정전기장과 가우스법칙

[미소777]

정전기장과 가우스법칙

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정전기장이란 말 그대로 정지한(고정된) 전하가 만들어내는 전기장을 말합니다.
우선 쿨롱법칙을 가정해봅시다.

쿨롱법칙이란 점전하가 만들어내는 정전기장의 크기는 거리의 역제곱에 비례한다는 겁니다.
국제단위계인 mks단위계을 기준으로 이 법칙을 적어보면 점전하 q가 만드는 정전기장은 다음과 같습니다.
$$ \mathbf{E}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{\mathbf{r}} $$
상수가 너무 번거롭다 싶으면 cgs단위계를 사용하면 상수가 1이 되어버립니다.

이렇게 점전하의 정전기장만 알면 뭐하냐고 생각될지도 모르겠지만
중첩의 원리라는 유용한 원리가 있습니다.
그 계의 정전기장을 구하려면 각각의 점전하가 만드는 정전기장을 더해주면 됩니다.
$$ \mathbf{E}=\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2+\mathbf{E}_3+\cdots $$

중첩의 원리가 왜 성립하느냐 궁금할 수도 있습니다.
일차적으로는 전기장이 벡터장이라서 그렇지만 근본적으로는 전기장을 기술하는 맥스웰방정식이 선형방정식이라는 것에 기인합니다.
자세한 내용은 다음에 맥스웰방정식을 이야기할때 보도록하고 지금은 일단 그렇구나 하고 넘어가주시길 바랍니다.

위에서 중첩의 원리에 의해 각각의 점전하가 만드는 정전기장을 더해주면 그 계의 정전기장이 튀어나온다고 했습니다.
그러면 전하가 셀수없이 많다면 어떨가요? 일일이 더하기에는 무리입니다.
걱정하지 마십시오. 합을 적분으로 바꿔주면 됩니다.
$$ \int \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{\rho(\mathbf{r})}{r^2}\hat{\mathbf{r}}\; dV $$
여기서 \(\rho(\mathbf{r}) \)는 전하밀도로써 변위 \(r \)에서의 전하의 밀도를 나타냅니다.
따라서 위 식은 \( dQ=\rho(\mathbf{r})dV \)를 이용한것 뿐입니다.
(이런 꼴을 단순히 양변에 dV를 곱했다고 생각할 수도 있지만 수학적 엄밀히 말하자면 미분형식이라는 엄밀한 개념입니다.)

가우스법칙을 이해하기 위해서는 먼저 플럭스(flux)라는 개념을 알아야합니다.

폐곡면 S를 지나는 전기장의 플럭스는 다음과 같습니다.
$$\Phi(\mathbf{E})=\oint_S \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{n}} \; dA $$
플럭스란 본래는 유체가 지나는 면적과 그것을 지나는 단위시간당 유량의 비
즉, 단위시간당 얼마나 많은 유체가 그 면적을 휩쓸고 지나가는지를 나타내는 양 입니다.
왜 뜬금없이 전자기학에 유량이 나오는지 궁금하실겁니다.
신기하게도 전자기학의 방정식과 유체역학의 방정식, 열역학의 방정식들은 서로 상당히 유사합니다.
그 이유는 벡터장이 일종의 흐름을 나타내기 때문이라고 생각하시면 됩니다.(벡터를 속도벡터로 두면 그렇죠)
일단은 그렇다고만 알아두십시요. 자세한 내용은 다음시간에 다루겠습니다.

가우스는 이 플럭스를 전기장에 도입하여 다음과 같은 식을 발견했습니다.
$$ \oint_S \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{n}}\; dA = \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0} $$
여기서 \(\hat{\mathbf{n}} \)은 면적에 수직한 단위벡터, 즉 단위법선벡터를 말합니다.
이 식이 주장하는 것은 다음과 같습니다.

폐곡면 \(S\)를 지나는 벡터장의 플럭스는 그 폐곡면이 둘러싼 부피 \(\mathcal{V} \)속에 존재하는 전하의 총량에 비례한다.

이것의 증명은 쿨롱법칙을 가정하면 됩니다.
(쿨롱법칙에서 각 점전하의 정전기장\(E_i \)의 발산( \(\nabla \cdot \mathbf{E_i} \))을 이용하면 됩니다.)
다음에 디랙델타함수와 정전기장의 발산의 관계를 이야기할때 증명하도록하고 일단은 가우스 법칙을 받아들여봅시다.

벡터해석학에서의 발산정리에 따르면
$$ \oint_{S} \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{n}}\; dA = \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot \mathbf{E}\; dV $$
입니다.

따라서
$$ \int_{\mathcal{V}} \nabla \cdot \mathbf{E}\; dV =\frac{Q_{enc}}{\epsilon_0} $$
이고 이것은 폐곡면을 어떻게 잡아도(즉, 부피를 어떻게 잡아도) 성립하므로 다음과 같은 등식을 얻을 수 잇습니다.
$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} $$

만약 정전기장이 어떤 좌표계에 대하여 대칭성(ex.구대칭)을 갖는다면 우리는 직접 적분하지 않아도 가우스법칙을 이용해 엄청나게 간단하게 정전기장을 수 있습니다.
예제를 통해서 보도록하죠.

예제1. 반지름이 R인 구내부에 총 전하 Q가 균일하게 분포해 있을때 이 구가 만들어내는 전기장을 구하여라.

방정식을 풀기전에 먼저 장의 형태를 예상해봅시다.
구는 공간상의 모든 회전에 대해 대칭을 가집니다.(구를 아무리 굴려도 처음 상태와 나중상태를 구분할 수 없습니다.)
따라서 우리는 전기장의 형태가 방사형, 즉 구의 반지름 방향으로 뻗어나간다고 예상할 수 있습니다.
(전기장이 구대칭을 가진다는 이야기입니다.)

이 전기장의 플럭스를 먼저 계산해봅시다.
구의 중심에서 r만큼 떨어진 구 밖의 플럭스는 다음과 같을겁니다.(r>R)
$$ \oint_S  \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{n}}\; dA=|\mathbf{E}|\oint_{S}\; dA=4 \pi r^2|\mathbf{E}|$$

가우스법칙에 의해
$$4 \pi r^2|\mathbf{E}|=\frac{Q}{\epsilon_0} $$
따라서 \(\mathbf{E(\mathbf{r}})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \hat{\mathbf{r}} \)임을 알 수 있습니다.

어? 이 식은 전하량이 Q인 점전하 1개가 만드는 정전기장과 동일합니다.
신기하지 않습니까? 이것은 강체에서의 중력이 질량중심에만 작용하는것처럼 보이는 것과 같은 원리입니다. 

이번엔 구 내부의 전기장을 구해보도록 합시다.

우선 구내부의 전하밀도는 \(\rho = Q/ \pi R^3 \)입니다.
그러면 \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\epsilon_0 \)에 의해
$$ \nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{Q/\pi R^3 }{\epsilon_0} $$
입니다.

이 미분방정식을 푼다면 우리는 전기장의 형태를 알 수 있습니다.
풀이는 여러분에게 맡기겠습니다.