유제 5-5 , 5-6

[묘묘묙]

전측지곡률 계산과정에서 U 방향을 임의로 결정하고, 곡선 진행방향에 따라 측지곡률 계산하는건데 매개화 안하고 그림으로 풀었더니 전측지곡률 값이 좀 다른거 같아서 질문드립니다.

강의에서 가우스보네 형식처럼 U와 오른손법칙을 이용해서 곡선 진행방향 결정 / 매개변수 t에 따라 진행방향 결정

둘 중 어느 방법으로 계산해야 맞는건지 잘 모르겠습니다.

절댓값을 구하라고 하면 답은 똑같은데 어떤 방법을 선택하냐에 따라 틀리게 되는건지 궁금해서요

답지에서랑 제가 푼 방법이랑 U 방향은 똑같은데 측지곡률값의 부호가 반대로 나오길래 이유가 alpha 진행방향 차이인거같은데 어떻게 푸는게 맞는 방법인가요?

아니면 부호는 크게 상관 없나요..??

<유제 5-6>

영역의 경계가 직관적으로 와닿지가 않는데 저렇게 위쪽 뚜껑의 위선, z축이랑 평행한 경선 2개 로 볼 수 있는것 맞나요?

그리고 점 (0,1,1/2)에서 U, T N B를 구했는데 해당 점에서 z=y^2/2 의 기울기가 1이니까 -1이 나오도록 U를 (0,1,-1)/root2 로 잡았는데 답지에는 x성분값이 살아있어서요. 노름도 1이 안나오는데 오타인건가요..?!

[수정과]

① 가우스-보네 정리를 쓸 때는 U에 따라 경계곡선의 진행방향을 고려하여(또는 경계곡선에 진행방향에 맞춰 U를 선택하여) 측지곡률을 계산해주셔야 합니다. 그러나 유제 5-5는 주어진 α에 대해 전측지곡률을 구하는 것이므로 α의 진행방향에 맞춰 측지곡률을 계산해주시면 됩니다.
② 아래의 그림과 같이 빨간색과 파란색 두 곡선을 경계로 갖는 영역이 나옵니다. 또한 해설지의 U는 오타가 맞으며 x성분이 1이 아닌 0이 되어야합니다. 해당 부분은 수정 요청하도록 하겠습니다. 알려주셔서 감사합니다.

[묘묘묙]

그런데 필수예제중에 torus 일부의 전측지곡률 구하는 문제에서는 조각마다 곡선을 나눠서 각각 구할때 원래 진행방향대로 안하고 U에 따라 한바퀴를 돌아가는 방향으로 생각하고 구했던거같은데 폐곡선인 경우에는 그렇게 해야하는게 맞나요?

[수정과]

필수예제 74처럼 경계 ∂S가 주어진 경우 각 조각의 진행방향은 문제에 주어지지 않았으므로 부여해줘야 합니다. 이때 단위법벡터장과 오른손 법칙으로 진행방향을 부여해줄 경우 가우스-보네 정리와 연관이 생기는 의미있는 값이 되므로 (암묵적으로) 경계에서 전측지곡률을 구할 때는 단위법벡터장과 오른손 법칙으로 유도되는 진행방향을 각 조각의 진행방향으로 생각하여 계산하면 됩니다.