Symmetry는 물리에서 많이 사용하는 단어인것 같습니다. 점전하를 생각해보면 전기장은 파이,쎄타에 대해서 Symmetry합니다. 이는 파이와 쎄타는 전기장의 기술에 참여하지 않음을 의미합니다.
Symmetry를 일반적으로 확장을 하면 어떤 변수에 대해서 다른 변수가 Symmetry하다는 것은 그 변수들이 서로에게 영향을 주지 않음을 의미합니다. 이것은 'commute'와 의미가 통합니다.
주기성 역시 그러한 특성이 있습니다.
single crystal을 생각해보면 주기적으로 포텐셜이 주기적으로 반복됩니다. 그러면 어떤 위치(x)에 대하여 에너지는 주기적인 성질을 갖게되고 Symmetry한 성질을 같게 됩니다.
헤밀토니안은 x에 관한 함수로 되어있으므로 결정의 주기성에 관계된 오퍼레이터에 대해서 commute할 것입니다.
보통 오퍼레이터를 사용할때에 서로 Symmetry한 것을 사용합니다. 그래야 오터레이터로 부터 정보를 얻을수 있으니까요. 서로 mixed되어있으면 얻을수 있는 정보가 있나요?
그런데 eigenfunction들은 서로 orthogonal합니다.
하나의 함수에 대해 다른 함수들은 독립적이죠. 이렇게 생각하면 eigenfunction 도 Symmetry가 있는 건가요?혹시 eigenfunction이 되려면 기본적으로 Symmetry해야하는거 아닌가요?