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(3^2틀 관련 강의자료) 자연에서 볼 수 있는 피보나치수열의 예 (초안 2006.4.28 수정 06.5.8) 최종민 (한국방송통신대학교 시간강사) 1. 피보나치수열 황금비율 약 0.618을 자연수로 실현시키는 수열이 피보나치수열이라고 볼 수 있습니다. 피보나치수열을 쉽게 설명 드려 보겠습니다. 이 수열은 다음과 같습니다. (1) 피보나치수열 : {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...} (1)에 제시된 수열은 자세히 보아야 규칙을 찾을 수 있습니다. 이 수열은 0과 1의 두 항으로 시작됩니다. 제1항 0과 제2항 1의 합으로 제 3항이 생성됩니다. 즉 ‘0+1=1’과 같은 과정으로 제3항 1이 생성된 것입니다.
그 다음에는 제2항인 1과 제3항인 1을 합하여 제4항인 2가 생깁니다. 즉 1+1=2와 같은 과정으로 제4항인 2가 생깁니다. 그래서 수열은 {0, 1, 1, 2}까지 진행되는 것입니다. 그 다음에는 다시 ‘1+2’로 3을 만들고, 다시 ‘2+3’으로 5를 만들고, 다시 ‘3+5’로 8을 만들 수 있게 됩니다. (2) 피보나치수열 만들기 ㄱ. 제1항과 제2항(원소 두 개) ------- {0, 1} ㄴ. 제3항 만들기 : 0+1=1 ---------- {0, 1, 1} ㄷ. 제4항 만들기 : 1+1=2 ----------- {0, 1, 1, 2} ㄹ. 제5항 만들기 : 1+2=3 ----------- {0, 1, 1, 2, 3} ㅁ. 제6항 만들기 : 2+3=5 ----------- {0, 1, 1, 2, 3, 5} ㅂ. 제7항 만들기 : 3+5=8 ----------- {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8} ㅅ. 제8항 만들기 : 5+8=13 ---------- {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13} ㅇ. 제9항 만들기 : 8+13=21 --------- {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21}
(2)에 따르면, 앞 두 항의 합으로 그 다음 항이 만들지는 규칙을 볼 수 있습니다. 즉 선행된 두 항의 합으로 증가되는 규칙이 있다는 것입니다. 2. 피보나치수열의 특징 (2)에서 보면, 최초 원소로 삼은 두 수 {0, 1}만 가지고 수가 만들어진다는 것을 알 수 있습니다. 이것이 이 수열의 특징입니다. 즉 0과 1 이외에 다른 어떤 수의 도움 없이 수열을 만들어 나간다는 점이 재미있는 것입니다.
그런데 가장 두드러진 특징은 앞뒤 두 항의 비가 두 항의 비가 황금비율인 약 0.618에 가까워진다는 것입니다. 이것은 제4항인 ‘2’에서부터 나타난다고 볼 수 있습니다. 즉 {2, 3, 5, 8}의 부분을 예로 들어 보면, ‘2 : 3’은 약 0.666이고 ‘3 : 5’는 0.6이며, ‘5 : 8’은 0.625와 같은 비율이 되므로, 이들은 모두 황금비율 약 0.618의 근사값입니다.
이를 2와 3을 원소로 시작되는 피보나치수열이라는 의미에서 ‘2와 3을 원소로 한 피보나치수열’이라고 볼 수 있습니다. 그런데, 훈민정음과 세종악보에서 정리된 소리묶음의 원형적인 장단음틀을 보면, 3틀과 2틀을 원소로 갖는 '3^2틀'을 가지고 있습니다(최종민, 훈민정음과 세종악보의 상관성 연구, 박사학위논문, 상명대학교대학원, 2003, 87쪽 참조). 이 3^2틀'에 피보나치수열의 방식을 적용시키면, '3^2틀의 수열'을 만들 수 있습니다. 이를 가리켜 '3^2틀의 피보나치수열', 줄여서 '3^2틀수열'이라고 말하고자 합니다.
이 3^2틀수열은 합의 수열로 나열하면 결과적으로 '2와 3을 원소로 한 피보나치수열'과 같아지겠지만. 한편 3틀과 2틀의 수열이므로 두 틀의 연결 구조로 수열을 만들어 나가는 점에서는 다를 수도 있습니다. 따라서 ‘3^2틀수열’은 '2와 3을 원소로 한 피보나치수열'과 같은 방식이지만, 수열의 전개는 다음과 같이 다른 양상을 가질 수 있습니다.
(3) 3^2틀수열 방식-1 (2와 3을 원소로 한 피보나치수열) 3^2틀수열 = {2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...} 2 : 3 ≒ 3 : 5 ≒ 5 : 8 ≒ 약 0.618 (기호 '≒ ' : 근사값 표시)
(4) 3^2틀수열 방식-2 (2틀과 3틀을 원소로 한 피보나치수열 방식) 3^2틀수열 = {2, 3, 5(3^2, 2^3), 8(3^2^3. 3^3^2, 2^3^3), 13(3^2+3^2^3, 3^2+3^3^2, 3^2+2^3^3, 2^3+3^2^3, 2^3+3^3^2, 2^3+2^3^3) ...} 2 : 3 ≒ 3 : 5 ≒ 5 : 8 ≒ 약 0.618 (기호 '≒ ' : 근사값 표시)
(3)은 2와 3을 원소로 만들어지는 피보나치수열과 같은 방식의 ‘3^2틀수열’이고, (4)는 수열 속에서도 3틀과 2틀로 항상 움직이는 3틀과 2틀의 수열 방식을 나타내 본 것입니다. 실제로 모든 자연수의 묶음(2이상의 자연수를 가리킴)는 3^2틀로 분석할 수 있는 것입니다. 이것을 바꾸어 말하면, 3^2틀로 2이상의 모든 자연수를 만들수 있다는 것과 같습니다. 어찌되었던지 3^2틀수열에서는 앞뒤로 두 수의 비율이 황금비율 약 0.618에 가까운 값을 갖는 특징이 있다는 것을 알 수 있습니다. 3. 자연 속에 보이는 피보나치수열 피보나치수열은 황금비율성을 갖는 수열이므로, 수리적인 비율의 미적 관계를 갖는 모든 곳에서 볼 수 있게 됩니다. 다음 그림에서 보면, 꽃잎의 길이에서 벌의 몸체에서 황금비율성이 측정됩니다. <그림 1> 자연 속의 황금비율성 (출처 : 이충호 옮김, 마이클 슈나이더 지음, 《자연, 예술, 과학의 수학적 원형》, 京文社, 2002, 124쪽.)
<그림 1>처럼 길이의 비율에서 황금비율성을 볼 수 있는 경우입니다. 그런데 아래와 같은 경우에는 나뭇가지의 수나 꽃잎의 수를 통해서 황금비율성을 갖는 피보나치수열을 볼 수 있습니다. <그림 2> 나뭇가지와 꽃잎의 수에서 보는 피보나치수열 (출처 : 건국대학교 고석구교수 홈페이지, 검색 2006.4.28)
<그림 2>에서 보면 자연계에 형성되는 수리적인 형식이 피보나치수열로 해석되면서 황금비율성을 갖는 수리적인 아름다움을 갖는다고 볼 수 있습니다. 이 그림에는 들어있지 않지만, 여러 가지 꽃을 볼 때 꽃잎은 대개 5개형으로 된 꽃들이 많습니다.
황금비율성은 아래와 같이 사람의 몸에서도 많이 볼 수 있습니다. <그림 3>사람의 몸에서 볼 수 있는 황금비율성(피보나치수열) (출처 : 이충호 옮김, 마이클 슈나이더 지음, 《자연, 예술, 과학의 수학적 원형》, 京文社, 2002, 125-126쪽.)
<그림 4> 손뼈의 피보나치수열(3^2틀수열) <그림 5> 나선형 구조의 피보나치수열 적용
<그림 5>에서는 나선형 구조에 담긴 피보나치수열의 황금비율성을 볼 수 있습니다. 이와 같은 피보나치수열의 3^2틀수열은 자연 현상 속에 여러 가지 양상으로 실현되어 있으므로, 우리도 모르는 사이에 이러한 틀을 아름답게 느끼는 심미적 구조에 길들여져 있다고 생각됩니다.
3^2틀수열의 3을 ‘장’으로 2를 ‘단’으로 대입시켜면, ‘장^단틀’로 볼 수 있습니다.(최종민, 훈민정음과 세종악보의 상관성 연구, 박사학위논문, 상명대학교대학원, 2003, 96쪽.) 그러므로 3^2틀은 ‘황금비율성 장단미’ 즉 ‘황금장단미’를 갖는 것이라고 볼 수 있게 됩니다.
한민족이 만들어 온 문화적 유산인 훈민정음이나 세종악보의 소리 형식이나 시조와 같은 음수율에서 3^2틀수열이 실현되어 왔다는 것을 생각해 보면, 한민족의 수리 미학적 수준을 짐작해 볼 수 있습니다. 이는 곧 ‘장^단틀’로 볼 수 있는 것이므로, 결국 3^2틀은 ‘황금비율성 장단미’ 즉 ‘황금장단미율’을 갖고 있는 것이라고 볼 수 있습니다.
3. 맺는 말 피보나치수열의 제4항 이하인 2이상부터 앞뒤 두수의 비율이 황금비율 약 0.618에 가까우므로, 황금비율성을 갖는다고 말할 수 있습니다. 이것은 2와 3을 원소로 한 피보나치수열이라고 볼 수 있는데, 훈민정음과 세종악보가 갖고 있는 수리적인 묶음의 원형적인 3^2틀에 적용시키면, 3^2틀수열을 성립시킬 수 있습니다. 그러므로 3^2틀은 황금비율성을 갖는 특성이 있고, 이것은 장^단틀로 실현될 때 황금비율의 장단미를 갖는 것으로 볼 수 있습니다.
자연 현상에서 이루어진 수리적인 현상들, 즉 수리적인 구조에서 볼 때 벌의 몸길이나 사람의 몸 속 구조는 물론이고, 나뭇가지나 꽃잎의 수에서도 피보나치수열의 3^2틀수열이 적용되는 황금비율성을 갖고 있으며, 또한 나선형을 이루는 많은 자연 현상에서도 찾아볼 수 있습니다.
한민족은 훈민정음이나 세종악보의 소리 형식에서 3^2틀수열이 사용되었고, 시조와 같은 음수율도 3^2틀수열로 해석되는 것을 보면, 한민족의 문화적 수준은 수리 미학적으로 황금장단미율을 통하여 잘 나타나 있다고 생각됩니다. 참고문헌 이충호 옮김, 마이클 슈나이더 지음, 《자연, 예술, 과학의 수학적 원형》, 京文社. 2002. 최종민, 훈민정음과 세종악보의 상관성 연구, 박사학위논문, 상명대학교대학원, 2003. 건국대학교 고석구교수 홈페이지(검색 2006.4.28) 놀이수학(http://cont2.edunet4u.net/%7Emathre/nmath/pvex.htm)신비로운 수>자연속의 수 탐구(피보나치수열)-검색 2006.4.28
<첨부 자료> 출처: 놀이수학(http://cont2.edunet4u.net/%7Emathre/) -검색 2006.4.28 신비로운 수>자연속의 수 탐구(피보나치수열) http://cont2.edunet4u.net/%7Emathre/nmath/pvex.htm
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …을 피보나치 수열이라합니다.. 피보나치 수열은 생활 속에서 의외로 자주 발견할 수 있다. 피아노 건반은 흰색건반 8개와 검은색 건반5개로 기본13옥타브로 구성돼 있습니다.. 또한 검은색 건반은 2개, 3개가 각각 나란히 붙어 있어 2, 3, 5, 8, 13 등 피보나치 수열을 이루고 있음을 알 수 있다한 변의 길이가 피보나치수 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13인 정사각형을 그린 다음 곡선으로 연결하면 그림과 같은 나선형 곡선이 됨을 알 수 있다. 자연에서 나선형 곡선 구조를 쉽게 관찰할수 있는데,솔방울의 나선의 수를 세어 본다면 1,2,3,5,8등 나선의 갯수를 가지고 있습니다.(시게 방향으로 세는 것과 반시게 방향으로 세어 보거나, 또는 작은 솔방울과 큰솔방울의 나선의 갯수) .
파인애플에서도 이와 같은 규칙을 발견할 수 있는데 왼쪽으로 경사져 내려오는 다이아몬드 무늬 모양으로 생긴 8줄의 인편이 있는가 하면 오른쪽으로는 13줄의 비스듬히 내려오는 인편이 있다.
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황금비란 무엇인가???
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출처: 한국어음악 연구자료-소리랑 원문보기 글쓴이: 쇠북소리
