수학 산책-국제수학 올림피아드

[白山]

국제 수학 올림피아드 로고

국제수학올림피아드(International Mathematical Olympiad, IMO)는 1959년 루마니아에서 열린 이후 매년 7월에 거행되는 국제적인 수학 경시대회이다. 대학교육을 받지 않은 20세 미만인 학생들에게 참가자격이 있으며, 각국 대표단은 6명의 학생으로 이루어진다. 초창기에는 주로 동구권 나라들이 참여하는 대회였으나 1970년대 중반 이후 미국 등 서방 국가들도 참여하기 시작하였고 우리나라는 1988년 호주 대회부터 참가하고 있다. 최근에는 100개국 남짓 참가하고 있고 아프리카와 서남아시아의 일부 국가들을 제외하고는 전 세계 거의 모든 나라들이 참가하고 있다.

대회진행 방식

시험은 이틀간 치러지며 하루에 3문제씩 총 6문제가 주어진다. 시간은 하루에 4시간 30분씩으로 이틀간 총 9시간이 주어지며 점수는 문제당 7점으로 모두 42점 만점이다. 점수에 따라 상위 1/12에게 금메달을, 1/6에게 은메달을, 1/4에게 동메달을 수여한다. 즉, 참가자의 반 정도가 메달을 받게 된다. 국가별 등수는 참가자 6명의 성적을 합산하여 매긴다.

대회진행에 대한 모든 결정사항은 각국 단장들의 모임인 Jury Meeting에서 결정한다. IMO 문제를 출제하는 절차는 다음과 같다: 각국에서 출제한 문제들을 대회 3개월 전까지 주최국 문제위원회에 제출하고, 위원회는 그 문제들을 잘 다듬고 선정하여 30개의 문제가 수록된 Shortlist라는 책자를 대회 전까지 만든다. 대회 기간 중에 Jury Meeting에서 최종 6개의 문제를 이 책자에서 고른다. 첫날 3문제는 쉬운 문제, 중간 난이도 문제, 어려운 문제로 이루어지고 둘쨋날도 동일하다.

2011년 암스테르담에서 열린 국제 수학 올림피아드 대회 <출처: 연합뉴스>

출제분야는 대수, 조합, 기하, 정수론이고 최근에는 조합에서 2문제, 기하에서 2문제가 출제되는 경우가 많다. 대수는 부등식, 함수방정식, 수열 등을 다루고 조합은 이산수학이라고도 불리는데 보통 어떤 경우의 수를 구하거나 그러한 경우가 가능한지 여부를 판단하는 문제가 나온다. 기하는 평면상에서의 고전적인 논증기하이고 정수론은 우리나라 교육과정에서는 잘 다루고 있지 않지만 정수들과 연관된 문제들이 나온다. 메달 컷라인은 매년 바뀌지만 보통 금메달 컷라인은 30점 근방에서 결정되고, 은메달은 보통 22점 근방에서 결정된다.

 

2000년 대전에서 개최된 국제 수학 올림피아드 행사 현장 <출처: 연합뉴스>

우리나라는 2000년에 대전에서 IMO를 개최한 바 있다. IMO를 주관하는 별도의 위원회나 기구는 없고 당해년도 주최국 조직위원회와 IMOAB(IMO Advisory Board)라는 위원회가 협력하여 대회를 개최한다. IMOAB에는 의장, 비서, 그리고 7명의 위원이 있고, 위원들은 개최국 조직위원장들 4명과 선출직 3명으로 이루어진다. 선출직 위원의 임기는 4년이고 올해 송용진 인하대 교수가 위원으로 당선되었다.

우리나라의 역대 성적

우리나라는 1988년 처음 참가한 이후 몇 년간은 중위귄의 성적을 유지하였다. 당시에 북한이나 일본에 비해 크게 뒤져서 언론에서 주요 이슈로 삼기도 하였으나, 1995년 캐나다 IMO부터 10위권 진입에 성공하고, 1999년부터는 본격적으로 최상위 그룹에 속하게 된다. 2000년 우리나라에서 열린 대회에서 4위를 한 이후 총 누적 성적을 보면, 1위 중국, 2위 미국, 3위 러시아, 그리고 그 다음 4위가 한국이다. 중국, 러시아, 미국은 3대 강국으로 우리나라는 이 나라들 중 어느 한 나라도 이기지 못 하다가 2012년에는 처음으로 우리나라가 1위를 하였고 2013년에는 중국에 이어 2위를 차지하였다.

2014년에는 7위로 다소 부진하였으나 우리나라가 세계 4대 강국에 속한다는 것은 의심할 여지가 없다. 최근 3년 간 연속으로 금메달을 수상한 김동률군(1997년생)은 우리나라 학생 중 역대 최고의 개인성적을 거두었을 뿐만 아니라 매 대회마다 거의 만점에 가까운 점수를 받았다.

2004년 국제 수학 올림피아드 한국 대표 <출처: 연합뉴스>

IMO 외에, 미국, 러시아, 일본, 타이완, 베트남, 캐나다, 브라질, 멕시코, 호주 등 중국을 제외한 세계적인 강국들이 거의 모두 참여하는 아시아태평양수학올림피아드(APMO)가 매년 3월 초에 열리는데, 이 대회는 각 나라에서 동시에 수 십 명씩 시험을 보고 각국의 상위 10명의 성적을 주관국에 보고하는 형식인데, 최근 몇 년간은 우리나라가 계속 2등과 큰 차이를 보이며 1등을 차지하고 있다. 이 대회는 매년 약 35개국 정도가 참가하고 있다.

1995년 IMO에서 만점을 받았던 신석우 교수는 지금 버클리 대학 교수로 재직 중인 세계적인 수학자로서, 2018년 ICM에서 필즈메달을 받을 수 있기를 기대한다. IMO 대표 출신 수학자들은 현재 약 20명 정도이며 그중 반 정도가 국내에서 활동하고 있다.

한국수학올림피아드(KMO)와 한국 대표 선발 방식

한국수학올림피아드(KMO)는 중등부와 고등부가 있고 대한수학회에서 주관하며 1차시험(고등부는 수행평가라 부름)은 5월 말, 2차시험은 11월 초, 최종시험은 3월 말에 열린다. 최종시험은 고등부만 있고, 별도의 시상을 하지는 않는다. IMO 한국 대표 선발 방식은 다소 복잡하다. KMO 2차시험, 겨울학교(1월 초) 모의고사 성적, APMO 성적, 최종시험 성적을 가중치를 곱해 합산한 후 12명 내외의 최종후보를 선정하고, 마지막으로 이 최종후보들을 대상으로 최종선발시험(일명 TST, Team Selection Test)을 치른 후 5개의 성적을 토대로 한국수학올림피아드위원회에서 4월 말 경에 대표 6명을 최종 선발한다.

IMO 참가 관련 예산과 KMO 일부 예산은 한국과학창의재단에서 지원한다. 최근에는 서울과학고가 과학영재학교로 전환되어 전국적인 학생선발권이 부여됨에 따라 IMO 대표학생 거의 전원이 서울과학영재학교 재학생으로 구성되고 있다.

대한수학회에서는 KMO 개최 외에도 1월 초에 2주에 걸쳐 겨울학교를 열고, 8월 초에도 2주간 여름학교를 연다. 봄학기, 가을학기에는 각각 7주간 계절학교 수료생들을 대상으로 통신강좌를 실시한다. IMO 대표학생들 대상으로는 4월 말부터 약 7주간 주말교육을 실시하고 6월부터 약 4주간 매일 집중교육을 실시한다.

IMO 출신 필즈상 수상자

4년에 한번씩 열리는 세계수학자대회(ICM)에서 Fields 메달을 수여한다. 1994년 ICM이후 Fields 메달 수상자 18명 중 10명이 국제수학올림피아드(IMO) 출신이다. 명단은 다음과 같다. (이중 IMO 출신은 굵은 글씨체)

1994년
Jean Bourgain, 프랑스고등과학원, 벨기에
Pierre-Louis Lions, Paris Dauphine대학, 프랑스, 73년 IMO 참가
Jean-Christophe Yoccoz, Paris-Sud 11 대학, 프랑스, 73년 IMO 금, 74년 만점
Efim Zelmanov, UC San Diego, 러시아

1998년
Richard Borcherds, Berkeley, Cambridge대학, 영국, 77년 IMO 은, 78년 금
Timothy Gowers, Cambridge대학, 영국, 81년 IMO 만점
Maxim Kontsevich, 프랑스고등과학원, 러시아
Curtis T. McMullen, Harvard 대학, 미국

2002년
Laurent Lafforgue, 프랑스고등과학원, 프랑스, 84년 IMO 은, 85년 은
(동생 Vincent은 90년, 91년 연속 만점, 2000년 유럽수학회상 수상)
Vladimir Voevodsky, Princeton대 고등과학원, 러시아

2006년
Andrei Okounkov, Princeton 대학, 러시아
Grigori Perelman, None (Saint Petersburg), 러시아, 82년(16세) 만점
Terence Tao, UCLA, 호주, 86년 IMO 동, 87년 은, 88년(13세, 역대최연소) 금
Wendelin Werner, 남파리 11 대학, 프랑스

2010년
Elon Lindenstrauss, Hebrew 대학 and Princeton 대학, 이스라엘, 88년 IMO동
Ngô Bảo Châu, 남파리 11 대학, 고등과학원, 베트남, 88년 IMO 만점, 89년 금
Stanislav Smirnov, Geneva 대학, 러시아, 86년 IMO 만점, 89년 만점
Cédric Villani, 프랑스고등사범학교, 푸앙카레연구소, 프랑스

*Fields 메달 외에도 세계적으로 권위 있는 유럽수학회상, 미국수학회상, Wolf상, Nevanlinna상, Knuth상, Clay상, Goedel상 등을 약 40명의 IMO 출신 수학자들이 수상하였다.