<div class="figure-img" data-ke-type="image" data-ke-style="alignCenter" data-ke-mobilestyle="widthOrigin"><img src="https://t1.daumcdn.net/cafeattach/1Lj3M/6aa6d29f519f1acb125236bcd690ae69a7b1faf3" class="txc-image" data-img-src="https://t1.daumcdn.net/cafeattach/1Lj3M/6aa6d29f519f1acb125236bcd690ae69a7b1faf3" data-origin-width="1363" data-origin-height="1182"></div><p>1. 가우스보네정리 적용할때 외각이 평각이 아닌 뾰족점에서만 계산하면 충분하다고 하셨는데</p><p>해당 회전면을 저렇게 4개의 꼭짓점으로 분할했을때, 만약 위선 위의 점이라 보면 들어오는 방향의 접벡터와 나가는 방향의 접벡터가 동일해서 외각이 0이 되는건 알겠는데 만약 경선을 포함한 앞면의 곡선에서 꼭짓점으로 보면 접벡터가 같다고 볼 수 없지 않나요?</p><p>아니면 제가 뭐를 혼동하고있는건지...</p><p>정리 적용할때 외각을 어느 곡선 기준으로 어떻게 계산해서 적용해야할지 헷갈려서 질문드립니다.</p><p> </p><p>2. 저런 회전면의 경우 오일러 지표를 계산할때 직접 v=4 e=6 f=2 계산하는 방법 말고 가운데 뚫린 부분을 손잡이 한개로 생각해서 공식대로 0이라고 구해도 되나요?</p><p> </p><p> </p>
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첫댓글① 외각은 가우스-보네 정리를 적용하고 있는 영역의 경계를 따라 들어오는 곡선의 접벡터와 나가는 곡선의 접벡터 사이의 각도를 측정하는 것입니다. 주어진 영역의 경계는 두 원이므로 이 때는 외각의 합이 0이 됩니다. 그런데 사진처럼 사각분할로 영역을 고려한다면 앞면 뒷면에 대해 각각 가우스-보네 정리를 적용할 수 있고 이를 S₁, S₂ 라 한다면 S₁, S₂ 각각의 경계에 대해 위선과 경선이 만나 생기는 꼭짓점에서 외각을 고려해야 하므로 전체 외각의 합은 2*4*π/2=4π가 되고 오일러 지표는 S₁, S₂ 이 각각 v-e+f=4-4+1이므로 합은 2*2π*1=4π가 됩니다. 또한 S₁, S₂의 경계곡선 중 겹치는 경선은 진행방향이 반대이므로 측지곡률이 상쇄되서 남은 선적분은 위선으로 이루어진 원만 남게 됩니다. 그러므로 필수예제 79처럼 영역을 사각분할하지 않은 것이나 사각분할하여 생각한 것이나 결과는 같게 나오게 됩니다. ② 27대비 미분기하학 정리 5.17 p.127 은 컴팩트+곡면에 적용할 수 있는 정리입니다. 해당 영역은 컴팩트는 맞지만 경계가 되는 점에서 곡면의 정의를 만족하지 않으므로 곡면이 아닙니다.
강의에서 예제79를 풀이한 방법(영역의 경계를 두 원이라고 생각)도 저 그림처럼 사각분할 했던것 아닌가요? 꼭짓점을 저렇게 찍어서 설명해주셨던걸로 기억해서요. 그리고 외각이 모든 점에서 pie/2인 부분이 잘 이해가 안갑니다ㅠ x=-2일땐 경선 위선에서 접벡터가 모두 축이랑 평행해서 수직인게 와닿는데 x=3일땐 경선의 접벡터가 좀 기울어져있지않나요? 아니면 경선 위선이 주곡선이라 항상 수직으로 만난다고 생각해야하나요?
@묘묘묙① 영역 R을 사각분할하지 않고 하나의 영역으로 생각한다면 경계곡선이 위선으로 이루어진 두 원이 되지만 강의처럼 꼭짓점을 추가하여 앞 뒷면으로 사각분할한다면 각각의 영역에 대한 경계곡선은 위선과 경선으로 이루어진 사각형이 됩니다. ② 실제로 계산해보시면 됩니다. x=3에서 경선의 접벡터는 (1,0,15)이고 위선은 (0,1,0)과 평행하므로 둘을 내적하면 0이 됩니다. 일반적으로 생각해보더라도 회전면 X(u,v)=(f(u)cosv, f(u)sinv, g(u))에 대해 F=Xu·Xv=0이 되므로 같은 점을 지나는 경선과 위선의 접벡터는 항상 수직을 이룸을 알 수 있습니다.
@수정과답변 감사드립니다. 죄송하지만 혹시 궁금한 점 두개만 더 여쭤봐도 될까요? 그러면 분할을 하지 않거나 사각분할을 하거나 모두 동일한 값이 나오므로 편의에 따라 생각하면 되는걸로 받아들이면 될까요? 그리고 오일러 지표가 곡면을 어떻게 분할하던 같은 값을 가져야하는걸로 아는데 만약 하나의 영역이라고만 생각하면 v=0 위선 두개 e=2 f=1 으로 생각이 되어서 사각분할해서 계산한 값이랑 다른값을 갖게되는데 어디서 잘못 생각한걸까요...?
@묘묘묙① 네 맞습니다. ② 오일러지표는 곡면의 정칙영역 R의 삼각분할(또는 사각분할)이 주어질 때 삼(사)각형의 꼭짓점 v, 변 e, 면 f의 수로서 정의합니다. 그러므로 하나의 영역으로 생각할 때는 그 영역자체가 삼각분할(또는 사각분할)이 아니므로 v-e+f 공식을 적용할 수 없는 상황입니다. 따라서 경선 방향으로 한 번 자른다고 생각하면(사각분할) v-e+f=2-3+1=0이 됩니다.
@수정과안녕하세요. 해당 예제 문제에서 질문이 더 있어서 댓글 남깁니다! 정리 증명 과정에서 다뤘던 내용같긴한데 문제에 적용하려니 좀 헷갈리네요…
국소적 가우스 보네 정리에서 영역의 경계에 대해 곡선의 진행방향을 U에 맞춰서 설정해야한다고 하셨는데, 회전면과 같이 일반화된 가우스보네정리를 적용해야 하는 경우에도 동일한 방식으로 U의 방향과 오른손법칙에 맞춰서 경계에 해당하는 곡선의 진행방향을 설정해두고 계산해야 하는건가요?
궁금한건 이 예제에서 곡선 진행방향을 찾는 과정인데요 혼자 푸니까 감이 안잡혀서요. 강의에서는 앞면 뒷면 각각 나눠서 각 면을 2차원 단편처럼 간주하고, U를 각각 면에서의 바깥쪽으로 설정&그에 따라 경선과 위선의 일부를 반시계방향으로 설정해서 접벡터 방향 등등을 결정하는거같은데 이런식으로 회전면에서는 오일러 지표 구할때처럼 사각분할을 해놓고 각각의 분할에서 곡선의 방향을 구한뒤 최종적으로 다 상쇄되고 남은 경계의 방향에 맞춰서 계산하는건가요?
글로 적다보니 가독성이 너무 떨어져서 죄송합니다ㅠㅠ 질문의 요지는 2차단편에서처럼 한번의 과정으로 U방향 곡선방향 설정이 가능한게 아니라 항상 분할을 해서 따져야만하는게 맞는지 입니다!
@묘묘묙① 네. 정리 5.12, 정리 5.20 둘 중 어느 경우에든 택하신 U에 대한 오른손 법칙에 맞게 경계의 진행방향을 맞춰줘야 합니다. ② 말씀하신 것처럼 주어진 영역을 사각분할하여 경계곡선의 조각이 되는 총 8개의 곡선의 진행방향을 고려해준 다음 정리 5.12를 적용하여 계산해도 됩니다. 다만 항상 사각분할로 따져야하는 것은 아니고 교재의 풀이처럼 영역을 분할하지 않고 영역 자체의 경계곡선이 되는 두 위선에 대해서 정리 5.20을 적용해도 앞면 뒷면으로 분할하여 나온 결과와 같은 결과가 나오게 나옵니다.
그러면 영역을 분할하지 않는다고 했을때에도 가우스보네정리를 이용하려면 진행방향을 항상 U에대한 오른손법칙에 맞게 맞춰주는것이죠?
사각분할을 하지 않은 상태에서 문제를 푼다고 쳤을때, 교재에 있는 alpha 위선의 진행방향이 사각분할 해서 찾은 진행방향이랑 같다는 사실은 어떻게 보여야하는건가요? (2차원 단편에서처럼 곡면의 어디 지점에서 U를 세우고 벡터들을 살펴봐야할지 눈에 안들어와서요ㅠㅠ) 위선 위의 측지곡률 구하려는 점에서 U방향을 먼저 찾고 그다음에 위선에 오른손법칙을 쓰면 되나요
첫댓글 ① 외각은 가우스-보네 정리를 적용하고 있는 영역의 경계를 따라 들어오는 곡선의 접벡터와 나가는 곡선의 접벡터 사이의 각도를 측정하는 것입니다. 주어진 영역의 경계는 두 원이므로 이 때는 외각의 합이 0이 됩니다. 그런데 사진처럼 사각분할로 영역을 고려한다면 앞면 뒷면에 대해 각각 가우스-보네 정리를 적용할 수 있고 이를 S₁, S₂ 라 한다면 S₁, S₂ 각각의 경계에 대해 위선과 경선이 만나 생기는 꼭짓점에서 외각을 고려해야 하므로 전체 외각의 합은 2*4*π/2=4π가 되고 오일러 지표는 S₁, S₂ 이 각각 v-e+f=4-4+1이므로 합은 2*2π*1=4π가 됩니다. 또한 S₁, S₂의 경계곡선 중 겹치는 경선은 진행방향이 반대이므로 측지곡률이 상쇄되서 남은 선적분은 위선으로 이루어진 원만 남게 됩니다. 그러므로 필수예제 79처럼 영역을 사각분할하지 않은 것이나 사각분할하여 생각한 것이나 결과는 같게 나오게 됩니다.
② 27대비 미분기하학 정리 5.17 p.127 은 컴팩트+곡면에 적용할 수 있는 정리입니다. 해당 영역은 컴팩트는 맞지만 경계가 되는 점에서 곡면의 정의를 만족하지 않으므로 곡면이 아닙니다.
강의에서 예제79를 풀이한 방법(영역의 경계를 두 원이라고 생각)도 저 그림처럼 사각분할 했던것 아닌가요? 꼭짓점을 저렇게 찍어서 설명해주셨던걸로 기억해서요.
그리고 외각이 모든 점에서 pie/2인 부분이 잘 이해가 안갑니다ㅠ x=-2일땐 경선 위선에서 접벡터가 모두 축이랑 평행해서 수직인게 와닿는데 x=3일땐 경선의 접벡터가 좀 기울어져있지않나요? 아니면 경선 위선이 주곡선이라 항상 수직으로 만난다고 생각해야하나요?
@묘묘묙 ① 영역 R을 사각분할하지 않고 하나의 영역으로 생각한다면 경계곡선이 위선으로 이루어진 두 원이 되지만 강의처럼 꼭짓점을 추가하여 앞 뒷면으로 사각분할한다면 각각의 영역에 대한 경계곡선은 위선과 경선으로 이루어진 사각형이 됩니다.
② 실제로 계산해보시면 됩니다. x=3에서 경선의 접벡터는 (1,0,15)이고 위선은 (0,1,0)과 평행하므로 둘을 내적하면 0이 됩니다. 일반적으로 생각해보더라도 회전면 X(u,v)=(f(u)cosv, f(u)sinv, g(u))에 대해 F=Xu·Xv=0이 되므로 같은 점을 지나는 경선과 위선의 접벡터는 항상 수직을 이룸을 알 수 있습니다.
@수정과 답변 감사드립니다. 죄송하지만 혹시 궁금한 점 두개만 더 여쭤봐도 될까요?
그러면 분할을 하지 않거나 사각분할을 하거나 모두 동일한 값이 나오므로 편의에 따라 생각하면 되는걸로 받아들이면 될까요?
그리고 오일러 지표가 곡면을 어떻게 분할하던 같은 값을 가져야하는걸로 아는데 만약 하나의 영역이라고만 생각하면 v=0 위선 두개 e=2 f=1 으로 생각이 되어서 사각분할해서 계산한 값이랑 다른값을 갖게되는데 어디서 잘못 생각한걸까요...?
@묘묘묙 ① 네 맞습니다.
② 오일러지표는 곡면의 정칙영역 R의 삼각분할(또는 사각분할)이 주어질 때 삼(사)각형의 꼭짓점 v, 변 e, 면 f의 수로서 정의합니다. 그러므로 하나의 영역으로 생각할 때는 그 영역자체가 삼각분할(또는 사각분할)이 아니므로 v-e+f 공식을 적용할 수 없는 상황입니다. 따라서 경선 방향으로 한 번 자른다고 생각하면(사각분할) v-e+f=2-3+1=0이 됩니다.
@수정과 안녕하세요. 해당 예제 문제에서 질문이 더 있어서 댓글 남깁니다! 정리 증명 과정에서 다뤘던 내용같긴한데 문제에 적용하려니 좀 헷갈리네요…
국소적 가우스 보네 정리에서 영역의 경계에 대해 곡선의 진행방향을 U에 맞춰서 설정해야한다고 하셨는데, 회전면과 같이 일반화된 가우스보네정리를 적용해야 하는 경우에도 동일한 방식으로 U의 방향과 오른손법칙에 맞춰서 경계에 해당하는 곡선의 진행방향을 설정해두고 계산해야 하는건가요?
궁금한건 이 예제에서 곡선 진행방향을 찾는 과정인데요 혼자 푸니까 감이 안잡혀서요.
강의에서는 앞면 뒷면 각각 나눠서 각 면을 2차원 단편처럼 간주하고, U를 각각 면에서의 바깥쪽으로 설정&그에 따라 경선과 위선의 일부를 반시계방향으로 설정해서 접벡터 방향 등등을 결정하는거같은데
이런식으로 회전면에서는 오일러 지표 구할때처럼 사각분할을 해놓고 각각의 분할에서 곡선의 방향을 구한뒤 최종적으로 다 상쇄되고 남은 경계의 방향에 맞춰서 계산하는건가요?
글로 적다보니 가독성이 너무 떨어져서 죄송합니다ㅠㅠ 질문의 요지는 2차단편에서처럼 한번의 과정으로 U방향 곡선방향 설정이 가능한게 아니라 항상 분할을 해서 따져야만하는게 맞는지 입니다!
@묘묘묙 ① 네. 정리 5.12, 정리 5.20 둘 중 어느 경우에든 택하신 U에 대한 오른손 법칙에 맞게 경계의 진행방향을 맞춰줘야 합니다.
② 말씀하신 것처럼 주어진 영역을 사각분할하여 경계곡선의 조각이 되는 총 8개의 곡선의 진행방향을 고려해준 다음 정리 5.12를 적용하여 계산해도 됩니다. 다만 항상 사각분할로 따져야하는 것은 아니고 교재의 풀이처럼 영역을 분할하지 않고 영역 자체의 경계곡선이 되는 두 위선에 대해서 정리 5.20을 적용해도 앞면 뒷면으로 분할하여 나온 결과와 같은 결과가 나오게 나옵니다.
@수정과 답변 감사합니다!!
그러면 영역을 분할하지 않는다고 했을때에도 가우스보네정리를 이용하려면 진행방향을 항상 U에대한 오른손법칙에 맞게 맞춰주는것이죠?
사각분할을 하지 않은 상태에서 문제를 푼다고 쳤을때, 교재에 있는 alpha 위선의 진행방향이 사각분할 해서 찾은 진행방향이랑 같다는 사실은 어떻게 보여야하는건가요? (2차원 단편에서처럼 곡면의 어디 지점에서 U를 세우고 벡터들을 살펴봐야할지 눈에 안들어와서요ㅠㅠ)
위선 위의 측지곡률 구하려는 점에서 U방향을 먼저 찾고 그다음에 위선에 오른손법칙을 쓰면 되나요