R[x]의 다항식 f(x) 가 n차식이라고 할 때, f(x)=0의 해가 n개 존재하기 위해서는
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R[x]가 반드시 field 여야 하나요?
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수업시간에 교수님이 지나가는 말로 field라고 하신 것 같은데
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Integral Domain일 때도 저 말이 성립하는 것 같아서요.
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답변 부탁드립니다.~
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예를들어서, x⁴-1 = 0 의 해를 실수위에서 구해보겠습니다. x⁴-1 = (x²-1)(x²+1) = (x-1)(x+1)(x²+1) 이므로 x=±1, x=±i 입니다. 그러면 실수위에서의 해는 x=±1 로 2개입니다. 즉, x⁴-1 을 실수위에서 인수분해했을때, x⁴-1 의 인수중에서 1차식은 x-1, x+1 로 2개가 되므로 실수위에서의 해도 2개인 것입니다.
첫댓글 정수환 Z 는 분명히 Integral Domain 입니다. 그러나 x²+x+1 = 0 의 해는 Z 에서 존재하지 않습니다. 또, n 차 다항식의 해는 주어진 체 위에서 n 개 이하로 존재합니다.
그렇군요~ 감사합니다. 그런데 근이 체에서 n개 이하로 존재한다는 것은 중근일 때 근을 하나로 보기 때문인가요? 만약 중근을 하나로 보지 않는다면 체에서 n차방정식의 근이 n개 존재하는게 되나요?
n차 다항식의 해가 n개 이하라는 것은 최대 n개가 된다는 것입니다. 이것은 중복을 허용해서 n개가 된다는 것입니다. 즉, 중근은 2개로 보는 것입니다. 다른 말로하자면, 인수분해에 포함되는 1차 다항식의 개수를 다항식의 해의 개수로 보는 것입니다.
예를들어서, x⁴-1 = 0 의 해를 실수위에서 구해보겠습니다. x⁴-1 = (x²-1)(x²+1) = (x-1)(x+1)(x²+1) 이므로 x=±1, x=±i 입니다. 그러면 실수위에서의 해는 x=±1 로 2개입니다. 즉, x⁴-1 을 실수위에서 인수분해했을때, x⁴-1 의 인수중에서 1차식은 x-1, x+1 로 2개가 되므로 실수위에서의 해도 2개인 것입니다.
아 이제야 이해가 됐습니다. 감사합니다. ^^
도움이 되셨다면 저도 즐겁습니다~ ^ㅡ^