가우스평균값 관련 질문

[화니성]

안녕하세요

교재 정리 2.34는 단순연결영역 D에서 u가 조화적이면 켤레조화함수가 존재한다인데, 

단순연결영역이 아니면 u가 조화함수라해서 꼭 켤레조화함수가 존재하는 것은 아닌건가요?

그렇다면 켤레조화함수가 존재하는지는 하나하나 찾아보는 것 밖에는 없는걸까요?

그리고 문제 풀이과정에서 가우스평균값정리를 활용하는 문제인 것 같은데, z=0에서는 해석적이지 않아서 영역 내에 해석적이지 않은 점이 있으니까 유수정리로 풀어야하지 않을까 싶은데 제가 제대로 이해한 게 맞는건지 여쭙고 싶습니다

문제는 댓글에 달아두겠습니다

[수정과]

① 네 맞습니다.
② 주어진 조화함수 u에 코시-리만 방정식을 이용하여 켤레조화함수가 될 수 있는 후보를 찾은 후 주어진 영역에서 잘 정의되는 함수인지 확인해보면 됩니다.
③ 네. 가우스평균값 정리를 직접 적용할 수 없으므로 위와 같은 방식으로 1/z=f(z)=u+iv에 대해 유수정리를 이용하여 문제를 접근하면 됩니다.

[화니성]

감사합니다 !