구두장이의 칼

[귀뚜라미]

인류가 맨발로 다닌 역사는 매우 길기 때문에 언제부터 신을 신기 시작했는지 정확하게는 알 수가 없다. 그러나 고대 그리스 시대의 신이 샌들이었고, 샌들 후에 구두가 나타났다는 사실은 기원전 5세기의 헤게소의 묘비나 기원전 4세기 테베왕의 묘의 그림으로 알 수 있다. 현재까지 보존된 가장 오래된 신은 기원전 2000년경 고대 이집트에서 만들어진 샌들로 종려나무 껍질이나 갈대의 일종인 파피루스 등을 꼬아서 만들었으며, 단순히 거친 땅으로부터 발을 감싸 보호하는 수준이었다고 한다. 

사람들이 어떻게 구두를 신게 되었을까?

그런 단순한 신이 그 나라의 기후와 지역적인 특징, 문명적인 특성에 맞게 여러 형태로 발전해 오다가 16세기 말부터 지금과 비슷한 형태가 되었다고 한다. 1590년경에 처음으로 신에 뒤축이 생겼고 ‘초핀(쇼핀느, Chopine)’라고 부르는 높은 굽의 슬리퍼가 16~17세기에 크게 유행했는데, 이것이 구두의 조상이라고 한다. 초핀의 굽은 귀족의 권위를 상징하기도 했는데, 귀족들 사이에 가장 인기가 있던 것은 빨강색의 굽이었다고 한다. 특히 프랑스의 국왕인 루이 14세는 키가 작았기 때문에 높은 굽의 초핀을 애용했다고 한다. 초핀 중에는 굽의 높이가 40cm 정도 되는 것도 있었는데 이런 신을 신으면 혼자 걷기가 거의 불가능했을 정도였다고 한다. 어째든 키가 커 보이게 하려고 신었던 초핀은 당시 남성 귀족들에게 인기가 있었으며 이것이 오늘날 여성의 구두인 하이힐의 원조인 셈이다.  그런데 하이힐을 신게 된 또 다른 이유가 있다. 17세기 유럽의 도시에는 화장실이 따로 없었기 때문에 도시에 살고 있는 모든 사람들의 배설물은 주로 거리에 버려졌다. 그래서 도시의 거리는 항상 각종 쓰레기와 오물로 덮여있었기 때문에 그런 더러운 거리를 걷기 위해서는 굽이 높은 신발이 필요했던 것이다. 그러나 전쟁이 났을 경우 남자들이 하이힐을 신고 싸우기 힘들었기 때문에 굽이 높은 신을 신지 않기 시작했다.

루이14세의 초상화. 굽 높은 신발을 신고 있다.

구두장이의 칼, 아벨로스(Arbelos)

구두를 만들 때 특별한 모양의 칼을 사용하게 되는데, 오른쪽 그림은 구두를 만드는 사람들이 사용하는 일명 ‘구두장이의 칼(shoemaker's knife 혹은 leathercraft round knife)’이다. 수학에도 이 칼과 모양이 같아서 ‘구두장이의 칼’이라고 불리는 도형이 있다.

구두장이의 칼(가죽칼) <출처: 류성(bloodyhyena)님 블로그>

ABC 오른쪽 아래 그림과 같이 길이가 1인 선분 AB 위에 중심이 있으며 서로 접하는 반원의 호로 둘러싸인 부분이 바로 그것이며, 그리스어로 ‘구두장이의 칼’이라는 뜻의 단어인 ‘아벨로스(Arbelos)’라고도 부른다. (색칠한 부분이 아벨로스이다.) 이 도형에 관한 기록은 고대 그리스의 수학자인 아르키메데스의 책에 처음 나타나 있다. 수학자들은 오랫동안 구두장이의 칼의 신비한 여러 가지 성질을 밝히기 위해 노력해 왔으며, 오늘날까지도 구두장이의 칼에 관한 연구는 계속되고 있다. 우리도 아르키메데스가 했던 것처럼 구두장이의 칼의 아름다운 성질을 알아보기 위하여 내용이 조금 어렵고 복잡하더라도 구두장이의 칼의 흥미로운 수학의 세계로 떠나보자.

구두장이의 칼의 호의 길이는?

 

한편, 가장 작은 반원의 반지름은 r/2이고, 중간 크기의 원의 반지름은 (1-r)/2 이므로 두 반원의 호의 둘레의 길이를 구하면 아래와 같다.

구두장이의 칼의 넓이는?

일반적으로 원의 지름의 양 끝 점에서 원주 위의 임의의 한 점에 각각 선분을 그으면 두 선분은 서로 수직이므로 삼각형 HAB는 직각삼각형이고, 삼각형 HAC와 삼각형 HCB도 각각 직각삼각형이다. 따라서 피타고라스의 정리에 의하여 다음이 성립한다.

이 세 식으로부터 다음을 알 수 있다. 

 
한편 위의 그림에서 알 수 있듯이 구두장이의 칼의 넓이는 반지름의 길이가 1/2인 반원의 넓이에서 반지름의 길이가 각각 r/2, (1-r)/2인 반원의 넓이를 뺀 것이므로, 구두장이의 칼의 넓이는 다음과 같다.

 

아르키메데스의 쌍둥이 원

구두장이의 칼의 여러 가지 성질 중에서 다음에 소개하는 두 가지는 그만큼 중요하기도 하고 흥미롭기도 하기 때문에 고대의 유명한 수학자의 이름이 붙었다. 이 글을 읽는 독자들에게 증명할 기회를 주기 위하여 결과만 간단히 소개하려고 한다.

 

파포스의 원 구두장이의 칼에 접하는 원을 그림과 같이 계속 그려서 원의 이름을 왼쪽부터 차례로 C1, C2, C3, … 라 하고 이들의 반지름의 길이를 각각 r1, r2, r3…라고 하자. 또 각 원의 중심에서 큰 원의 지름에 이르는 거리를 차례로 h1, h2, h3…라 하면 hn = 2nrn이 성립한다. 이 그림에서 연속으로 그려져 있는 원을  ‘파포스의 원’이라고 한다.  파포스는 고대 그리스의 수학자이다.

수학적인 흥미를 끊임없이 제공하는 구두장이의 칼

단순히 세 개의 반원을 겹쳐 놓았을 뿐인 구두장이의 칼은 앞에서 소개한 성질 이외에도 수학적으로 흥미로운 것들이 많기 때문에 지금도 이것에 관한 논문들이 지속적으로 발표되고 있다. 수학에는 구두장이의 칼과 같이 간단하지만 지적 호기심과 수학적 아이디어를 필요로 하는 문제가 많이 있다. 그리고 이런 종류의 문제를 해결하기 위한 여러분의 노력과 고민은 수학을 더욱 흥미롭고 아름답게 만든다.

글 이광연 / 한서대학교 수학과 교수

성균관대학교 수학과를 졸업하고 와이오밍 대학교에서 박사후 과정을 밟았다. 저서로는 <웃기는 수학이지 뭐야>, <수학자들의 전쟁> 2008년 문화체육관광부 우수과학도서로 선정된 <수학블로그>등이 있다.