대수방정식 의 역사

[김동석]

대수방정식 의 역사

  중국 고래의 수학책인 "구장산술(九章算術)" 중에서 방정(方程)이란 용어가 나타난다. 구장산술은 그 이름과 같이 아홉개의 장으로 구성되어 있고, 그 제 8장 방정(方程)에는 오늘의 미지수가 3개인 연립일차방정식과 같은 것을 다루고 있으며, 오늘과 거의 같은 해법으로 풀고 있다.
수학사에 의하면 기원전 6 세기경의 메소포타미아 지방에 살던 바빌로니아 사람의 문화에서 볼 수 있었던 수학은 일차, 이차 및 삼차방정식에 해당하는 문제를 풀고 있었다. 또 고대 이집트 사람도 일차, 이차방정식에 상당하는 문제를 풀었을 것으로 추측된다. 더욱 알렉산드리아 시대의 디오판토스(Diophantod;246?-330?, 그리스)는 이미 이차방정식의 해법을 알고 있었다고 알려져 있다.
9세기 전반 알콰리즈미(Alkhwarizmi;780-850, 아라비아)의 대수학이 저서 "al-gebr w'almuqubala"에는 일차, 이차방정식의 풀이법이 나타나 있다. 여기서는 오늘날의 '이항'을 al-gebr, '동류항을 정리한다'를 almuqubala라고 불렀다. 그래서 대수학을 뜻하는 algebra는 al-gebr에서 유해하고, 계산법을 뜻하는 algorithm은 Alkhwarizmi에서 유래되었다고 보고 있다. 그러나 디오판토스, 알콰리즈미에서는 음수의 개념이 없었으므로 음의 근은 아예 존재하지 않았다. 음의 근의 존재를 명확히 의식한 최초의 수학자는 16세기 카르다노(Cardano, G.;1501-1576, 이탈리아)라고 한다. 이 때까지는 이차, 삼차방정식의 계수는 모두 양의 근만을 다루었다. 즉, 카르다노 이전까지는 양의 근만을 근으로 인정하였을 뿐이다.
구장산술에서 볼 수 있는 것처럼 중국에서는 일찍이 음수의 개념을 가지고 있었다. 인도에서는 6세기경에 양수, 음수의 개념을 가지고 있었다. S'ridhara(991-?,인도)는 디오판토스가 몇 가지의 경우로 나누어 푼 이차방정식을 1025년에 근의 공식을 얻어 통일적으로 푸는 방법을 밝혔다. 또한 바스카라(Bhaskara, A.;1114-1185,인도)는 1150년에 이차방정식에 두 근이 있고, 음의 근이 존재함을 인식한 최초의 수학자이었다. 또, 바스카라는 삼차, 사차방정식도 다루었다. 이를테면, 의 한 근은 라는 것과 같이 특수한 근을 구하였다.
간단한 모양의 삼차방정식은 메나이크모스(Menaechmos;375-325 B.C., 그리스)가 정육면체의 문제에 관련해서, 아르키메데스(Archimedes;287?-212 B.C.,그리스)가 구의 부피의 문제에 관련해서 다루었다. 또 카얌(Khayyam, Omar; 1040-1123, 아라비아)은 삼차방정식을 원뿔곡선의 교점을 작도하여 풀었다. 그는 아라비아의 대표적인 시인이기도 하였다.
삼차방정식의 해법에 처음으로 성공한 사람은 페로(Ferro; 1465?-1565, 이탈리아)라고 한다. 그는 과 같은 모양의 삼차방정식의 해법을 발견하였다고 한다. 오늘날 카르다노의 방법이라고 알려지고 있는 삼차방정식의 일반적인 해법이 발견된 후에 사차방정식의 해법이 카르다노의 제자인 페라리(Ferrari, L.;1522-1565, 이탈리아)에 의하여 발견되었다. 카르다노는 1545년에 삼차, 사차방정식의 해법을 그의 저서 'Ars Magna'에 발표하였다.
삼차, 사차방정식의 해법이 발견된 후에 약 300년간 많은 수학자들이 5차 이상의 방정식의 근의 공식을 발견하려고 고심하였다. 그러나 해를 거듭해도 해법이 발견되지 않으므로 계수에 가감승제와 근호의 유한회의 조작을 반복하는 대수적 해법은 불가능하다는 증명을 시도하게 되었다. 루피니(Ruffini, P.;1765-1822, 이탈리아)는 5차 이상의 방정식은 대수적으로 풀 수 없다는 증명을 발표하였으나, 그 증명에는 중대한 결함이 있음이 밝혀졌다. 그러나 아벨(Abel, N.H.;1802-1829, 노르웨이)은 1826년에 "5차 이상의 방정식은 일반적으로 대수적으로 풀 수 없다."라는 정리를 증명하였다. 그 후 갈루아(Galois, E.;1811-1832,프랑스)에 의해서 대수방정식이 대수적으로 풀 수 있는지 어떤지는 근에 대한 치환군(아벨군)의 군론적 구조에 따라 명백해진다는 것이 밝혀졌다. 이와 같은 독창적인 갈루아의 생각은 오늘의 갈루아 이론의 바탕이 되었고, 현대 수학에 막대한 영향을 주었다. 5차 이상의 대수방정식이라도 특별한 것은 물론 대수적으로 풀 수 있다. 또 타원함수와 같은 알맞은 함수를 활용하면 5차방정식의 근의 공식을 만들 수도 있다.