미분의 물리학적인 개념

[유토피아]

순간 속도 문제

자유 낙하 과정을 스트로보스코프로 촬영하여 시간과 변위의 함수 관계를 구할 수 있으며, 여기에 미분을 취하면 (순간) 속도가 된다.

어떤 물체의 시간에 따른 변위 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">s</span>}}$ = s ( t ) {\displaystyle s=s(t)} 가 주어졌을 때, 시간 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">t</span>}}$ ∼ t + Δ t {\displaystyle t\sim t+\Delta t} 동안의 평균 속도 ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">v</span>}}}$ ¯ {\displaystyle {\bar {v}}} 는 이동한 거리와 소모한 시간의 비이며, 식을 써서 나타내면 다음과 같다.

${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">v</span>}}}$ ¯ = Δ s Δ t = s ( t + Δ t ) − s ( t ) Δ t {\displaystyle {\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}}

등속 운동의 경우 각 시점의 빠르기는 서로 같으며, 이는 아무 부분의 평균 속도와도 같다. 하지만, 일반적인 물체의 운동은 변속 운동이므로, 빠르기가 시간에 따라 변화한다. 이 경우 평균 속도는 각 시점의 빠르기를 정확하게 반영하지 못하므로, 순간 속도라는 개념이 필요하게 된다. 평균 속도를 구하는 과정의 시간 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\Delta </span><!--\; \Delta \; -->}}$ t {\displaystyle \Delta t} 가 짧아질수록 평균 속도가 순간 속도와 가까워진다는 점에 주의하여, 순간 속도를 평균 속도의 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\Delta </span><!--\; \Delta \; -->}}$ t → 0 {\displaystyle \Delta t\to 0} 일 때의 극한으로 정의할 수 있으며, 식을 써서 나타내면 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">v</span>}}$ ( t ) = lim Δ t → 0 Δ s Δ t = lim Δ t → 0 s ( t + Δ t ) − s ( t ) Δ t {\displaystyle v(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}}

일반적인 함수에 대하여, 미분은 그 함수의 변화량과 독립 변수의 변화량의 비가, 변화량이 0에 가까워질 때 갖는 극한으로 정의된다. 이에 따라, 순간 속도 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">v</span>}}$ ( t ) {\displaystyle v(t)} 는 변위 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">s</span>}}$ ( t ) {\displaystyle s(t)} 의 (시간 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">t</span>}}$ {\displaystyle t} 에 대한) 미분이며, 이를

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">v</span>}}$ ( t ) = s ′ ( t ) {\displaystyle v(t)=s'(t)}

또는

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">v</span>}}$ = d s d t {\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}}

와 같이 표기할 수 있다.

예를 들어, 다리위에서 손에 쥐었던 농구공을 가만히 놓아 떨어뜨렸을 때, 공기 저항이나 바람의 영향이 크지 않다면, 농구공의 운동은 자유 낙하이며, 그 변위는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">h</span>}}$ = 1 2 g t 2 {\displaystyle h={\frac {1}{2}}gt^{2}}

따라서, 그 순간 속도를 다음과 같이 구할 수 있다.^[2]

= d h d t = lim Δ t → 0 1 2 g ( t + Δ t ) 2 − 1 2 g t 2 Δ t = lim Δ t → 0 ( g t + 1 2 g Δ t ) = g t {\displaystyle {\begin{aligned}v&={\frac {dh}{dt}}\\&=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\frac {1}{2}}g(t+\Delta t)^{2}-{\frac {1}{2}}gt^{2}}{\Delta t}}\\&=\lim _{\Delta t\to 0}(gt+{\frac {1}{2}}g\Delta t)\\&=gt\end{aligned}}}

 

 

 

접선 문제

 

 

 

곡선의 서로 다른 두 점의 연결선을 할선이라고 한다.

접선은 할선의 극한이다.

할선은 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\Delta </span><!--\; \Delta \; -->}}$ x → 0 {\displaystyle \Delta x\to 0} 일 때 접선이 된다.

기하학적 관점에서, 미분은 주어진 곡선의 접선을 구하는 문제와 동치이다. 접선의 기하학적 의미는 곡선과 스치듯이 만나는 직선이다. 즉, 접선에 미세한 변화를 가하면 곡선과의 교점의 개수가 변화하게 된다. 예를 들어, 직선 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">y</span>}}$ = 0 {\displaystyle y=0} 과 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}}$ = 0 {\displaystyle x=0} 모두 포물선 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">y</span>}}$ = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} 과 유일한 교점을 갖지만, 전자는 약간 흔들었을 때 교점을 잃거나 얻으므로 접선이며, 후자는 약간 흔들어도 유일한 교점을 가지므로 접선이 아니다.

평면 곡선 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">y</span>}}$ = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 의 점 ${\displaystyle <span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>}$ a , f ( a ) ) {\displaystyle (a,f(a))} 에서의 접선을 구하려면, 그 기울기를 구하기만 하면 된다. 우선, 점 ${\displaystyle <span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>}$ x , f ( x ) ) {\displaystyle (x,f(x))} (${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">x</span>}}$ ≠ a {\displaystyle x\neq a} )을 하나 더 취했을 때, 이 두 점을 지나는 할선의 기울기 ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">k</span>}}}$ ¯ {\displaystyle {\bar {k}}} 는 다음과 같다.

${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">k</span>}}}$ ¯ = Δ y Δ x = f ( x ) − f ( a ) x − a {\displaystyle {\bar {k}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}

점 ${\displaystyle <span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>}$ x , f ( x ) ) {\displaystyle (x,f(x))} 가 점 ${\displaystyle <span\; style="font-size:\; 12pt;">(</span>}$ a , f ( a ) ) {\displaystyle (a,f(a))} 에 가까워질수록, 소폭의 변화를 가했을 때 곡선과의 교점의 개수가 변화하는 효과가 더 뚜렷해지며, 또한 할선은 실제 접선의 위치에 더 가까워진다. 따라서, 접선을 할선의 극한으로 정의할 수 있다. 이 경우 접선의 기울기는 할선의 기울기의 극한이며, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">k</span>}}$ = tan ⁡ α = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim x → a f ( x ) − f ( a ) x − a {\displaystyle k=\tan \alpha =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}

접선의 기울기 역시 함수의 변화량과 독립 변수의 변화량의 비의 극한이므로, 함수의 미분과 같다. 즉,

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">k</span>}}$ = tan ⁡ α = f ′ ( a ) = d y d x | x = a {\displaystyle k=\tan \alpha =f'(a)=\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}}

이다.

 

 

 

 

 

 

증분과 평균 변화율과 순간 변화율

 

 

일반적인 함수 ${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">y</span>}}$ = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 에 대하여, 증분(增分, 영어: increment)은 독립 변숫값의 변화량

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\Delta </span><!--\; \Delta \; -->}}$ x {\displaystyle \Delta x}

및 함숫값의 변화량

${\displaystyle \mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\Delta </span><!--\; \Delta \; -->}}$ y = f ( x + Δ x ) − f ( x ) {\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}

을 뜻하는 용어이며, 평균 변화율(平均變化率, 영어: average rate of change)은 두 증분의 비

${\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">\Delta </span><!--\; \Delta \; -->}}{}}$ y Δ x = f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}

를 뜻하는 용어이다.^[3] 미분 또는 미분 계수(微分係數, 영어: differential coefficient) 또는 순간 변화율(瞬間變化率, 영어: instantaneous rate of change)은 평균 변화율의 극한

${\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; style="font-size:\; 12pt;">d</span>}}{}}$ y d x = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}

을 뜻하는 용어이다.^[1] 여기서 극한 대신 좌극한을 사용하면 좌미분 또는 좌미분 계수(左微分係數)의 개념을 얻으며, 우극한을 사용하면 우미분 또는 우미분 계수(右微分係數)의 개념을 얻는다.