우리역학의 수학적 기초

[유토피아]

벽과 전등의 빛이 직각을 이루었을 때, 발산된 빛줄기는 '원'을 이룬다.

전등을 기울이면 불빛으로 벽에 생긴 점이 길어지면서 원이 '타원'으로 바뀐다.

계속 기울이다 보면 타원이 점점 길어지다 타원이 조각난 후, 벽에 생긴 점이 열린 상태로 한없이 퍼져나가는 '포물선'으로 바뀐다. 포물선이 점점 넓게 벌어지다가 순간 반대쪽 벽에 제 2의 점이 생긴다. 바로 '쌍곡선'이다. 이 네개의 도형을 '원뿔곡선'이라 하며, 그리스 수학자인 메나이크모스가 발견한 후, 2세기 지나 아폴로니우스가 이 학문을 발전시켜 '원뿔곡선론'이라는 책을 편찬했다.

이러한 원뿔곡선은 이차곡선이라 불리기도 한다.

후에 이 곡선들을 식으로 나타냈을 때 모두 이차식에 관련하여 나오기 때문이다.

우리가 원뿔 곡선 중 원(Circle)을 제외한 나머지 원뿔 곡선을 일컫는 용어인 타원 (Ellipse, '부족하다'는 뜻의 그리스어), 포물선 (Parabola, '일치한다'는 뜻의 그리스어), 쌍곡선 (hyperbola, '초과한다'는 뜻의 그리스어)을 바로 아폴로니우스가 만들었다. 아폴로니우스의 원뿔 곡선을 설명하면 아래와 같다.

원 : 원뿔의 바닥면과 평행하게 자를 때 나타나는 곡선

타원 : 원뿔을 비스듬히 자를 때 나타나는 곡선. 단 자르는 각도는 원뿔의 빗면의 각도보다는 작다.

포물선 : 원뿔의 빗면에 평행하도록 자를 때 나타나는 곡선

쌍곡선 : 원뿔의 빗면의 각도보다 큰 각도로 자를 때 나타나는 곡선

이 연구는 고대 그리스의 아폴리니우스의 연구를 이어서 한 수학자 페르마에 의해 꽃을 피우게 된다.  

프랑스의 아마추어 수학자 피에르 드 페르마는 수많은 업적 중 함수영역에도 지대한 영향을 미쳤다.

변호사였던 페르마는 취미가 수학이었고, 수학자처럼 저서가 있거나 발표한 정리가 있진 않지만 수학자 친구들과의 편지나 그의 책에서의 메모를 통해서 그의 업적을 인정 받았다.

그 당시 수학자들의 취미중 하나는 고전을 복원하는 작업이었다.

페르마는 아폴로니우스의 평면의 자취를 복원하는 일을 떠맡았다. 이 과정에 이차곡선(포물선, 타원, 쌍곡선)등을 그림으로 표현하는 과정이 나타났다.

그는 식으로는 추상적이라고 생각되었던 대수식을 평면 위에 나타내어보니, 점이나 그래프의 형태로 나타내었다. 이러한 방법은 후에 좌표평면을 이용하여 대수식을 그래프로 표현하고 관찰하며 수식을 쉽게 이해하고 설명하도록 하였다.

좌표를 발견한 데카르트와 페르마는 도형을 그래프로 표현하는 해석기하학을 등장 시켰고, 이전까지 독립적으로 다루어졌던 대수론과 기하학을 체계적으로 융합시켜 자신 이후의 뉴턴역학을 비롯한 근대 수학과 과학의 발전에 바탕이 되었다.

페르마는 해석기하학에 대한 아이디어를 발전시켜가면서, 포물선, 쌍곡선, 나선의 그래프를 분석하는 여러 가지 방법들을 고안해냈다.

페르마는 곡선과 방정식을 연구해 포물선 ay＝x2 및 직각쌍곡선xy＝a2으로 수식을 얻었다.

여기에는 곡선 위에서 위치가 가장 높은 점과 가장 낮은 점, 현대적인 용어로 극점(극대점)과 극소점으로 알려진 점들을 찾는 방법이 설명되어 있다.

또한 그는 포물선과 쌍곡선의 아랫부분의 면적을 구하기 위해 무한 개의 정사각형들의 합을 이용하는 방법을 개발했다.

일정한 폭의 사각형들을 사용하는 대신 사각형들의 변화하는 폭을 결정하기 위해 기하학적인 수열을 사용했으나 그의 개념은 현대의 적분 이론의 필수적인 아이디어를 담고 있다.

오늘날 이 원뿔곡선들을 이차곡선이라고 표현을 한다. 이 곡선들을 식으로 표현하면 모두 아래와 같은 이차식의 형태를 지니고 있기 때문이다.

$ax^2\ +\ bxy\ +\ cy^2\ +dx\ +\ ey\ +\ f\ =0$ax2 + bxy + cy2 +dx + ey + f =0?

원은 한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 점들의 모임이다.

포물선은 한 정점(초점)과 한 정직선(준선)에 이르는 거리가 서로 같은 점들의 모임이다.

타원은 두 정점(초점)으로 부터 합이 일정한 거리에 이르는 점들의 모임이다.

쌍곡선은 두 정점(초점)으로부터 차가 일정한 점들의 모임이다.

이러한 성질을 이용하여 이차곡선의 식을 유도할 수 있다.

특히 타원은 천문학자 케플러 덕분에 더욱 유명해졌다. 그는 1605년에 케플러의 3법칙을 발표하였는데, 아래와 같다.

1) 타원궤도의 법칙 : 모든 행성은 태양을 초점으로 하는 타원궤도를 그리며 공전한다.

( 타원은 중력이 거리의 역제곱에 비례한다는 만유인력의 법칙에 영향을 주었다.)

2) 면적의 법칙 : 한 행성과 태양을 잇는 선은 같은 시간에 같은 면적을 휩쓸고 지나가므로, 태양과 가까울 수록 느리게, 멀어질수록 느리게 움직인다. (이는 운동량 보존의 법칙의 영향을 받았다.)

3) 행성의 공전주기의 제곱은 태양과 행성의 거리의 세제곱에 비례한다.

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1세기 천문학자 프톨레마이오스 시절부터 천문학자들은 달과 태양, 행성, 항상이 모두 겹쳐진 구형 껍질 위에서 지구를 중심으로 돌고 있다고 생각하였다. 그러나 1540년대에 코페르니쿠스가 태양이 우주의 중심에 자리하고 나머지 행성들이 그 주위를 도는 원형 모형을 제안했다. 이후 50년이 지나서야 케플러는 자신의 관찰 결과가 원 대신 타원 궤도에 더욱 잘 들어맞는다는 것을 확인했다. 이것으로 혜성의 움직임을 설명하였다. 혜성은 주기적으로 나타나지만 지구 곁은 무척 빠르게 지나가서는 오랫동안 다시 모습을 드러내지 않았는데 이는 원운동과는 거리가 멀었다.

태양계 내부에 존재하는 행성과 혜성은 대부분 태양을 초점으로 하는 타원궤도를 따라 움직인다. 한편, 태양계 바깥쪽에서 접근하는 혜성은 태양을 초점으로 하는 포물선이나, 드물게 쌍곡선 궤도를 따라 움직인다. 예를 들어 핼리 혜성은 76년에 한 번씩 되돌아 온다고 한다. 타원인지, 포물선(쌍곡선)인지 궤도 형태에 따라 다시 되돌아오기도 하고, 영영 멀어지기도 한다.

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그렇다면 우리역학의 수학적인 기하학적인 기초에는 어떠한 것이 있는 것일까요?

우리역학은 우선 원방각의  피라미드이고

별자리의 운동이고 따리서 천문학입니다.

원방각의 수리학적인 운동은 어떠한 것이 있는 것일까요?

첫째로 원방각의 기하학에 기초한 환역인데 31개의 상수로 역학을 계산합니다.

둘째로  성법체에  기초한 부도역이 있는데 38(9)의 상수로 우주천문운행이 주류입니다.

세째로 금척의 운동인데 자연계의 다양한 물리현상에 45개의 상수로 역학을 적용합니다.

빛의 운동을 5주기 운동 : 360, 371, 1371, 9633, 2889900의 단위로 상수화합니다.

환역

부도역

금척

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 우리역학의 수학적 기초는 과연 어떠한 것이 있는 것일까요?

　한 변이 60cm인 정사각형과 두 대각선이 각각 60cm인 마름모의 넓이로 지름이 60cm인 원의 넓이를 어림해 봅니다.

                                                              

                                      

　(정사각형의 넓이) = 60 × 60 = 3600(㎠)

　(마름모의 넓이) = 60 × 60 ÷ 2 = 1800(㎠)

　☞ 1800㎠ ＜ (원의 넓이) ＜ 3600㎠

　☞ 이므로 원의 넓이는 2700㎠라고 어림할 수 있습니다.

원의 넓이 구하기

　원을 한없이 잘게 잘라 이어 붙여 만든 직사각형을 이용하여 원의 넓이를 알아봅니다.

                                 

첫째로 삼각비의 원리

    3과 4와 5의 비와 5와 7의 비관계가 바로 이것입니다.

삼각형과 사각형의 각도의 비와 기하학적인 관계를 기초로하여 환역이 이루어 진 것입니다.

삼각비에는 황금비와 닯은 비가 대표적으로 포함된다.

둘째로 원의 공식(원방각)

  일적십거 무궤화삼의 원리

중심이 원점 O(0, 0)이고 반지름 길이가 r인 원의 방정식 → x² + y² = r²

이를 원방각의 원리라고도 하는데 서양에서는  피타고라스의 정리라고 칭하고 있습니다.

사실 원의 공식이라고 해도 좋은 듯합니다.

   환역에서는 각 모서리와 중앙에 수가 5의 수가되는데

3제곱+ 4제곱= 5제곱의 원리가 적용되고 있습니다.

세째로 원뿔의 공식(타원, 쌍곡선, 포물선)

  운34 성환571 묘연

아폴로니우스 이전의 그리스인들은 원뿔 곡선을

원뿔의 꼭지각이 보다 작은지 같은지 큰지에 따라

세 가지 형태를 회전 뿔에서 만들어냈습니다.

 이들 세 원뿔을 원뿔의 한 요소와 수직인 평면으로 자르면

 각각 타원, 포물선, 쌍곡선 등이 만들어집니다.

이때 쌍곡선은 단지 한 부분만 나오게 되는데

아폴로니우스는 논문 제 1권에서 모든 원뿔 곡선을

오늘날에 흔히 하는 것처럼

 이중 직원뿔 또는 이중 빗원뿔로부터 모두 만들어냈습니다.

  아르키메데스보다 약 25년 후 태어난 아폴로니우스(B.C. 262 ~ B.C. 190)는

 남부 소아시아 지방에 있는 페르가에서 태어났습니다.

아폴로니우스의 일생에 대해서는 알려진 것이 거의 없지만

젊었을 때 알렉산드리아로 유학을 가서

 유클리드의 후계자로부터 배웠고

오랫동안 그 곳에 남아 있었다고 합니다.

 나중에 서부 소아시아 지방에 있는 페르가뭄에서 살았는데

그곳에는 알렉산드리아 대학 이후

가장 최근에 세워진 대학과 도서관이 있었습니다.

  비록 아폴로니우스가 뛰어난 천문학자이고

다양한 수학적 주제에 관하여 저술을 했다 하더라도

 주요한 업적은『원뿔곡선론』을 지은 것입니다.

(8권은 고대 최고의 과학서 중 하나이다.

 오늘날까지 최초의 4권은 그리스어(語)로,

다음 3권은 아랍어로 남아 있으나, 최후의 한 권은 일실되었다.)

이 책은 동시대인이 그를 ‘위대한 기하학자‘로 부른 원인이기도 합니다.

 아폴로니우스는 순수 기하학적인 도형으로

원뿔곡선을 연구하였는데타원, 포물선, 쌍곡선이라는 이름은

아폴로니우스가 만든 것으로서 초기 피타고라스학파가

 면적에 대하여 사용한 용어로부터 따온 것입니다.

  피타고라스학파는 직사각형은 한 선분 위에 갖다 댈 때

(즉, 직사각형의 한 변을 선분 위에 갖다 놓을 때

직사각형의 변의 한 끝과 선분의 한 끝이 일치하도록 하는 것)

갖다 댄 직사각형의 변이 선분보다 짧은지 일치하는지 긴지에 따라

 변을 각각‘-부족하다’,‘-일치한다’,‘-초과한다’ 의 경우라고 말했습니다.

 아폴로니우스의 원은 위쪽의 그림과 같이

 두 점 사이의 비가 일정한 점의 자취입니다.

즉 위쪽의 그림에서는  을 만족하는 점P의 자취는

를 로 내분하는 점과 외분하는 점을

지름의 양 끝점으로 하는 원이 됩니다.

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타원의 방정식

                                                                                  

타원의 중심이 $(x_0,y_0)$ 이고 장반경이 $a$ , 단반경이 $b$ 인 타원의 방정식은 아래와 같다.

$$\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}+\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}=1$$

극 좌표에서 초점이 원점인 타원의 방정식

극 좌표계에서 타원의 방정식은 아래와 같다.

$$r=\frac{\alpha }{1+ϵ\cos \theta }$$

혹은

$$r=\frac{b^2/a}{1+\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\cos \theta }$$

타원의 넓이

장반경이 $a$ , 단반경이 $b$ 인 타원의 넓이 $A$ 는 아래와 같다.

$$A=ab\pi$$

타원의 둘레

위 그림과 같은 타원의 둘레는 아래와 같다.

$$4b{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }d\theta ,k^2=\frac{b^2-a^2}{b^2}$$

제2 종 타원 적분

아래의 적분을 각각 제2종 완전 타원 적분, 제2종 불완전 타원 적분이라고 한다.

$$E\left(k\right)={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }d\theta$$

$$E(\varphi ,k)={\int }_0^{\varphi }\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }d\theta$$

타원의 일반화, 일립소이드

선형 변환 $A\in R^{m\times m}$ 에 대해 $m$ 차원 단위구 $N:=\left\{x\in R^m:{\parallel x\parallel }_2=1\right\}$ 의 이미지 $AN$ 을 일립소이드라고 한다. $A$ 의 아이겐 밸류 ${\sigma }_1^2>\cdots \ge {\sigma }_m^2\ge 0$ 와 그에 따른 단위 아이겐 벡터 $u_1,\cdots ,u_m$ 에 대해 ${\sigma }_i{u}_i$ 를 일립소이드의 축Axis라고 한다.

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쌍곡선의 정의와 방정식 

 ⅰ) 쌍곡선의 뜻과 정의

  ① 뜻: 두 정점(초점)에서 거리의 차가 일정한 점들의 집합

  ② 정의

 

 ※주축의 길이

 ⅱ) 쌍곡선의 방정식

  ① 기본형(1): 초점이 이고 주축의 길이가 인 쌍곡선

  

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포물선 운동

평면 위의 한 점 F와 점 F를 지나지 않는 직선 l이 주어질 때, 점 F와 직선 l에 이르는 거리가 같도록 움직인 점의 자취를 포물선이라 한다.

평면 위에 한 점 F와 점 F를 지나지 않는 한 직선 l이 주어질 때, 점 F와 직선 l에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라 한다. 이때 점 F를 포물선의 초점, 직선 l을 포물선의 준선이라 한다.
또 포물선의 초점을 지나고 준선에 수직인 직선을 포물선의 축, 포물선과 축이 만나는 점을 포물선의 꼭짓점이라 한다.

포물선운동을 포사체 운동이라고도 하는데, 우리 지표면에서 중력가속도를 받으면서 운동하는 물체를 다룰 것입니다.

물체를 어느 초기 각도로 던지면 그 물체는 포사체 운동을 합니다. 중력가속도로 인해 y 성분 속도는 변하지만 x 성분 속도는 변하지 않는 운동입니다.

다음 그림을 보면서 이해해보세요.

어떤 물체가 A 지점에서, x 축을 기준으로 θ i의 각도로, 초기 속도 성분은 각각 x 방향, y 방향으로 vxi, vyi 입니다. 이렇게 발사되었습니다.

이 때 B, C 지점을 지나 D 지점에서 최고점을 찍고, 내려오겠죠.

중요한 건, 이 물체는 중력 가속도만 받고 있는데, 그 중력 가속도의 방향은 -y 방향이라는 것입니다.

즉, 이 중력 가속도는 x 방향 속도 성분에 전혀 영향을 주지 않으므로 x 방향 속도 성분은 항상 처음의 속도가 변하지 않고,

y 방향 속도 성분만 변하는 것입니다. 그래서 x 방향 속도는 파란색 벡터로 나타내었고, 길이와 방향이 항상 일정합니다.

반면에 y 방향 속도는 빨간색 벡터로 나타내었고, 길이와 방향이 계속 변합니다.

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여기서 포물선 운동은 아주 대칭적인 운동입니다.

신기하게도 A, G 지점, B, F 지점, C, E 지점 에서의 y 방향 속도 성분은 방향만 반대일 뿐 크기는 같습니다.

그리고 도착 시 x 축과 공의 운동 방향이 이루는 각도도 θ i 로 같습니다.

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포물선 운동하는 물체의 중력 가속도를 표현할 때에는 이렇게 표현합니다.

보통은 윗 방향을 +y 방향으로 잡습니다.

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포물선 운동 역시 이차원 운동이기때문에, 물체의 위치 벡터나 속도 벡터를 표현할 때에는 앞서 이야기했던 대로 표현하면 됩니다.

여기서 물체의 초기 속도만 생각해봅시다. 초기 속도는 정해져있습니다. 물체를 얼마만큼의 속력으로, 무슨 각도로 쏘았느냐가 초기 속도의 x, y 성분을 결정합니다.

다음과 같이 벡터 분해를 이용해서 vxi, vyi 를 구할 수 있습니다.

우리가 초기 속도의 x, y 성분을 구하기 위해서 필요한 것은 초기 속력인 vi 와 초기 각도인 θ i입니다.

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먼저 포물선 운동하는 물체가 x 방향으로 얼마나 멀리 가는지를 생각해봅시다.

x 방향의 가속도는 없고, x 방향의 최종 ‘위치’가 바로 포물선 운동하는 물체가 이동한 ‘총 수평 거리’가 되겠죠?

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위와 같이 식으로 쓸 수 있습니다. 그런데 여기서 물체의 처음 위치인 xi 는 0으로 놓고, t는 물체가 총 운동한 시간인데 이걸 구해야 할 것입니다.

포물선 운동은 대칭적이므로 다음과 같이 구할 수 있습니다.

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먼저 물체가 꼭대기까지 올라가는 데 걸린 시간을 구합니다.

꼭대기에서의 물체의 y 방향 속도 성분은 0이므로,

물체가 꼭대기까지 올라가는 데 걸린 시간이라는 말은

물체의 y 방향 속도 성분이 0이 되는 데 걸리는 시간을 말합니다.

이것을 만족하는 t를 찾으면 되는 것입니다.

그게 바로 꼭대기까지 가는 데 걸린 시간입니다.

이렇게 시간을 구한 다음에는 x 방향 이동한 거리, 꼭대기까지의 높이를 구할 수 있습니다.

게다가 물론 등가속도 운동이므로 각각의 속도 성분에 대하여 속도 제곱이 들어있는 그 공식을 적용할 수도 있습니다.

그런데 의미있는 건 y 방향 속도 성분 뿐입니다. 왜냐하면 가속도가 존재하는 게 y 방향 속도 뿐이니까요.

어쨌든 이런 공식을 적용할 수 있다는 것을 확인했습니다.

이제 진짜로 포물선 운동에서 적용할 수 있는 공식을 이끌어 내 봅시다.

몇 가지 변수를 먼저 세팅합니다.

처음 속도는 vi 이고, 각도는 θ i 입니다. 그리고 물체가 이동한 x 방향 거리는 R 이며, 최고점의 높이는 h 입니다.

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물체가 꼭대기까지 가는 데 걸린 시간은 다음과 같은 식을 만족하는 t를 구하면 됩니다.

그래서 위와같이 꼭대기까지 가는 데 걸린 시간 t를 구할 수 있고요.

물체가 꼭대기까지 간다는 것은 R/2 의 수평 거리를 이동했다는 뜻입니다. 나머지 R/2 도 이동하고 나면 물체는 바닥에 닿겠군요.

포물선 운동하는 총 걸린 시간을 구하기 위해서는, t 를 두 배 해주면 됩니다.

그래서 포물선 운동하는 물체가 운동하는 데 걸린 ‘총 시간’은 위의 T 가 됩니다.

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포물선 운동이 대칭적이기 때문에 단순히 두 배 하는것으로 시간을 구할 수 있다는 점이 신기하죠.

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꼭대기까지의 높이는 어떻게 구할까요?

y 방향 변위를 구하는 공식을 사용하면 됩니다.

그래서 꼭대기까지의 높이 h는 위와 같은 공식으로 정리할 수 있습니다.

?

물체가 이동한 수평 거리인 R은 단순하게 구할 수 있어요.

수평 거리는 오직 x 방향이므로 x 방향 속도와, 물체가 운동한 총 시간을 곱해주면 구해집니다.

여기서 식을 살짝 정리하면, cos θ i × sin θ i 는 sin 2 θ i 로 정리가 됩니다.

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참고로, 포물선 운동에서 초기속력이 일정할 때, 수평 도달 거리가 최대가 되는 초기 각도는 45 ˚ 입니다.

사인 함수의 최댓값은 1인데, sin 2 θ i = 1 이 되려면 θ i = 45 ˚ 이어야 하기 때문입니다.

파랑, 노랑, 초록, 빨강 선이 각각 초기 각도가 15, 30, 45, 60 ˚ 인 경우입니다.

45 ˚ 인 경우가 가장 멀리 나갔습니다. 그리고 30 ˚, 60 ˚ 인 경우는 수평 도달 거리가 동일합니다.

역시 식에 넣어보면 알 수 있어요. 사인함수에 넣어보면요.

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* 예제 1

어떤 물체가 초기속력 11 m/s, 초기 각도 20 ˚ 로 포물선 운동을 한다고 할 때 수평 이동 거리는?

이렇게 구하면 됩니다.

그렇다면 이 물체가 도달하는 최고 높이는?

이렇게 구하면 됩니다.

간단하게 공식에 대입하면 된다고 생각하실 수 있고

공식만 외우면 된다고 생각하실 수도 있는데...

저는 고등학교 3학년 때 물리 2를 공부하면서 이 공식이 진짜 안 외워져서 항상 유도를 했습니다.

물론 시험을 위해서는 공식을 외우면 시간 내에 빨리 문제를 풀 수 있으니까 좋죠.

물리학을 잘 이해하기 위해서는 공식이 어떻게 유도되었는가를 이해하는 것이 더 중요한 듯 합니다.