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평면의 결정조건 |
점이 움직이면서 선이 생기는 것과 같이, 직선이 움직이면 면이 생긴다. 직선이 한 직선을 따라 평행으로 움직여 생기는 면을 평면이라고 한다.
평면은 보통 위의 그림과 같이 평행사변형 모양으로 나타내고 평면 ABCD 또는 평면
와 같이 나타낸다. 평면 위에 두 점 E, F를 잡으면, 직선 EF는 평면
에 포함된다. 공간의 서로 다른 두 점 A, B를 포함하는 평면은 무수히 많다. 그러나 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B, C를 포함하는 평면은 오직 하나만 결정된다.
따라서 다음과 같은 조건을 만족할 때 평면이 결정된다.
한 직선 위에 있지 않은 세 점
한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점
한 점에서 만나는 두 직선
평행한 두 직선
◀◀ 보기 [그림 1]
(1) [그림 1]에서 네 점 A, B, C, D는 한 평면 위에 있으므로 (A, B, C), (A, B, D), (A, C, D), (B, C, D) 네 개의 평면은 모두 같다. (2) 5개의 점 A, B, C, D, E 중에서 네 점 A, B, C, D가 한 평면 위에 있다. 이들 5개의 점 중 세 점으로 결정되는 평면은 (A, B, E), (A, C, E), (A, D, E), (B, C, E), (B, D, E), (C, D, E), (A, B, C) 로 7개이다. [그림 2]
(3) [그림 2]에서
를 지나는 평면은 무수히 많다. (4) [그림 2]에서 직선 AB와 점 C는 하나의 평면을 결정한다.
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두 직선의 위치 관계 |
한 평면에서의 두 직선은 다음과 같이 서로 만나거나 만나지 않는다.
공간에서의 두 직선은 다음과 같이 서로 만나거나 만나지 않는다.
특히
에서와 같이 서로 만나지도 않고 평행하지도 않은 위치 관계에 있을 때, 이들 두 직선은 꼬인 위치 에 있다고 한다.
◀◀ 보기 [그림 1]
(1) [그림 1]에서 서로 평행한 직선은
와
,
와
,
와
,
과
이다. (2) [그림 1]에서 서로 만나는 직선은
와
,
,
이고 마찬가지로
와
,
,
그리고
와
,
,
으로 9쌍이 있고
과
,
과
도 서로 만난다. [그림 2]
(3) [그림 2]에서 직선 AB와 직선 CD는 한 점에서 만난다. (4) [그림 2]에서 직선 AC와 선분 BD는 만나지 않는다. 왜냐하면 선분은 일정한 길이가 있기 때문이다.
[그림 3]
(5) [그림 3]의 직육면체에서 모서리 AB에 평행한 모서리는
이다. (6) [그림 3]의 직육면체에서 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는
이다. |
직선과 평면의 위치 관계와 수직 |
한 평면
와 공간에 있는 한 직선
사이의 위치 관계는 다음과 같다.
(i)에서 평면
는 직선
을 포함하고,(ii)에서 평면
와 직선
은 한 점 A에서 만난다. 또, (iii)에서 평면
와 직선
은 만나지 않는다. 이 때 평면
와 직선
은 평행하다. 즉,
이다.
위의 그림과 같이 점 A를 지나는 평면
위의 모든 직선과 직선
이 수직으로 만날 때, 직선
과 평면
는 직교한다. 또는 직선
은 평면
와 서로 수직이라고 한다. 즉,
이다. 이 때 직선
은 평면
의 수선이 된다.
위의 그림과 같이 직사각형 모양의 종이를 반으로 접어서 평면 위에 세워 보자. 이 때 직선 AB는 점 B를 지나는 임의의 직선
과 수직이다. 즉, 평면
와 만나는 직선 AB가 그 교점 B를 지나는 평면 위의 두 직선과 수직이면, 직선 AB는 평면
에 수직이다.
평면
밖의 한 점 A에서 평면
에 그은 수선 AH의 길이는 점 A와 평면
위의 다른 어떤 점을 잇는 선분의 길이보다 짧다. 이 때 이 길이가 점 A와 평면
사이의 거리이다.
◀◀ 보기
(1) 평면 ABCD는 선분 AC를 포함한다. (2) 평면 ABCD와
는 평행하다. (3) 평면 ABCD와
는 한 점에서 만난다. (4) 평면 ABCD와
는 평행하다. (5) 모서리 BF에 수직인 평면은 평면 ABCD와 평면 EFGH이다. (6) 점 A와 평면 EFGH와의 거리는 3cm이다.
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두 평면의 위치 관계와 수직 |
공간에 있는 서로 다른 두 평면은 다음과 같이 서로 만나거나 만나지 않는다.
(i)에서와 같이 두 평면
와
가 만나지 않을 때, 두 평면
,
는 서로 평행하다. 즉,
이다. (ii)에서와 같이 두 평면
와
가 만나면 직선이 생긴다.
위의 그림과 같이 평행한 두 평면
,
가 다른 한 평면
와 만났을 때 생기는 교선을
이라 하면
임을 알 수 있다.
위의 그림은 평행한 두 평면
,
가 있을 때, 평면
위의 한 점 A에서 평면
에 수선을 그은 것이다. 이와 같이 평행한 두 평면이 있을 때, 어느 한 평면 위의 점에서 다른 평면 위에 그은 수선의 길이가 이 두 평면 사이의 거리이다.
위의 그림과 같이 두 평면
와
의 교선을
이라고 하자. 또 직선
위의 한 점 O에서 직선
에 수직이면서 평면
,
위에 있는 직선을 각각
,
이라고 하자. 이 때
과
이 이루는 각이 직각일 때, 두 평면
,
는 직교한다. 또는 두 평면
,
는 서로 수직이다. 즉,
이다. 한편, 두 평면
,
와 그 교선
이 주어질 때, 직선
위의 한 점 O를 지나는 평면
의 수선이 평면
위에 있으면 두 평면
,
는 서로 수직이다.
◀◀ 보기
(1) 평면 ABCD와 만나는 평면은 평면 ABFE, 평면 BFGC, 평면 CGHD, 평면 AEHD이다. (2) 평면 ABFE와 평행한 평면은 평면 CGHD이다. (3) 평면 ABCD와 수직인 평면은 평면 ABFE, 평면 BFGC, 평면 CGHD, 평면 AEHD이다. (4) 평면 BFGC와 평면 AEHD의 거리는 2cm이다. (5) 평면 EFGH와 평면 BFGC는 하나의 직선 FG와 만난다. (6) 평면 ABFE와 평면 EFGH가 이루는 각의 크기는
이다.
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