미분(differential)의 정의

미분이라는 용어는 서로 다른 두 개념 미분(differentiation)과 미분(differential)으로 동시에 쓰이기 때문에 이를 구분할 필요가 있다. Differentiation은 differentiate의 명사형이고, differentiate는 우리가 흔히 미분이라 부르는 도함수를 얻는 것을 말하는 동사이다. 또한 differential은 고등학교에 나오지 않는 개념으로, 원함수의 선형 근사 함수를 말한다.  가령 일변수 함수 <math><semantics><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex"></annotation></semantics></math>f(x)f(x)의 한 점 a에서의 미분(differential)은<math><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>f</mi><mo>(</mo><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mi>f</mi><mo mathvariant="normal">′</mo></msup><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>)</mo><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mrow></mrow></semantics></math>로 나타나는 선형함수를 말한다.  좀 더 일반적으로 a 자체도 변수로 다루면서 <math><semantics><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow></semantics></math>의 미분df를<math><semantics><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo separator="true">,</mo><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mrow><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mi>f</mi><mo mathvariant="normal">′</mo></msup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mrow></mrow></semantics></math>의 이변수 함수로서 정의 한다. 여기서 <math><semantics><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mrow></mrow></semantics></math>는 단순히 변수의 표기에 불과하니 오해하지 말자. 왜 이러한 differential이라는 개념이 따로 필요한가는 다변수함수의 미분으로 가면 확실해진다. 일변수 함수에서는 변화하는 '방향'을 고려할 필요가 없기 때문에 평균변화율이나 순간변화율이 유일하게 결정되지만 이차원으로만 가도 서로다른 방향으로의 무수히 많은 변화율을 생각할수 있기 때문에 단순하게 일차원의 변화율(직선의 기울기)을 적용하기에는 애로사항이 존재하게 된다. 따라서 미분의 개념에 대해 다른 방향으로 접근해야하고 그것이 바로 선형근사함수이다.(정확히는 방향을 고정하면 이런식의 미분값들을 생각할수는 있다. 방향도함수라고 하는데 편미분도 여기에 속한다. 하지만 모든 방향에 대해서 방향도함수값은 존재하지만 연속은 안 되는 골때리는 상황도 존재하므로 다른 방향의 일반화를 생각하는 것이다.) 선형함수란 <math><semantics><mrow><mi>L</mi><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>a</mi><mi>L</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>L</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow></semantics></math>의 성질을 가지는 함수를 말하며 일변수의 실수값함수에서는 원점을 지나는 직선으로 이변수의 실수값함수에서는 원점을 지나는 평면으로 나타나며 일반적으로 <math><semantics><mrow><msup><mi>R</mi><mi>n</mi></msup></mrow><annotation encoding="application/x-tex"></annotation></semantics></math>R에서 <math><semantics><mrow><msup><mi>R</mi><mi>m</mi></msup></mrow></semantics></math>으로 가는 함수의 경우에는 <math><semantics><mrow><mi>L</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>A</mi><mi>x</mi></mrow></semantics></math>로서 mxn행렬A를 변수 앞에 (변수를 column matrix의 형태로 간주하여)곱한 간단한 형태로서 나게 된다. <math><semantics><mrow><msup><mi mathvariant="double-struck">R</mi><mi>n</mi></msup></mrow></semantics></math>에서 <math><semantics><mrow><msup><mi mathvariant="double-struck">R</mi><mi>m</mi></msup></mrow></semantics></math>으로 가는 함수 <math><semantics><mrow><mi>f</mi><mo>:</mo><mi mathvariant="bold">x</mi><mo>↦</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="bold">x</mi><mo>)</mo></mrow></semantics></math>에 대해 한 점 <math><semantics><mrow><mi mathvariant="bold">a</mi></mrow></semantics></math>를 고정시키고 이로 만든 새로운 함수 <math><semantics><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="bold">x</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="bold">a</mi><mo>)</mo></mrow></semantics></math>와 원점 근방에서 가장 원함수와 비슷한 선형 근사 함수는 유일하게 결정할 수 있게 되고, 이러한 방향으로 생각한 일변수 함수에서의 미분의 확장은 타당하다 할 수 있다.  이때 <math><semantics><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="bold">x</mi><mo>)</mo></mrow></semantics></math>의 <math><semantics><mrow><mi mathvariant="bold">x</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="bold">a</mi></mrow></semantics></math>에서의 선형 근사 함수 <math><semantics><mrow><mi>L</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="bold">x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>A</mi><mi mathvariant="bold">x</mi></mrow></semantics></math>가 위에서 말한 <math><semantics><mrow><mi mathvariant="bold">a</mi></mrow></semantics></math>에서의 미분(differential)이고 이러한 미분의 계수를 미분계수라고 하게 된다. (따라서 차원이 높아지면 이러한 '계수'는 하나의 수가 아닌 행렬로 나타난다. 그게 바로 <a title="야코비안" class="wiki-link-internal" href="https://namu.wiki/w/%EC%95%BC%EC%BD%94%EB%B9%84%EC%95%88">야코비안</a>.)  모든 고등학생이 도함수의 값을 미분계수라고 부른다는걸 알고 있지만 정작 왜 미분계수라고 부르는지는 잘 모르는데 말그대로 미분(differential)의 계수(coefficient)이기 때문에 그렇게 부르는 것이다. 이렇게 다변수로 가면 미분(differential)을 먼저 정의해야 그로서 미분계수라는 용어가 자연스럽게 나오고 그 미분계수와 해당하는 점을 이어주는 함수를 도함수(derivative)라고 정의할 수 있게 된다.