4차원 도형?

[사랑초]

지난 모임에서 4차원도형이야기를 나누었지요

관련 자료 올립니다,

우리에게 널리 알려져 있는 화가 가운데 많은 이들이 수학을 활용하여 자신의 예술세계를 보여주고 있다. 특히 수학에서 말하는 차원을 활용하는 경우가 많이 있다. 수학의 차원을 활용하여 자신의 예술세계를 보여준 대표적인 화가로는 마르셀 뒤샹과 살바도르 달리 그리고 맥스 웨버 같은 현대 작가들을 들 수 있다.

화가의 그림에서 표현된 4차원의 세계

뒤샹의 1912년 작품인 [계단을 내려오는 누드]는 마치 연속동작과 같은 느낌을 갖도록 누드에 잉크를 채워서 계단 아래로 연속적으로 끌어내리기라도 한 것처럼 전체 움직임을 한눈에 볼 수 있다. 맥스 웨버는 1913년에 완성한 작품인 [4차원의 내부]에 우리가 알 수 없는 이상한 세계를 그려 넣었다. 또 살바도르 달리는 1954년에 [십자가에 못 박힌 예수-초입방체 Crucifixión / Corpus Hypercubus] 라는 작품에 4차원 입체도형의 전개도를 그려 넣었다. 그러나 수학을 전공하지 않은 사람은 그의 작품 속에서 4차원의 입체도형을 찾을 수 없을 것이다. 단지 십자가 모양으로 쌓여있는 8개의 정육면체에 못 박힌 예수님을 볼 수 있을 것이다. 이 세 화가의 작품 가운데 달리의 작품은 추상적이지 않은 것처럼 보이기 때문에 쉽게 이해할 수 있을 것 같다. 과연 어디에 4차원이 숨어 있을까?

달리의 그림에 나오는 정육면체 8개를 십자가 모양으로 쌓은 물체

0차원부터 시작하여 4차원으로 가보자

우선 0차원부터 시작하여 차례로 4차원까지 엄격한 학문적인 정의보다는 직관적인 생각으로 차원을 확장해 보자.  수학에서 0차원은 점이다. 즉, 움직일 수 있는 방향이 한 곳도 없고 단지 위치만 차지하고 있다. 이제 이 점에 잉크를 채워서 한 방향으로 일정하게 늘리면 선분이 된다. 즉, 1차원 도형인 선분을 얻을 수 있다. 마찬가지 방법으로 선분에 잉크를 채우고 수직 방향으로 일정한 길이로 끌면 다음 그림과 같이 2차원 도형인 정사각형이 된다. 다시 2차원 정사각형에 잉크를 채우고 수직 방향으로 일정한 길이를 끌면 3차원 도형인 정육면체가 된다.

 

이쯤 되면 3차원 정육면체에 잉크를 채워 수직으로 끌면 4차원 입체도형이 될 것이라는 것을 상상할 수 있다. 그리고 우리는 그렇게 해서 얻은 4차원 입체도형을 ‘초입방체(tesseract)’라고 한다. 

 

4차원의 도형을 보다 정확하게 그릴 방법은 없을까? 

앞면과 뒷면만 정사각형이고 나머지는 평행사변형이므로 직각이 아닌 각이 있다.

그런데 과연 위에 그림이 4차원의 도형을 정확하게 그린 것일까? 사실 3차원 입체도형인 정육면체의 그림조차도 정확하지 않다. 왜냐하면 3차원 공간에 있는 도형을 2차원 평면에 그리려면 한 차원을 낮춰야 하기 때문이다. 그래서 정육면체는 실제와 다르게 앞면과 뒷면만이 정사각형이고 나머지는 정사각형이 아닌 평행사변형으로 그려서 시각화 한 것이다. 즉, 실제 정육면체는 각 면에 있는 모든 각이 직각이어야 하지만 왼쪽 그림과 같이 두 면을 제외하고 나머지 4개의 면에는 직각이 없다. 2차원 평면에 3차원을 그리려면 그림을 약간 왜곡하여 한 차원만 확장하면 되지만 2차원 평면에 4차원을 그리려면 두 개의 차원을 확장해야 한다. 따라서 우리가 눈으로 보는 것에는 한계가 있을 수밖에 없다. 하지만 4차원 입체도형을 좀 더 자세히 볼 수 있는 다른 방법이 있다. 이 경우도 우선 3차원 입체도형에서 시작하자.

높은 차원의 도형을 보다 정확히 표현하는 방법, 전개도

3차원인 정육면체를 평면에 정확하게 표현하는 방법 가운데 하나는 전개도를 그리는 것이다. 다음 그림과 같이 정육면체의 모서리를 분해하여 펼쳐놓으면 2차원 평면이 되며, 전개도에는 모든 각이 직각인 완벽한 정사각형 6개가 나타나게 된다. 이때, 정육면체의 각 모서리가 전개도의 어느 정사각형과 접하게 되는지 알려면 각 모서리에 1부터 12까지 번호를 붙여 전개도에 나타내면 된다.

위의 그림에서 오른쪽 전개도의 정사각형의 변을 한 쌍씩 맞붙이면 다시 왼쪽의 정육면체가 된다. 즉, 2차원 평면에 그려진 전개도에서 맞붙었던 1차원의 선분(모서리)를 붙여서 3차원의 정육면체를 만드는 것이다.

4차원 초입방체의 전개도는?

마찬가지 방법으로 4차원 초입방체의 접힌 부분을 펴면 모든 각이 직각을 이룬 8개의 정육면체가 되는데, 이것은 다음 그림과 같은 십자가 모양의 전개도가 된다. 이 그림에서도 3차원 입체도형의 2차원 면을 한 쌍씩 맞붙이면 4차원 초입방체가 되는 것이다. 즉, 초입방체의 전개도에 표시된 숫자는 붙어있었던 면을 나타내며 이 면들을 맞붙이면 초입방체가 되는 것이다. 이것을 붙이는 방법은 나중에 자세하게 설명하는 기회를 가지도록 하겠다.

같은 번호의 면을 맞붙이면 초입방체가 된다.

 

살바도르 달리가 바로 이 초입방체의 전개도를 자신의 작품에 그려 넣은 이유는 아마도 사람들에게 수학의 즐거움을 알고 있느냐고 묻고 싶었던 것 같다. 앞으로 여러분이 전시회에 갈 때면, 화가가 작품 속에 혹시 수학을 숨겨 놓았는지 찾아보기 바란다.

글 이광연 / 한서대학교 수학과 교수

성균관대학교 수학과를 졸업하고 와이오밍 대학교에서 박사후 과정을 밟았다. 저서로는 [웃기는 수학이지 뭐야], [수학자들의 전쟁], 2008년 문화체육관광부 우수과학도서로 선정된 [수학블로그] 등이 있다.