제곱근

[유토피아]

수학에서 의 제곱근(제곱根)은 제곱하여 가 되는 실수를 가리키며, 특히 이 가운데 양의 제곱근을 라고 표기하고 "제곱근 "(문화어: 루트) 라고 읽는다.

예를 들어, 이므로 의 제곱근은 과 의 두 개이고, 특히 이다.

양의 실수의 제곱근은 실수이지만, 음의 실수의 제곱근은 실수가 아니다.

따라서 음의 실수의 제곱근을 다루기 위해

허수와 복소수 

의 개념이 생겨났다.

는 처음으로 알려진 무리수이며, 피타고라스의 제자 히파수스

에 의해 발견되었다.

제곱근 기호는 16세기라틴어

에 처음으로 사용되었다. 이것은 소문자 r의 모양을 따온 것으로, 라틴어

에서 "뿌리" 혹은 "근"을 의미하는 radix라는 단어에서 가져온 것이다.

성질[편집]

함수 의 그래프

• 제곱근 함수 는 음이 아닌 실수의 집합 에서 자기 자신으로 가는 함수이다. 가 유리수일 때, 는 대수적 수

• 제곱근 함수

음이 아닌 두 실수 와 에 대하여 이다.

음이 아닌 실수 에 대하여 이다.

일반적으로 실수 에 대하여 이다.

자연수 에 대해 는 자연수이거나 무리수이다.

제곱근의 계산[편집]

제곱근의 풀이법은 아르키메데스의 저서에서도 언급된 바 있으며, 헤론은 바빌로니아 법개평법₁＋a₂＋…＋a_k)² ＝a₁²＋(2a₁＋a₂)a₂＋(2a₁＋2a₂＋a₃)a₃ ＋…＋(2a₁＋2a₂＋…＋a_k)a_k라는 항등식으로 부터 유도되었다. 그러나 이 방법은 각 자리의 숫자를 정확히 구할 수 있는 대신 과정이 복잡하고 계산 효율수렴하는 수열을 만들어 근사값을 구하는 방법인 바빌로니아 법뉴턴랩슨 법을 이용하여 이차방정식의 근사해

양의 실수 에 대하여 다음 과정을 따라 의 근사값을 구할 수 있다.

1. 임의의 양의 실수 를 택한다. 이 값이 에 가까울수록 더 빨리 근삿값을 구할 수 있다.
2. 라 한다.
3. 원하는 정밀도까지 위의 과정을 반복한다.

위에서 구한 수열 은 를 만족한다.

다음은 위의 방법에 따라

처음 21개 자연수의 제곱근[편집]

다음은 1부터 21까지의 (양의) 제곱근을 나타낸 것이다. 소수점 아래 75자리까지 계산하였다.

√ 1	=	1
√ 2	≈	1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
√ 3	≈	1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
√ 4	=	2
√ 5	≈	2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
√ 6	≈	2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
√ 7	≈	2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
√ 8	≈	2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
√ 9	=	3
√ 10	≈	3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
√ 11	≈	3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
√ 12	≈	3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
√ 13	≈	3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
√ 14	≈	3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
√ 15	≈	3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
√ 16	=	4
√ 17	≈	4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
√ 18	≈	4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
√ 19	≈	4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
√ 20	≈	4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276
√ 21	≈	4.5825756949 5584000658 8047193728 0084889844 5657676797 1902607242 1239068684 25547