 물리학상을 받은 파인만(Richard Feynman : 1918∼1988)도 15살의 소년 시절에 이 식을 보고 ‘수학에서 가장 경이로운 식(The most remarkable formula in math)’이라는 메모를 남겼다는 이 공식은 현대의 과학자들이 여러 가지 계산을 할 때의 필수품으로 대접받고 있다. 그 외에도 오일러는 삼각형의 수심, 외심, 무게중심은 일직선 위에 있다는 ‘오일러의 선’을 발견하였고, 골드바흐(Christian Goldbach : 1690∼1764)가 제기한 문제를 약간 수정하여 ‘모든 짝수는 두 소수의 합으로 표시할 수 있다.’는 골드바흐의 추측(Goldbach's Conjecture)도 만들어냈으며, 끝으로 페르마의 문제 xⁿ + yⁿ = zⁿ에서 n = 4는 불가능함을 증명하기도 했다.

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