<P>안녕하세요</P>
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<P>물리학과학생입니다.</P>
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<P>군대다녀와서 미적분학을 다시 보고 있는데</P>
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<P>엡실론-델타가 도저히 납득이 안되네요.</P>
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<P>어떤면에서 납득이 안되냐면...</P>
<P> </P>
<P>예를들어.. 예제를 옮겨볼게요</P>
<P> </P>
<P> lim(4x-5)= 7 임을 증명하여라.</P>
<P>x→3</P>
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<P>풀이</P>
<P>0<│x-3│<δ 일 때마다 │(4x-5)-7│<ε </P>
<P> </P>
<P>중간중간 계산과정 생략하고 결과가 </P>
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<P>δ=ε/4 로 선택할 수 있다.</P>
<P> </P>
<P>그다음 단계가 </P>
<P> </P>
<P>위에서 구한 δ=ε/4 를 </P>
<P>│(4x-5)-7│=ε</P>
<P>에다가 대입하여</P>
<P>증명하는데</P>
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<P> </P>
<P>도저히 납득이 안되네요 이 풀이방법......뒤의 다른 문제들도 결국 이런 방식을 취하고있는데</P>
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<P>계산해서 구한 답을 다시 대입을 하면 당연히 성립하지 성립 안할 이유가 없지 않습니까?</P>
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<P>이게 증명방법이 된다는게 받아들여지질 않네요;</P>
<P> </P>
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<P>왜 저렇게 푸는거죠? ㅠ</P>
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간단한 예로 이런건데, x라는 값이 3이라는 값으로 '가까이' 갈 때 4x-5 의 값은 7에 '가까이' 간다는 말을 하려면, 그런데 어떤 사람도 예외없이 '가까이'라는 표현에 충분히 공감할 수 있도록 하려면 각각의 '가까이'를 명확하게 나타내줘야 합니다. 그리고 이 가까이가 얼마나 가까운가를 이야기 해주는게 바로 극한의 ""정의"" 인 엡실론-델타 논법입니다.
다시한번 생각해보니 제가 받아들이지 못하는건 엡실론델타라기보다는 왜 엡실론-델타문제를 저위와같이 푸는가.. 쪽이네요. 어차피 맞을 수 밖에 없는 방법으로 증명을 하다니.....그게 증명방법일까요? 적당한 엡실론 값의 추정을 다른 방식으로 하던지 추정된 엡실론 값을 가지고 다른 방법으로 증명을 하던지 했으면 좋겠는데 똑같은 계산 두번 해놓고 증명했다!..니.. 이렇게 생각하는건 저뿐인가요 ㅎㅎ;;
입실론과 델타를 정의하는 데 있어서 정확한 뜻을 간과한 것입니다. 입실론은 임의의 값이고 델타는 임의의 입실론에 따라서 어떤 특정한 값으로 존재되어지는 값입니다. 다시 말해서 어떠한 입실론을 잡던지 어떤 특정한 델타값이 존재함을 보임으로서 극한값이 있다라는것을 보이는것이 입실론 델타 논법입니다. 저문에서 중간과정을 생략하셨는데 중간과정이 저문제의 증명과정의 전부입니다. │(4x-5)-7│=ε 는 다시쓰면 |4x-12|=|4(x-3)|=4|x-3|<ε 이렇게 됩니다. 그럼 어떠한 입실론값이 주어지든지 특정한 델타값이 주어지면 극한이 존재하는 것이므로 델타값을 만약 δ=ε/4이렇게 주어졌다고 가정하면 위의 식이 만족하죠??
그러므로 입실론이 어떤 값이 되든지 어떤 특정한 델타값이 존재하므로 극한값이 존재한다고 말할수 있습니다.여기서 입실론이 어떤값이 되든지 만족해야 된다라는 의미는 입실론은 임의의 양수입니다. 그러므로 입실론을우리가 상상하는 그이상으로 잡게 잡아도 만족해야 됩니다. 그러므로 결국엔 4x-5와 7이 같아야만 모든 임의의 양수에 대해서 성립할수가 있습니다.
첫댓글 시간이 약이죠... 6개월 정도 지나면 이해가 될겁니다.... ^^;;
약대신 식이요법(?)을 써보면 ㅋㅋ엡실론-델타 방법을 엡실론이니 델타니 하는거 말고 그냥 순수하게 일상의 용어로 옮겨오는 작업을 한 번 해보시기 바랍니다. 사실, 이 작업만 끝나면 엡실론 델타의 개념은 완벽하게 이해한거라고 봐도 무방한 듯 합니다.
간단한 예로 이런건데, x라는 값이 3이라는 값으로 '가까이' 갈 때 4x-5 의 값은 7에 '가까이' 간다는 말을 하려면, 그런데 어떤 사람도 예외없이 '가까이'라는 표현에 충분히 공감할 수 있도록 하려면 각각의 '가까이'를 명확하게 나타내줘야 합니다. 그리고 이 가까이가 얼마나 가까운가를 이야기 해주는게 바로 극한의 ""정의"" 인 엡실론-델타 논법입니다.
그리고 모두가 알다시피 모든 증명은 정의와 공리에서 출발해서 정리라는 산봉우리를 논리라는 케이블카를 타고 올라가면서 진행하는거죠. 물론.. 엡실론 델타 방법의 기초 문제들은 정의와 공리에서 바로 출발하는 -_ -케이스지만..
저는 수학 해석학시간에 배웠는데 적당한 엡실론 값을 정의하는게 쉬운건 쉽지만 어려운건 무지 어려워서 그냥 외웠다는...
다시한번 생각해보니 제가 받아들이지 못하는건 엡실론델타라기보다는 왜 엡실론-델타문제를 저위와같이 푸는가.. 쪽이네요. 어차피 맞을 수 밖에 없는 방법으로 증명을 하다니.....그게 증명방법일까요? 적당한 엡실론 값의 추정을 다른 방식으로 하던지 추정된 엡실론 값을 가지고 다른 방법으로 증명을 하던지 했으면 좋겠는데 똑같은 계산 두번 해놓고 증명했다!..니..
이렇게 생각하는건 저뿐인가요 ㅎㅎ;;
그나저나 이런문제를 물어볼 수 있는 곳을 찾은 것 같아서 굉장히 좋네요^^ 아직도 자연과학분야는 지식인에 묻기 좀 그렇잖아요 ㅋ
입실론과 델타를 정의하는 데 있어서 정확한 뜻을 간과한 것입니다. 입실론은 임의의 값이고 델타는 임의의 입실론에 따라서 어떤 특정한 값으로 존재되어지는 값입니다. 다시 말해서 어떠한 입실론을 잡던지 어떤 특정한 델타값이 존재함을 보임으로서 극한값이 있다라는것을 보이는것이 입실론 델타 논법입니다. 저문에서 중간과정을 생략하셨는데 중간과정이 저문제의 증명과정의 전부입니다.
│(4x-5)-7│=ε 는 다시쓰면 |4x-12|=|4(x-3)|=4|x-3|<ε 이렇게 됩니다. 그럼 어떠한 입실론값이 주어지든지 특정한
델타값이 주어지면 극한이 존재하는 것이므로 델타값을 만약
δ=ε/4이렇게 주어졌다고 가정하면 위의 식이 만족하죠??
그러므로 입실론이 어떤 값이 되든지 어떤 특정한 델타값이 존재하므로 극한값이 존재한다고 말할수 있습니다.여기서 입실론이 어떤값이 되든지 만족해야 된다라는 의미는 입실론은 임의의 양수입니다. 그러므로 입실론을우리가 상상하는 그이상으로 잡게 잡아도 만족해야 됩니다. 그러므로 결국엔 4x-5와 7이 같아야만 모든 임의의 양수에 대해서 성립할수가 있습니다.