분수와 기하학의 발상지 이집트의 소(牛) 떼 수학 방법론

[dhleepaul]

고대 이집트 수학은 기원전 약 3000년부터 기원전 300년경까지 고대 이집트에서 발전되고 사용된 수학으로, 고대 이집트 왕국부터 헬레니즘 이집트 초기까지 이어졌습니다. 고대 이집트인들은 곱셈과 분수를 포함하는 수학적 문제를 세고 해결하기 위해 숫자 체계를 사용했습니다. 이집트 수학에 대한 증거는 파피루스에 기록된 거의 남아있는 자료에 국한되어 있다. 이 텍스트들로부터 고대 이집트인들은 건축공학에 유용한 3차원 형태의 표면적과 부피를 결정하는 기하학 개념과 거짓 위치 방법, 이차 방정식과 같은 대수학을 이해했다는 것이 알려져 있다.

개요

수학 사용에 대한 문서 증거는 적어도 기원전 3200년경으로 거슬러 올라가며, 아비도스의 U-j 무덤에서 발견된 상아 라벨이 있습니다. 이 라벨들은 부장품 태그로 사용된 것으로 보이며, 일부는 번호가 새겨져 있습니다. [1] 10 진수 체계의 추가 증거는 나르머 메이스헤드에서 찾아볼 수 있는데, 여기에는 40만 마리의 황소, 1,422,000마리의 염소, 12만 명의 포로가 바쳐진 제물이 묘사되어 있다. [2] 고고학적 증거는 고대 이집트의 계수 체계가 사하라 이남 아프리카에서 기원했음을 시사합니다. [3] 또한, 사하라 이남 아프리카 문화에서 널리 퍼지는 프랙탈 기하학 디자인은 이집트 건축과 우주론적 기호에서도 발견됩니다. [4] 상이집트 나브타 플라야에 위치한 거석 구조물들은 천문학, 시리우스의 헬리아칼 상승에 맞춘 달력 배열, 그리고 매년 나일강 홍수에 대한 연간 달력 보정을 지원했다. [5]

고왕국(기원전 약 2690–2180년)에서 수학이 사용되었다는 증거는 드물지만, 메이둠의 마스타바 근처 벽에 새겨진 마스타바 경사에 대한 지침을 통해 추론할 수 있습니다. [6] 도표의 선들은 1큐빗 간격으로 배치되어 있으며, 그 단위의 사용법을 보여줍니다. [1]

가장 이른 진정한 수학 문서는 12왕조(기원전 약 1990–1800년)로 거슬러 올라갑니다. 모스크바 수학 파피루스, 이집트 수학 가죽 주문서, 라훈 수학 파피루스는 훨씬 더 방대한 카훈 파피루스 컬렉션의 일부이며, 베를린 파피루스 6619도 모두 이 시기에 속한다. 린드 수학 파피루스는 제2중간기(기원전 약 1650년)에 속하며, 12왕조의 오래된 수학 텍스트를 기반으로 한 것으로 전해진다. [7]

모스크바 수학 파피루스와 린드 수학 파피루스는 이른바 수학 문제 텍스트입니다. 이들은 해결책이 있는 문제들의 집합으로 구성되어 있습니다. 이 텍스트들은 교사나 학생이 전형적인 수학 문제를 푸는 데 참여했을 수도 있습니다. [1]

고대 이집트 수학의 흥미로운 특징 중 하나는 단위 분수의 사용이다. [8] 이집트인들은 분수에 대해 다음과 같은 특별한 표기법을 사용했습니다. ⁠1/2⁠, ⁠1/3⁠ 그리고 ⁠2/3⁠ 그리고 일부 텍스트에서는 ⁠3/4⁠, 다른 분수들은 모두 다음과 같은 단위 분수로 표기되었다. ⁠1/n⁠ 또는 그러한 단위 분수의 합. 서기관들은 이 분수를 다루기 위해 표를 사용했습니다. 예를 들어, 이집트 수학 가죽 롤은 다른 단위 분수의 합으로 표현된 단위 분수의 표입니다. 린드 수학 파피루스와 다른 일부 텍스트에는 다음과 같은 내용이 포함되어 있습니다 ⁠2/n⁠ 테이블. 이 표들은 서기관들이 양식의 어떤 부분이든 다시 쓸 수 있게 해주었습니다 ⁠1/n⁠ 단위 분수의 합으로. [1]

신왕국 시기(기원전 약 1550–1070년) 동안 수학 문제는 문학 파피루스 아나스타시 1세에 언급되며, 람세스 3세 시대의 파피루스 윌부르에는 토지 측정이 기록되어 있다. 노동자 마을인 데이르 엘 메디나에서는 무덤 채석 중 기록적인 양의 흙이 제거된 여러 오스트라카가 발견되었습니다. [1][7]

출처

고대 이집트 수학에 대한 현재의 이해는 이용 가능한 자료가 부족해 제약을 받고 있습니다. 존재하는 자료에는 다음과 같은 문헌들이 있으며, 일반적으로 중왕국 시대와 제2중간기로 추정됩니다:

• 모스크바 수학 파피루스[9]
• 이집트 수학 가죽 롤[9]
• 라훈 수학 파피루스[9]
• 기원전 1800년경에 작성된 베를린 파피루스 6619
• 악크밈 나무 판[7]
• 이집트 초기 12왕조에 해당하는 라이스너 파피루스는 고대 도시 티니스의 나그 엘-데이르에서 발견되었다[9]
• 린드 수학 파피루스(RMP)는 제2중간기(기원전 약 1650년)에 제작되었으나, 저자 아흐메스는 이를 현재는 분실된 중왕국 파피루스의 사본으로 식별한다. RMP는 가장 큰 수학 교재입니다. [9]

신왕국 시대에는 계산과 관련된 수학 텍스트와 비문이 몇 개 남아 있습니다:

• 파피루스 아나스타시 I은 호리라는 서기관이 쓴 (허구의) 편지로 쓰여 아메네모페라는 서기관에게 보내진 문학 텍스트입니다. 편지의 한 부분은 여러 수학적 문제를 설명한다. [7]
• 오스트라콘 센무트 153, 히에라틱으로 쓰인 텍스트[7]
• 오스트라콘 토리노 57170, 히에라틱으로 쓰인 텍스트[7]
• 데이르 엘 메디나의 오스트라카에는 계산 자료가 포함되어 있습니다. 예를 들어 Ostracon IFAO 1206은 무덤 채석과 관련된 부피 계산을 보여줍니다. [7]

에티엔 질송에 따르면, 아브라함은 "이집트인들에게 산술과 천문학을 가르쳤다"고 한다. [10]

숫자

주요 문서: 이집트 숫자 및 이집트 분수

고대 이집트 텍스트는 상형문자나 상에라틱 문자로 작성될 수 있었습니다. 두 표현 모두 숫자 체계는 항상 10진법으로 주어졌다. 숫자 1은 단순한 획으로, 숫자 2는 두 획으로 표현되었습니다. 10, 100, 1000, 10,000, 100,000이라는 숫자는 각각 고유한 상형문자를 가지고 있었습니다. 숫자 10은 소를 위한 절뚝이고, 숫자 100은 감긴 밧줄로, 숫자 1000은 연꽃으로, 숫자 10,000은 손가락으로, 숫자 100,000은 개구리, 그리고 백만은 손을 들어 경배하는 신으로 나타났습니다. [9]

이집트 숫자의 상형문자[2]110100100010,000100,0001,000,000

기자 무덤에서 발견된 구왕국 공주 네페레티아벳(기원전 2590–2565년)의 석판 석판 석판, 석회암에 그려져 있으며 현재 루브르 박물관에 소장되어 있습니다

이집트 숫자는 선왕조 시대로 거슬러 올라갑니다. 아비도스의 상아 라벨에는 이 숫자 체계의 사용이 기록되어 있습니다. 또한 제공 장면에서 제공되는 아이템 수를 나타내는 숫자를 보는 것도 흔합니다. 왕의 딸 네페레티아벳은 1000마리의 황소, 빵, 맥주 등을 바치는 제물을 들고 있다.

이집트의 숫자 체계는 가산법이었습니다. 큰 숫자는 문자 모음으로 표현되었고, 값은 개별 숫자들을 단순히 합쳐서 얻었습니다.

이 장면은 소 떼 수를 묘사하고 있으며(이집트학자 렙시우스가 모방한 것이다). 중간 음역에는 왼쪽에 835마리의 뿔 달린 소가 있고, 그 바로 뒤에는 약 220마리의 동물(소?), 오른쪽에는 2,235마리의 염소가 있습니다. 하단 음역에는 왼쪽에 760마리의 당나귀, 오른쪽에 974마리의 염소가 있습니다.

이집트인들은 거의 전적으로 이 형태의 분수를 사용했다 ⁠1/n⁠. 주목할 만한 예외는 분수입니다 ⁠2/3⁠, 수학 교과서에서 자주 찾아볼 수 있습니다. 특별한 글리프가 사용된 경우는 매우 드물다 ⁠3/4⁠. 분수 ⁠1/2⁠ 리넨 조각이 두 동강 접힌 모습을 묘사한 문자로 표현되었습니다. 분수 ⁠2/3⁠ 입 모양의 두 개(크기가 다른 획)로 표현되었습니다. 나머지 분수들은 항상 숫자 위에 입을 겹쳐 표현했다. [9]

일부 분수에 대한 상형문자[9]⁠1/2⁠⁠1/3⁠⁠2/3⁠⁠1/4⁠⁠1/5⁠

표기법

계산 단계는 이집트어로 문장으로 작성되었다. (예: "10을 곱하면 100이 된다; 1000이 된다.")

린드 파피루스 문제 28에서 상형문자

(D54, D55), 발을 뜻하는 기호들은 '더하다'와 '빼다'를 의미했다. 이것들은 아마도 약어였을 것입니다.

"들어가다"와 "나가다"라는 뜻이다. [11][12]

곱셈과 나눗셈

주요 문서: 고대 이집트 곱셈

이집트식 곱셈은 곱할 숫자를 반복적으로 두 배로 곱하고(곱셈) 어떤 곱셈을 더할지 선택하는 방식으로, 이는 본질적으로 이진 산술의 한 형태로, 이 방법은 고왕국 시대와 연결됩니다. 곱셈기는 그림 1 옆에 적혀 있었고; 곱셈을 자기 자신에 더해 결과가 숫자 2 옆에 적혔습니다. 이 과정은 배가 배수율의 절반 이상이 될 때까지 계속되었습니다. 그 후 곱셈에서 두 배가 된 숫자(1, 2 등)를 반복해서 빼서 기존 계산 결과 중 어떤 결과를 합쳐 답을 만들 것인지 선택한다. [2]

더 큰 숫자를 위한 단축키로서, 곱셈은 즉시 10, 100, 1000, 10000 등으로 곱할 수도 있습니다.

예를 들어, Rhind Papyrus(RMP)의 문제 69는 실제 RMP의 상형문자 대신에 상형문자 기호가 사용된 것처럼 다음과 같은 그림을 제공합니다. [9]

곱셈: 80 × 14

이집트 계산			현대 계산법
결과	배수		결과	배수
			80	1
			800	10
			160	2
			320	4
			1120	14

이 

 결과는 최종 답을 산출하기 위해 합산되는 중간 결과를 나타냅니다.

위 표는 1120을 80으로 나누는 데에도 사용할 수 있습니다. 이 문제를 해결하려면 80의 곱셈을 합하여 1120이 되는 몫(80)을 구합니다. 이 예시에서는 몫 10 + 4 = 14가 됩니다. [9] 나눗셈 알고리즘의 더 복잡한 예는 문제 66에서 제시된다. 총 3,200 ro의 지방이 365일 동안 고르게 분포될 예정입니다.

구분:3200 ÷ 365

1	365
2	730
4	1460
8	2920
⁠2/3⁠	243+1/3⁠
⁠1/10⁠	36+1/2⁠
⁠1/2190⁠	⁠1/6⁠

먼저 스크라이브는 365를 반복해서 두 배로 하여 365의 최대 배수, 즉 3200보다 작은 값에 도달할 때까지 반복합니다. 이 경우 8 곱하기 365는 2920이며, 365의 배수를 추가하면 분명히 3200보다 큰 값이 됩니다. 다음으로 다음과 같이 언급됩니다 ⁠2/3⁠ + ⁠1/10⁠ + ⁠1/2190⁠곱하기 365는 우리가 필요한 280의 값을 얻습니다. 따라서 3200을 365로 나누면 반드시 8+가 되어야 합니다.⁠2/3⁠ + ⁠1/10⁠ + ⁠1/2190⁠. [9]

대수학

주요 문서: 이집트 대수

이집트 대수 문제는 린드 수학 파피루스와 모스크바 수학 파피루스 및 여러 다른 자료에 등장한다. [9]

상형문자속의 아하

시대: 신왕국
(기원전 1550–1069)

아하 문제는 미지수(아하)의 합과 그 합이 주어지면 아하라고 불리는 문제를 포함한다. 린드 수학 파피루스에도 이와 같은 문제 네 가지 유형이 포함되어 있습니다. 모스크바 파피루스의 1, 19, 25문제는 아하 문제입니다. 예를 들어, 문제 19는 취한 양을 계산하라고 요구합니다 1+1/2⁠ 4에 더하면 10이 됩니다. [9] 즉, 현대 수학 표기법에서는 다음과 같은 선형 방정식을 풀도록 요구받습니다:

32×x+4=10. 

이러한 아하 문제를 푸는 데는 '잘못된 위치 방법(method of false position)'이라는 기법이 필요합니다. 이 기법은 거짓 가정 방법(Method of false Assumption)이라고도 불립니다. 서기는 문제에 답의 초기 추측을 넣었습니다. 거짓 가정을 사용한 해법은 실제 답에 비례하며, 스크라이브는 이 비율을 이용해 답을 찾는다. [9]

수학 저작들은 분수 문제를 정수로 바꾸기 위해 (최소) 공통 배수를 사용했다는 것을 보여줍니다. 이 관련해 분수 옆에는 빨간색 보조 숫자가 적혀 있습니다. [9]

호루스 눈 분수의 사용은 기하학적 수열에 대한 (기초적인) 지식을 보여줍니다. 산술급수에 대한 지식도 수학적 자료에서 드러납니다. [9]

이차 방정식

고대 이집트인들은 2차(이차) 방정식을 개발하고 푼 최초의 문명이었습니다. 이 정보는 베를린 파피루스 조각에서 찾을 수 있다. 또한 이집트인들은 린드 수학 파피루스에 수록된 1차 대수 방정식을 풀었습니다. [13]

기하학

주요 문서: 이집트 기하학

모스크바 수학 파피루스에서 문제 14의 이미지. 이 문제에는 절단된 피라미드의 치수를 나타내는 도표가 포함되어 있습니다.

기하학과 관련된 고대 이집트의 문제는 제한적입니다. 기하학적 문제는 모스크바 수학 파피루스(MMP)와 린드 수학 파피루스(RMP) 모두에 등장합니다. 이 예시들은 고대 이집트인들이 여러 기하학적 도형의 면적과 원기둥 및 피라미드의 부피를 계산하는 방법을 알고 있었음을 보여준다.

• 면적:
  • 삼각형: 스크라이브는 삼각형의 면적(RMP 및 MMP)을 계산하는 문제를 기록합니다. [9]
  • 직사각형: 직사각형 토지의 면적에 관한 문제는 RMP와 MMP에서 나타납니다. [9] 런던의 라훈 수학 파피루스에도 유사한 문제가 등장한다. [14][15]
  • 서클: RMP의 문제 48은 원(팔각형으로 근사)과 그 둘러싸는 정사각형의 면적을 비교합니다. 이 문제의 결과는 50번 문제에서 사용되며, 스크라이브가 직경 9 khet의 둥근 영역을 구합니다. [9]
  • 반구: MMP의 문제 10은 반구의 면적을 찾습니다. [9]
• 권:
  • 원통형(원통형): 원통형 곡물의 부피를 계산하는 여러 문제(RMP 41–43)가 있으며, 문제 60 RMP는 피라미드가 아닌 기둥이나 원뿔에 관한 것으로 보입니다. 이 강은 비교적 작고 가파르며, 경사의 역경(seked)은 네 개의 야자수(키빗당 사면)입니다. [9] 라훈 수학 파피루스 IV.3 절에서는 원형 바닥의 곡물 창고의 부피가 RMP 43과 동일한 절차를 통해 측정된다.
  • 직사각형(직육면체): 모스크바 수학 파피루스(문제 14)와 린드 수학 파피루스(번호 44, 45, 46)의 여러 문제는 직사각형 곡물 창고의 부피를 계산합니다. [14]
  • 절단 피라미드(프러스텀) 프루스텀: 절단된 피라미드의 부피는 MMP 14로 계산됩니다. [9]

더 세퀘드

RMP의 문제 56은 기하학적 유사성 개념에 대한 이해를 보여줍니다. 이 문제는 런/라이즈 비율, 즉 시퀀스(seqed)에 대해 다룹니다. 이런 공식은 피라미드를 건설하는 데 필요할 것입니다. 다음 문제(문제 57)에서는 피라미드의 높이가 밑면 길이와 seked(이집트어로 경사의 역수)에서 계산되며, 문제 58은 밑면의 길이와 높이를 나타내고 이를 이용해 seqed를 계산합니다. 문제 59에서 1부는 seqed를 계산하고, 2부는 답을 확인하는 계산일 수 있습니다: 밑면이 12 큐빗이고 5개의 손바닥 1손가락으로 seqed를 만든다면; 그 고도는 얼마일까요?[9]

참고 문헌

• 빨간 보조 번호
• 수학의 역사
  • 기하학의 역사
• 이집트 상형문자와 고대 이집트어의 음역
• 고대 이집트의 측정 및 기술 단위
• 수학과 건축

참고문헌

1. 임하우젠, 애넷 (2006). "고대 이집트 수학: 옛 자료에 대한 새로운 관점". 수학 인텔리전서. 28 (1): 19–27. DOI:10.1007/BF02986998. S2CID 122060653.
2.  버튼, 데이비드 (2005). 수학의 역사: 입문. 맥그로우–힐. ISBN 978-0-07-305189-5.
3.  에글래시, 론 (1999). 아프리카 프랙탈: 현대 컴퓨팅과 토착 디자인. 뉴브런즈윅, 뉴저지: 러트거스 대학교 출판부. 89, 141쪽. ISBN 0813526140.
4.  에글래시, R. (1995). "아프리카 물질문화에서의 프랙탈 기하학". 대칭: 문화와 과학. 6–1: 174–177.
5.  에렛, 크리스토퍼 (2023년 6월 20일). 고대 아프리카: 전 세계사, 기원후 300년까지. 프린스턴 대학교 출판부. 107–110쪽. ISBN 978-0-691-24410-5.
6.  로시, 코리나 (2007). 고대 이집트의 건축과 수학. 케임브리지 대학교 출판부. ISBN 978-0-521-69053-9.
7.  카츠 V, 임하센 A, 롭슨 E, 다우벤 JW, 플로프커 K, 버그그렌 JL (2007). 『이집트, 메소포타미아, 중국, 인도, 이슬람의 수학: 자료집』. 프린스턴 대학교 출판부. ISBN 978-0-691-11485-9.
8.  레이머, 데이비드 (2014-05-11). 이집트인처럼 숫자를 세다: 고대 수학 실습 입문. 프린스턴 대학교 출판부. ISBN 9781400851416.
9.  클래젯, 마샬 『고대 이집트 과학, 자료집』. 제3권: 고대 이집트 수학 (미국 철학회 회고록) 미국 철학회 1999년 ISBN 978-0-87169-232-0.
10.  길슨, 에티엔 (2019년 2월 15일). "스코투스 에리우게나에서 성 베르나르드까지". 중세 기독교 철학사. 워싱턴 DC: 가톨릭 대학교 출판부. 265쪽. DOI:10.2307/J.cTVDF0JNN. ISBN 9780813231952. JSTOR j.ctvdf0jnn. OCLC 1080547285. S2CID 170577624.
11.  체이스, 아놀드 버퍼움; 불, 러들로우; 매닝, 헨리 파커 (1929). 린드 수학 파피루스. 2권. 미국 수학회.
12.  카조리, 플로리안 (1993) [1929]. 수학적 표기법의 역사. 도버 출판사. 229–230쪽. ISBN 0-486-67766-4.
13.  무어, 데보라 렐라 (1994). 수학의 아프리카 뿌리 (2판). 디트로이트, 미시간: 전문 교육 서비스. ISBN 1884123007.
14.  R.C. 아치볼드 그리스 이전의 수학 과학, 신시리즈, 제73권, 1831호, (1930년 1월 31일), 109–121쪽
15.  아네트 임하우젠 디지털레집트 웹사이트: 라훈 파피루스 IV.3

추가 읽을거리

• 보이어, 칼 B. 1968. 수학사. 존 와일리. 프린스턴 대학교 출판부 재출판 (1985).
• 체이스, 아놀드 버퍼럼. 1927–1929. 린드 수학 파피루스: 무료 번역 및 주석, 선별된 사진, 번역, 음역, 직역. 2권. 수학 교육 고전학 8. 오벌린: 미국 수학회. (레스턴: 전국 수학 교사 협의회, 1979년 재출간). ISBN 0-87353-133-7
• 클래젯, 마샬. 1999년. 고대 이집트 과학: 자료집. 제3권: 고대 이집트 수학. 미국 철학회 회고록 232권. 필라델피아: 미국 철학회. ISBN 0-87169-232-5
• 쿠슈드, 실비아. 1993. 이집트 수학: 이집트 파라오니크의 수학 개념에 대한 연구. 파리: 레오파르 도르 출판소
• 다레시, G. "오스트라카", 카이로 고대 유물 박물관 에집트엔 목록 일반 오스트라카 히에라크스, 1901권, 번호 25001-25385.
• 길링스, 리처드 J. 1972. 파라오 시대의 수학. MIT 출판사. (도버 재출판 제공).
• 임하우젠, 아네트. 2003. "이집트 알고리즘". 비스바덴: 하라소비츠
• 존슨, G., 스리라만, B., 솔츠스타인. 2012년. "계획은 어디에 있지? 초기 이집트 수학에 대한 사회비판적·건축적 조사"| 편집자 바라트 스리라만. 수학과 수학 교육의 역사에서 갈림길. 몬태나 수학 애호가 수학 교육 단행본 12권, 정보 시대 출판사, 샬럿, 노스캐롤라이나
• 노이게바우어, 오토 (1969). 고대의 정확한 과학 (2판). 도버 출판사. ISBN 978-0-486-22332-2.
• 피트, 토마스 에릭. 1923년. 『린드 수학 파피루스』, 대영박물관 10057 및 10058. 런던: 리버풀 대학교 출판부 및 호더 & 스토튼 리미티드
• 데이비드 레이머 (2014). 이집트인처럼 숫자를 세다: 고대 수학 실습 입문. 프린스턴, 뉴저지: 프린스턴 대학교 출판부. ISBN 978-0-691-16012-2.
• 로빈스, R. 게이. 1995년. "파라오 시대 이집트의 수학, 천문학, 달력". 잭 M. 새슨, 존 R. 베인스, 게리 벡먼, 카렌 S. 루빈슨 편집의 『고대 근동 문명』에 수록되어 있습니다. 4권 중 3권. 뉴욕: 찰스 슈리브너 선즈. (피바디: 헨드릭슨 출판사, 2000년 재출간). 1799–1813
• 로빈스, R. 게이, 그리고 찰스 C. D. 슈트. 1987년. 린드 수학 파피루스: 고대 이집트 텍스트. 런던: 대영박물관 출판사. ISBN 0-7141-0944-4
• 조지 사튼. 1927년. 과학사 입문, 제1권. 윌리언스 앤 윌리엄스.
• 스트러드윅, 나이절 G., 로널드 J. 레프로혼. 2005년. 피라미드 시대의 텍스트. 브릴 학술 출판사. ISBN 90-04-13048-9.
• 스트루베, 바실리이 바실레비치, 보리스 알렉산드로비치 투라예프. 1930년. 모스크우 국립 예술 박물관의 수학 파피루스. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; A구역: 퀠렌 1. 베를린: J. 스프링어
• 반 더 바에르덴, B.L. 1961. 과학의 각성. 옥스퍼드 대학교 출판부.
• 비마잘로바, 하나. 2002년. 카이로의 목판...., Archiv Orientální, 제1권, 27–42쪽.
• 아르민 위르싱. 2009년. 『기자의 피라미덴 – 슈타인 게바우트의 수학』. (2판) 주문형 도서. ISBN 978-3-8370-2355-8.