허수와 실수, 그리고 무리수 초월수와의 관계

[유토피아]

허수(虛數, imaginary number)는 실수가 아닌 복소수를 뜻한다.

실수의 특성상, 제곱하면 무조건 0또는 양수가 되기때문에 이차방정식 을 실수의 범위에서 해를 전혀 구할 수가 없다. 그러나 수직선에 모든실수를 하나하나 대응시키면 빈틈없이 채워지는것으로 볼때,우리가 존재한다고 느낄 수 있는 수는 실수밖에없다는것은 부정할 수 없는 사실이다.

여기서 꼴과같이 실수 범위에서 전혀 구할 수 없는 해를 구하기위해 무엇인가를 만들어야할 필요성을 느낀다. 실수의 성질로써는 절대불가능한 제곱해서 음수가 되는수를 만들어내기위해 제곱하여 -1이 되는 수 를 만들어내면, 위의 이차방정식의 해는 또는이 되므로 이 수는 우리가 존재한다는것을 느끼는 수가 아님에도불구하고 이차방정식의 해가 되기때문에,수학자들은 이 수가 수학적가치가 있음을 인정하고 허수로 정의했고, 만 있으면 모든 허수들을 나타낼 수 있으므로 이 수를 imaginary number의 앞글자를 따서 허수단위

복소수는 실수와 허수를 포괄하는 수이며, 로 나타낼 수 있고, 이때 a를 실수부, b를 허수부라 한다.

b가 0일 경우 위의 수는 실수

허수의 발견은 복소수와 대응되는 수가 언젠가 누군가의 필요로인해 만들어진다는것을 알려주는 위대한발견이다.

고대 그리스의 수학자 헤론은 거듭제곱하여 음수1572년 이탈리아의 수학자 라파엘 봄벨리르네 데카르트가 《방법서설》의 부록 〈기하〉(프랑스어: La Géométrie)에서 상상의 수(imaginary numbers)라고 부른 데에서 허수라는 이름이 정착되었다. ^[1] 허수라는 이름은 오일러와 가우스에 의해 널리 알려졌으며, 오일러는 허수 단위 기호로 를 도입하였다. 1799년 카스파르 베셀^[2]

1843년 윌리엄 로언 해밀턴은 복소수를 확장하여 사원수^[3]

미국 수학에서 허수란 형태, 즉 순허수이다. 즉 실수에 허수단위 가 곱해진 형식을 가지고 있고, 따라서 제곱하면 음수

복소평면에서 복소수의 위치

한 평면상에 직교 좌표계를 정하고 이에 대한 한 점 Z 의 위치 (x, y)를 로 정하여 복소수를 평면상의 점으로 표시할 수 있다. 이 때, 좌표와 복소수는 일대일대응극좌표를 사용하여 원점에서 부터 점 Z 사이의 반지름과 각도

가 된다.^[4]

한편, 왼쪽의 그림과 같이 실수부는 같고 허수부의 부호만 반대인 와 를 생각할 수 있다. 이를 켤레복소수라고 한다. 켤레 복소수는 극좌표에서 반지름이 같고 x축에 대해 대칭인 점이 된다.^[5]

복소평면에서 허수의 위치를 극좌표를 사용하여 나타낼 수 있으므로, 임의의 단위 원을 그려 복소수와 삼각함수의 관계를 생각할 수 있다. 1714년 영국의 수학자 로저 코츠는 자연로그가 다음과 같은 삼각함수

1740년 레온하르트 오일러는 이 식을 지수함수

이를 오일러의 공식^[6]

수 체계에서 허수는 복소수 로 나타낸다.^[7]

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허수 단위 는 제곱해서 -1이 되는 복소수을 만족하는 근 중 하나인 를 라 표기한다. 를 통해 실수 체계를 복소수 체계로 확장할 수 있다. 전자공학 등의 분야에서는 전류의 기호로 를 사용하기 때문에, 혼동을 피하기 위해 허수단위를 로 표기하는 경우도 있다.

• 
• 
• 
• (이상, n은 정수)
• 
• 

허수단위를 e 의 지수

이때 는 복소수이다.

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삼각함수

= π/2 − 2πN (단,N은 정수) 를 대입하면

이것에 i 제곱을 취하면

이므로

과 같은 식이 나온다.

실제 이 값은

이다.

 허수도 실수가 되려면 4단운동을 해야 합니다.
ㅇ는 5의 수가 되려면 운34가 되어야 하는 것과 마찬가지지요 즉 기화수토의 근거가 됩니다.
그러므로 기화수토란 일종의 허수입니다. 서로 다른 음수와 양수 그리고 허수의 대치의 수가됩니다.