철학과 과학에서 제1원리 - 공리 또는 가정(ausulate)

[dhleepaul]

철학과 과학 에서 제 1원리 는 다른 어떤 명제나 가정에서도 추론될 수 없는 기본적인 명제 나 가정 입니다. 철학의 제1원리는 제1원인 [ 1 ] 의 태도에서 비롯되며 아리스토텔레스 학파에서 가르칩니다. 칸트 학파 에서는 제1원리의 미묘한 차이를 공준(功順) 이라고 부릅니다 . [ 2 ]

수학과 형식 논리학 에서 제1 원리는 공리 또는 가정(ausulate) 이라고 합니다 . 물리학 및 기타 과학 분야에서 이론적 작업은 기존 과학 수준에서 직접 시작하여 경험적 모델이나 매개변수 적합과 같은 가정을 하지 않는 경우 제1 원리 또는 애브 이니티오(ab initio) 에서 시작된다고 합니다. "제1 원리 사고"는 주어진 영역의 기본 공리 로 사물을 분해 한 후, 어떤 공리가 해당 문제와 관련이 있는지 질문하여 추론하고, 선택한 공리들을 기반으로 결론을 교차 참조하며, 결론이 기본 법칙을 위반하지 않는지 확인하는 과정입니다. 물리학자들은 반직관적인 개념도 반복 해서 포함합니다 .

형식 논리에서

형식적 논리 체계 , 즉 서로 일관성이 있는 명제 들의 집합 에서, 일부 명제는 다른 명제로부터 추론될 수 있습니다. 예를 들어, "모든 사람은 필멸자다; 소크라테스는 인간이다; 소크라테스는 필멸자다"라는 삼단논법에서 마지막 명제 는 처음 두 명제로부터 추론될 수 있습니다.

제1원리는 그 체계 내의 다른 어떤 공리에서도 추론될 수 없는 공리 입니다 . 대표적인 예가 유클리드의 기하학 원론 입니다 . 수백 개의 기하학적 명제는 일련의 정의, 공준, 그리고 원시 개념 으로부터 추론될 수 있으며 , 이 세 가지 유형 모두 제1원리를 구성합니다.

철학

철학에서 "제1원리"는 제1원인 [ 1 ] 에서 비롯된 것으로, 일반적으로 선험적 용어와 논증 이라고 하는 태도를 의미하며 , 이는 후험적 용어, 추론 또는 논증과 대조되는데, 전자는 추론 과정 이전에 단순히 가정되고 존재하는 반면, 후자는 초기 추론 과정 이후에 연역되거나 추론됩니다. 제1원리는 일반적으로 인식론 이라고 하는 철학 영역에서 다루어지지만 , 모든 형이상학적 추측 에서 중요한 요소입니다 .

철학에서 "첫 번째 원리"는 종종 선험적 , 자료적, 공리적 추론 과 다소 동의어로 사용됩니다 .

고대 그리스 철학

"Arche"가 여기로 리디렉션됩니다. 다른 용도는 Arche(동음이의)를 참조하세요 .

고대 그리스 철학 에서 다른 원리들이 파생되는 첫 번째 원리를 아르케(arche) [ 주 1 ] 라고 하며 , 이후 "첫 번째 원리" 또는 "요소"라고 합니다. 확장하여 "첫 번째 장소", "통치 방식", "제국, 영역" 또는 "권위"를 의미할 수 있습니다. [ 주 2 ] 아르케 라는 개념은 헤시오도스 와 오르페우스교의 초기 우주 창조론 에서 소크라테스 이전 철학과 플라톤 의 물리 이론을 거쳐 아리스토텔레스 에 의해 형이상학 의 일부로 공식화 되었습니다. 아르케(arche) [ 주 3 ] 는 때때로 arkhé 로 표기되기도 하는데 , "시작", "기원" 또는 "행동의 근원"이라는 기본 의미를 가진 고대 그리스어입니다 . [ 주 4 ] 처음부터 또는 원래 주장인 "명령"을 의미합니다. [ 3 ] 첫 번째 원리 또는 요소는 "궁극적인 기본 실체" 및 "궁극적인 증명 불가능한 원리"에 해당합니다. [ 4 ]

신화적 우주 창조론

그리스 신화 의 유산은 이미 현실을 전체적으로 표현하고자 하는 열망을 구체화했으며, 이러한 보편화하는 충동은 초기 사변적 이론화 프로젝트의 근간이 되었습니다. "존재"의 질서는 추상적으로 사유되기 전에 먼저 상상력을 통해 시각화된 것으로 보입니다. [ 5 ]

근동의 신화적 우주 창조론에서 우주는 형태가 없고 공허하며 창조 이전에 존재했던 것은 물의 심연뿐이었습니다. 바빌로니아 창조 이야기 인 에 누마 엘리쉬 에서 원시 세계는 다른 모든 것이 나타난 "물의 혼돈"으로 묘사됩니다. [ 6 ] 이 물의 혼돈은 시로스의 그리스 신화 작가 페레키데스의 우주 창조론과 유사합니다 . [ 7 ] 헤시오도스 (기원전 8~7세기) 의 신화적 그리스 우주 창조론 에서 세계의 기원은 혼돈 이며, 다른 모든 것이 나타난 신성한 원시 조건으로 간주됩니다. 창조에서 "혼돈"은 틈이 있는 공허이지만, 나중에 이 단어는 지구와 하늘이 분리된 후 그 사이의 공간을 설명하는 데 사용됩니다. "혼돈"은 무한한 공간이나 구별될 수 있는 형태 없는 물질을 의미할 수 있습니다. [ 8 ] 시간적 무한의 개념은 불멸에 대한 종교적 개념에서 먼 고대부터 그리스 정신에 익숙했습니다. [ 9 ] 기원으로서의 "신성" 개념은 초기 그리스 철학자들에게 영향을 미쳤습니다. [ 10 ] 오르페우스의 우주 창조론 에서 늙지 않는 크로노스는 에테르 와 카오스를 생성 하고 신성한 에테르에서 은빛 알을 만들었는데, 이 알에서 다른 모든 것이 나타났습니다. [ 11 ]

이오니아 학파

가장 초기의 소크라테스 이전 철학자, 이오니아의 물질적 일원론자들은 모든 자연( physis )을 하나의 통일된 원형(arche)으로 설명하려고 했습니다. 물질적 일원론자 중에는 세 명의 밀레토스 ​​철학자가 있었습니다. 모든 것이 물로 이루어져 있다고 믿었던 탈레스 , 그것이 아페이론 이라고 믿었던 아낙시만드로스 , 그리고 그것이 공기라고 믿었던 아낙시메네스입니다 . 이것은 나머지의 생성에서 보존되는 영구적인 실체 또는 하나 이상으로 간주됩니다. 이것으로부터 모든 것이 처음 생겨나고 이것으로 최종 상태로 분해됩니다. 이 실체의 근원은 항상 보존됩니다. [ 12 ] 그들의 이론은 원시적이었지만, 이 철학자들은 초자연적인 것을 언급하지 않고 물리적 세계에 대한 설명을 제공한 최초의 사람들이었습니다. 이것은 초자연적인 것에 의존하지 않고 세계를 설명하는 동일한 목표를 가진 현대 과학 (과 철학) 의 많은 길을 열었습니다 . [ 13 ]

"철학의 아버지"로 알려진 밀레투스의 탈레스(기원전 7~6세기)는 [ 14 ] 만물의 첫 번째 원리는 물이라고 주장했으며, [ 15 ] 물을 운동과 변화를 포함하는 물질로 여겼습니다. 그의 이론은 전 세계 곳곳에서 수분이 관찰되었다는 사실로 뒷받침되었으며, 지구가 물 위에 떠 있다는 그의 이론과 일치했습니다. 그의 사상은 근동 신화적 우주 창조론과 주변의 오케아누스 (바다)가 모든 샘과 강의 근원이라는 호메로스의 주장에 영향을 받았을 가능성이 있습니다. [ 16 ]

아낙시만드로스는 물이 그 반대인 불을 낳을 수 없기 때문에 아르케가 될 수 없다고 주장했습니다.아낙시만드로스는 같은 이유로 흙 , 불 , 공기 , 물 등 의 어떤 원소 도 아르케가 될 수 없다고 주장했습니다.대신 그는 모든 것이 태어나고 돌아갈 불확실한 실체인 아페이론 의 존재를 제안했습니다. [ 17 ] [ 18 ] 아페이론 (무한 또는 경계가 없음)은 완전히 불확실한 것이며, 아낙시만드로스는 아마도 헤시오도스의 원래 혼돈 (하품하는 심연) 의 영향을 받았을 것입니다 .

아낙시만드로스는 아리스토텔레스 이후의 저술가들이 "기질"( Simplicius Phys. 150, 22) 이라고 부르는 것을 지칭하기 위해 아르케(arche)를 사용한 최초의 철학자였습니다 . [ 19 ] 그는 아마도 이 단어가 주로 "종류가 불확실한" 것을 의미하도록 의도했을 것이지만, "무한한 범위와 지속성을 가진" 것으로도 가정했습니다. [ 20 ] 시간적 무한성이라는 개념은 고대 그리스인들에게 종교적 불멸 개념에서 친숙했으며, 아낙시만드로스의 묘사는 이 개념에 적합한 용어로 이루어졌습니다. 이 아르케는 "영원하고 영원하다"라고 불립니다. (히폴리투스 I,6, I;DK B2) [ 21 ]

아낙시만드로스의 제자 아낙시메네스는 또 다른 이론을 내놓았습니다. 그는 원소 이론으로 돌아갔지만 이번에는 공기가 아니라 물을 아르케로 설정하고 공기에 신성한 속성을 부여했습니다. 그는 변화에 대한 이론을 제시하고 관찰을 통해 이를 뒷받침한 최초의 기록된 철학자였습니다. 희박화 와 응축 (희박화 또는 농축)의 두 가지 상반된 과정을 사용하여 그는 공기가 일련의 변화의 일부임을 설명합니다. 희박화된 공기는 불이 되고, 응축되면 먼저 바람이 되고, 그다음 구름, 물, 흙, 돌이 순서대로 됩니다. [ 22 ] [ 23 ] 아르케 는 기술적으로 모든 현실/현상의 기초가 됩니다.

아리스토텔레스

테렌스 어윈은 다음과 같이 썼습니다.

아리스토텔레스는 형이상학 제4권에서 모순금지의 법칙 을 "모든 원리 중 가장 확실한 원리" 라고 부릅니다 . [ 26 ]

현대 철학

데카르트

유클리드 의 영향을 크게 받은 데카르트는 합리주의자 였으며 , 정초주의 철학 체계를 창안했습니다 . 그는 오늘날 데카르트의 의심 이라고 불리는 의심의 방법을 사용하여 의심할 수 있는 모든 것을 체계적으로 의심한 끝에, 순전히 의심할 수 없는 진리만을 발견했습니다. 이러한 자명한 명제들을 공리, 즉 기초로 삼아, 그는 이 명제들로부터 자신의 지식 전체를 추론했습니다. 이러한 기초는 선험적 진리라고도 불립니다. 그의 가장 유명한 명제는 "나는 생각한다, 고로 존재한다 "(Je pense, donc je suis )인데, 그는 그의 저서 『방법서설』 에서 이를 "내가 찾고 있던 철학의 첫 번째 원리"라고 밝혔습니다.

데카르트는 철학의 원리 (1644) 서문에서 발췌한 다음 내용에서 첫 번째 원리의 개념을 설명합니다 .

물리학에서

이 섹션은 확장이 필요합니다 . 추가 정보를 제공해 주시면 도움이 될 것입니다 . ( 2023년 7월 )

물리학 에서 계산은 물리 법칙의 수준에서 직접 시작하고 경험적 모델 과 매개 변수 적합 과 같은 가정을 하지 않을 경우 첫 번째 원리 , 즉 ab initio 에서 시작되었다고 합니다 .

예를 들어, 실험 데이터에 모델을 맞추는 것을 포함하지 않는 근사치 집합 내에서 슈뢰딩거 방정식을 사용하여 전자 구조를 계산하는 것은 ab initio 접근법 입니다 .

또한 참조

• 추출
• 잔인한 사실
• 현재의
• 클린룸 구현

노트

1. ἐξ ἀρχῆς λόγος :
2.  복수형: ἀρχαί
3. / ˈ ɑːr k i / 고대 그리스어 : ἀρχή
4. ἐξ ἀρχῆς

참고문헌

1.  "First cause".www.britannica.com.2020년 10월 19일에 원본 문서에서보관됨. 2024년 12월 21일 에 확인함 .
2.  Vernon Bourke, 윤리학 , (뉴욕: The Macmillan Co., 1966), 14.
3.  ἀρχή 2020-09-27에 보관됨 Wayback Machine , 그리스어-영어 사전
4.  피터스 사전:1967:23
5.  배리 샌디웰(1996). 소크라테스 이전 철학 3권 . 라우틀리지, 뉴욕. ISBN 9780415101707.28,42쪽
6.  윌리엄 키스 챔버스 거스리(2000). 그리스 철학사 . 케임브리지 대학교 출판부. 58, 59쪽. ISBN 9780521294201.
7.  웨스트, 마틴 리치필드(1984). 오르페우스 시집 . 클래런던 출판부. 104-107 쪽  .
8.  이곳은 바람의 틈새로 묘사되며, 거의 무한한 심연( abyss )으로, 땅과 하늘, 바다, 그리고 타르타로스 의 뿌리와 끝이 있는 곳입니다. 헤시오도스의 신통기 온라인 판, 2016년 1월 9일 Wayback Machine 에 보관됨 . 번역: HGEvelyn White (1914): 116, 736-744
9.  윌리엄 키스 챔버스 거스리(2000). 그리스 철학사 . 케임브리지 대학교 출판부. ISBN 9780521294201.페이지 83
10.  "신성함은 시작도 없고 끝도 없는 것"이라는 문구는 탈레스 에게서 유래되었습니다.
11.  GSKirk, JERaven, M. Schofield (2003). 소크라테스 이전 철학자들 . 케임브리지 대학교 출판부. ISBN 9780521274555.24쪽
12.  아리스토텔레스, 형이상학 A, 983, b6ff).
13.  Lindberg, David C., 서양 과학의 시작(The Beginnings of Western Science) ( 시카고 대학교 출판부 , 2010), 28-9쪽.
14.  펠드먼, 아브라함(1945년 10월). "탈레스에 대한 생각". The Classical Journal . 41 (1): 4– 6. ISSN 0009-8353 . JSTOR 3292119 .  
15.  [DK 7 B1a.]
16.  GS Kirk, JE Raven, M. Schofield (2003). 소크라테스 이전 철학자들 . 케임브리지 대학교 출판부. ISBN 9780521274555.페이지 89, 93, 94
17.  심플리키우스, 아리스토텔레스의 물리학에 대한 논평 (24, 13).[DK 12 A9, B1]
18.  Curd, Patricia, 소크라테스 이전 독자: 선택된 단편과 증언 ( Hackett Publishing , 1996), 9, 11 & 14쪽.
19.  윌리엄 키스 챔버스 거스리(2000). 그리스 철학사 . 케임브리지 대학교 출판부. ISBN 9780521294201.55, 77쪽
20.  GSKirk, JERaven, M. Schofield (2003). 소크라테스 이전 철학자들 . 케임브리지 대학교 출판부. ISBN 9780521274555.페이지 110
21.  윌리엄 키스 챔버스 거스리(2000). 그리스 철학사 . 케임브리지 대학교 출판부. ISBN 9780521294201.페이지 83
22.  다니엘 W. 그레이엄(Daniel W. Graham), 인터넷 철학 백과사전. 아낙시메네스 .
23.  CSKirk, JERaven, M. Schofield (2003). 소크라테스 이전 철학자들 . 케임브리지 대학교 출판부. ISBN 9780521274555.144쪽
24.  배리 샌디웰(1996). 소크라테스 이전 철학. 3권 . 라우틀리지, 뉴욕. ISBN 9780415101707.142-144쪽
25. Irwin, Terence (1988). 아리스토텔레스의 제1원리 . 옥스퍼드: 옥스퍼드 대학교 출판부 . 3쪽. ISBN  0-19-824290-5.
26. "아리스토텔레스 - 형이상학 - 책 4" .
27.  제1권, 원칙, 프랑스어판 서문. 저자가 이 책의 번역자에게 보낸 서한으로, 이 부분은 서문으로 활용될 수 있음, 181쪽.

추가 읽기

• 오레스테스 J. 곤잘레스, 토마스 아퀴나스의 악투스 에센디 와 제1원리의 습관. 2021년 3월 23일 Wayback Machine , New York: Einsiedler Press, 2019 에 보관됨 .

공리 (axiom) , 공준(postulate) , 또는 가정(assumption) 은 참 이라고 받아들여지는 진술 이며, 추가적인 추론과 논증의 전제 또는 출발점으로 사용됩니다. 이 단어는 고대 그리스어 ἀξίωμα ( axíōma ) 에서 유래되었으며 , '가치 있거나 적합하다고 생각되는 것' 또는 '자신을 명백하다고 여기는 것'을 의미합니다. [ 1 ] [ 2 ]

정확한 정의는 연구 분야에 따라 다릅니다. 고전 철학 에서 공리는 논쟁이나 의문 없이 받아들여질 만큼 명백 하거나 잘 확립된 진술입니다. [ 3 ] 현대 논리학 에서 공리는 추론의 전제 또는 출발점입니다. [ 4 ]

수학 에서 공리 는 " 논리적 공리 " 또는 " 비논리적 공리 "일 수 있습니다. 논리적 공리는 자신이 정의하는 논리 체계 내에서 참으로 간주되며, 종종 기호 형태로 표현됩니다(예: ( A 와 B )는 A를 함축함 ). 반면 비논리적 공리는 특정 수학 이론의 정의역에 속하는 원소들에 대한 실질적인 명제입니다. 예를 들어 정수 연산에서 a  + 0 =  a 와 같습니다.

비논리적 공리는 "가정", "가정" 또는 "고유 공리"라고도 합니다. [ 5 ] 대부분의 경우 비논리적 공리는 수학적 이론을 구축하기 위해 연역적으로 사용되는 형식적인 논리적 표현일 뿐이며, 본질적으로 자명할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다(예: 유클리드 기하학 의 평행 공리 ). 지식 체계를 공리화한다는 것은 그 주장이 작고 잘 이해되는 일련의 문장(공리)에서 도출될 수 있음을 보여주는 것이며, 일반적으로 주어진 수학적 영역을 공리화하는 방법은 여러 가지가 있습니다.

모든 공리는 다른 명제들이 논리적으로 도출되는 출발점이 되는 명제입니다. 어떤 공리가 "참"이라는 것이 의미 있는지(그리고 만약 그렇다면 무엇을 의미하는지)는 수학 철학 에서 논쟁의 대상입니다 . [ 6 ]

어원

영어 : axiom (공리)이라는 단어는 그리스어 ἀξίωμα( axíōma ) 에서 유래 했는데 , 이는 동사 ἀξιόειν ( axioein )에서 파생된 동사 명사 로 "가치 있다고 여기다"라는 뜻이지만, "요구하다"라는 뜻도 있습니다. ἀξιος ( áxios )는 "균형을 이루다"라는 뜻으로, "(같은) 가치를 지닌", "가치 있는", "적절한"을 의미합니다. 고대 그리스 철학자 와 수학자들은 공리를 즉각적으로 명백한 명제, 즉 여러 연구 분야의 기초가 되고 공통적이며, 추가적인 논증이나 증명 없이도 자명하게 참인 것으로 여겼습니다. [ 7 ]

가설(postulate) 이라는 단어의 근본적인 의미 는 "요구하다"입니다. 예를 들어, 유클리드는 어떤 일이 가능하다는 것에 동의할 것을 요구합니다(예: 두 점은 직선으로 연결될 수 있음). [ 8 ]

고대 기하학자들은 공리와 공준을 어느 정도 구분했습니다. 유클리드의 저서에 대한 논평에서 프로클로스는 " 게미누스는 이 [네 번째] 공준은 공준이 아니라 공리로 분류되어야 한다고 주장했습니다. 왜냐하면 이 공준은 처음 세 공준처럼 어떤 구성의 가능성을 주장하는 것이 아니라 본질적인 속성을 표현하기 때문입니다."라고 언급했습니다. [ 9 ] 보에티우스는 '공준'을 ' petitio' 로 번역 하고 공리를 ' notiones communes' 라고 불렀지만 , 이후 사본에서는 이 관용어가 항상 엄격하게 지켜지지는 않았습니다. [ 인용 필요 ]

역사적 발전

초기 그리스인들

전제(기존 지식)에서 건전한 논증( 삼단논법 , 추론 규칙 ) 을 적용하여 결론(새로운 지식)이 도출되는 논리 연역적 방법은 고대 그리스인들에 의해 개발되었으며 현대 수학의 핵심 원리가 되었습니다. 동어반복을 제외하면 아무것도 가정하지 않으면 아무것도 추론할 수 없습니다. 따라서 공리와 공준은 주어진 연역적 지식의 기초가 되는 기본 가정입니다. 이들은 증명 없이 받아들여집니다. 다른 모든 주장( 수학의 경우 정리 )은 이러한 기본 가정의 도움을 받아 증명해야 합니다. 그러나 수학적 지식에 대한 해석은 고대에서 현대로 바뀌었고 결과적으로 공리 와 공준이라는 용어는 아리스토텔레스 와 유클리드 에게와는 약간 다른 의미를 갖습니다 . [ 7 ]

고대 그리스인들은 기하학을 여러 과학 중 하나로 여겼 으며, 기하학의 정리를 과학적 사실과 동등하게 여겼습니다. 따라서 그들은 오류를 피하고 지식을 구조화하고 전달하는 수단으로 논리 연역적 방법을 개발하고 활용했습니다. 아리스토텔레스의 사후 분석론은 고전적 관점에 대한 명확한 설명입니다. [ 10 ]

고전 용어로 "공리"는 여러 과학 분야에 공통적인 자명 한 가정을 지칭합니다. 좋은 예로는 다음과 같은 주장이 있습니다.

동등한 사람들로부터 동등한 양을 가져오면 동등한 양이 나옵니다.

다양한 과학의 기초에는 증명 없이 받아들여진 몇 가지 추가적인 가설들이 있었습니다. 이러한 가설을 공준(功順) 이라고 불렀습니다. 공리는 많은 과학에 공통적이었지만, 각 과학의 공준은 서로 달랐습니다. 공준의 타당성은 실제 경험을 통해 입증되어야 했습니다. 아리스토텔레스는 학습자가 공준의 진실성에 대해 의심을 품으면 과학의 내용을 성공적으로 전달할 수 없다고 경고했습니다. [ 11 ]

고전적 접근 방식은 유클리드의 기하학 원론 [ a ] 에서 잘 설명되어 있습니다 . 여기서는 가정 목록(우리의 경험에서 도출된 상식적인 기하학적 사실)이 제시되고 그 뒤에 "일반적인 개념"(매우 기본적이고 자명한 주장) 목록이 제시됩니다.

가정

1. 어느 지점에서든 다른 어느 지점으로든 직선을 그릴 수 있습니다 .
2. 선분을 양방향으로 연속적으로 확장하는 것은 가능합니다 .
3. 임의의 중심과 임의의 반지름을 갖는 원을 묘사하는 것이 가능합니다 .
4. 모든 직각은 서로 같다는 것은 사실입니다 .
5. (" 평행공준 ") 두 직선에 걸쳐 있는 직선이 같은 쪽의 내각이 두 직각보다 작을 때, 두 직선을 ​​무한히 연장하면 두 직각보다 작은 내각 이 있는 쪽에서 만난다는 것은 사실입니다.

일반적인 개념

1. 같은 것과 같은 것은 서로 같다.
2. 같은 수에 같은 수를 더하면 전체가 같아집니다.
3. 같은 수에서 같은 수를 빼면 나머지는 같습니다.
4. 서로 일치하는 것은 서로 같다.
5. 전체는 부분보다 크다.

현대적 발전

지난 150년 동안 수학이 얻은 교훈은 수학적 주장(공리, 공준, 명제 , 정리)과 정의에서 의미를 떼어내는 것이 유용하다는 것입니다. 어떤 연구에서든 원시적인 개념 , 즉 정의되지 않은 용어나 개념이 필요하다는 것을 인정해야 합니다 . 이러한 추상화나 형식화는 수학적 지식을 더욱 일반화하고, 다양한 의미를 가질 수 있게 하며, 따라서 다양한 맥락에서 유용하게 만듭니다. 알레산드로 파도아 , 마리오 피에리 , 주세페 페아노 는 이러한 움직임의 선구자였습니다.

구조주의 수학은 더 나아가 특정 응용 분야를 염두에 두지 않고 이론과 공리(예: 체론, 군론, 위상수학, 벡터 공간)를 발전시킵니다 . " 공리 " 와 " 공준 " 의 구분은 사라집니다. 유클리드의 공준은 풍부한 기하학적 사실로 이어진다는 점에서 유리하게 동기를 부여받습니다. 이러한 복잡한 사실의 진실성은 기본 가설의 수용에 달려 있습니다. 그러나 유클리드의 다섯 번째 공준을 제외하면 더 넓은 맥락에서 의미를 갖는 이론(예: 쌍곡 기하학 )을 얻을 수 있습니다. 따라서 "선"이나 "평행"과 같은 용어를 더 유연하게 사용할 준비가 되어 있어야 합니다. 쌍곡 기하학의 발전은 수학자들에게 공준을 경험에 기반한 사실이 아니라 순전히 형식적인 진술로 간주하는 것이 유용하다는 것을 가르쳐 주었습니다.

수학자들이 체의 공리를 활용할 때 , 그 의도는 더욱 추상적이 됩니다. 체가론의 명제는 어떤 특정 응용 분야와도 관련이 없습니다. 수학자들은 이제 완전히 추상화된 방식으로 작업합니다. 체의 예는 많지만, 체가론은 그 모든 체에 대한 정확한 지식을 제공합니다.

체 이론의 공리들이 "증명 없이 참으로 간주되는 명제"라고 말하는 것은 옳지 않습니다. 오히려 체 공리들은 제약 조건들의 집합입니다. 만약 어떤 주어진 덧셈과 곱셈 체계가 이러한 제약 조건들을 만족한다면, 우리는 그 체계에 대한 많은 추가 정보를 즉시 알 수 있게 됩니다.

현대 수학은 수학적 이론을 수학적 대상으로, 그리고 수학 자체를 논리학의 한 분야로 간주할 수 있을 정도로 그 토대를 형식화했습니다 . 프레게 , 러셀 , 푸앵카레 , 힐베르트 , 괴델은 이러한 발전의 주요 인물들입니다.

현대 수학에서 얻은 또 다른 교훈은 숨겨진 가정을 찾아내기 위해 주장된 증명을 주의 깊게 조사하는 것입니다.

현대적 의미에서 공리집합이란, 잘 정의된 특정 규칙을 적용하여 다른 공식적으로 진술된 명제들이 도출되는, 공식적으로 진술된 명제들의 집합을 의미합니다. 이러한 관점에서 논리학은 또 다른 형식 체계일 뿐입니다. 공리집합은 일관성을 가져야 하며 , 공리들로부터 모순을 도출하는 것이 불가능해야 합니다. 또한 공리집합은 중복되지 않아야 합니다. 다른 공리들로부터 추론될 수 있는 명제는 공리로 간주될 필요가 없습니다.

현대 논리학자들은 수학의 다양한 분야, 아마도 모든 수학 이 일관된 기본 공리들의 집합에서 도출될 수 있다는 것을 초기부터 희망했습니다. 형식주의 프로그램의 초기 성공은 힐베르트의 유클리드 기하학 [ b ] 의 형식화 [ 12 ] 와 그 공리들의 일관성에 대한 관련 증명이었습니다.

더 넓은 맥락에서, 모든 수학을 칸토어의 집합론 에 기반하려는 시도가 있었습니다 . 러셀의 역설 과 이와 유사한 순진한 집합론 의 이율배반이 등장하면서, 그러한 체계는 모순될 가능성이 제기되었습니다.

형식주의 프로젝트는 1세기 전, 괴델이 충분히 큰 공리 집합( 예: 페아노 공리 )이 그 공리 집합과 독립적인 진리를 갖는 명제를 구성할 수 있음을 보여주면서 좌절을 겪었습니다. 추론적 으로, 괴델은 페아노 산술과 같은 이론의 무모순성은 그 이론의 범위 내에서 증명할 수 없는 명제임을 증명했습니다. [ 13 ]

페아노 산술의 일관성을 믿는 것은 자연수 체계 , 즉 무한 하지만 직관적으로 접근 가능한 형식 체계에 의해 충족되기 때문에 합리적입니다. 그러나 현재 집합론에 대한 현대 체르멜로-프렌켈 공리 의 일관성을 입증할 수 있는 방법은 알려져 있지 않습니다. 더 나아가 강제 기법 ( 코헨 )을 사용하면 연속체 가설 (칸토르)이 체르멜로-프렌켈 공리와 독립적임을 보일 수 있습니다 . [ 14 ] 따라서 이 매우 일반적인 공리 집합조차도 수학의 확실한 기초로 간주될 수 없습니다.

다른 과학들

실험 과학은 수학과 논리와는 달리, 일반적인 기초 명제를 가지고 있으며, 이를 바탕으로 연역적 추론을 구축하여 속성을 예측하는 명제들을 표현할 수 있습니다. 이러한 명제는 여전히 일반적이거나 특정 실험적 맥락에 훨씬 더 특화되어 있습니다. 예를 들어, 고전 역학의 뉴턴 법칙 , 고전 전자기학의 맥스웰 방정식 , 일반 상대성 이론의 아인슈타인 방정식 , 멘델의 유전 법칙, 다윈의 자연선택 법칙 등이 있습니다. 이러한 기초 명제는 일반적으로 수학적 공리 와 구별하기 위해 원리 또는 공준 이라고 불립니다 .

사실, 수학에서 공리의 역할과 실험 과학에서 공준의 역할은 다릅니다. 수학에서는 공리를 "증명"하거나 "반증"하지 않습니다. 수학적 공리의 집합은 정리가 논리적으로 따르는 개념적 영역을 고정하는 규칙의 집합을 제공합니다. 반대로, 실험 과학에서는 공준의 집합이 실험 결과와 일치하거나 일치하지 않는 결과를 추론할 수 있도록 해야 합니다. 공준이 실험적 예측을 추론할 수 없다면, 과학적 개념적 틀을 설정하지 못하며, 이를 완성하거나 더 정확하게 만들어야 합니다. 공준이 실험 결과에 대한 예측을 추론할 수 있다면, 실험과의 비교를 통해 공준이 제시하는 이론을 반증( 반증 )할 수 있습니다. 이론은 반증되지 않는 한 유효한 것으로 간주됩니다.

수학적 공리와 과학적 공준 사이의 전환은 항상 다소 모호하며, 특히 물리학에서는 더욱 그렇습니다. 이는 물리 이론을 뒷받침하기 위해 수학적 도구가 과도하게 사용되기 때문입니다. 예를 들어, 뉴턴의 법칙을 도입하더라도, 그 법칙들이 함축하는 유클리드 기하학이나 미분학을 전제 조건으로 삼는 경우는 드뭅니다. 알베르트 아인슈타인이 특수 상대성 이론 을 처음 도입했을 때 , 불변량이 더 이상 유클리드 길이와 같지 않다는 사실이 더욱 분명해졌습니다.엘

(정의됨)엘2=엑스2+와이2+지2

) > 그러나 민코프스키 시공간 간격에스

(정의됨)에스2=기음2티2−엑스2−와이2−지2

), 그리고 일반 상대성 이론 에서는 평평한 민코프스키 기하학이 곡선 다양체 에서 의사 리만 기하학 으로 대체됩니다 .

양자 물리학에서 두 세트의 가정이 얼마 동안 공존해 왔으며, 이는 반증의 아주 좋은 예를 제공합니다. ' 코펜하겐 학파 '( 닐스 보어 , 베르너 하이젠베르크 , 막스 보른 )는 분리 가능한 힐베르트 공간에서 벡터('상태')로 양자 시스템을 설명하고 이 힐베르트 공간에서 작용하는 선형 연산자로 물리량을 설명하는 완전한 수학적 형식주의를 갖춘 작동적 접근 방식을 개발했습니다. 이 접근 방식은 완전히 반증 가능하며 지금까지 물리학에서 가장 정확한 예측을 내놓았습니다. 하지만 자연스럽게 묻는 질문에 대한 답을 허용하지 않는다는 불만족스러운 측면이 있습니다. 이러한 이유로 알베르트 아인슈타인, 에르빈 슈뢰딩거 , 데이비드 봄이 얼마 동안 또 다른 ' 숨겨진 변수 ' 접근 방식을 개발했습니다. 이는 얽힘 과 같은 현상에 대한 결정론적 설명을 제공하기 위해 만들어졌습니다 . 이 접근법은 코펜하겐 학파의 설명이 완전하지 않다고 가정하고, 아직 알려지지 않은 변수를 이론에 추가하여 이론이 답하지 못하는 질문들( 1935년 EPR 역설 로 논의된 그 창시 요소들 )에 답할 수 있도록 해야 한다고 가정했습니다. 이 아이디어를 진지하게 받아들인 존 벨은 1964년에 코펜하겐과 숨은 변수 사례에서 다른 실험 결과( 벨의 부등식 ) 를 낳을 예측을 도출했습니다 . 이 실험은 1980년대 초 알랭 아스펙이 처음 수행했으며 , 그 결과 단순한 숨은 변수 접근법은 배제되었습니다(정교한 숨은 변수는 여전히 존재할 수 있지만, 그 속성은 해결하려는 문제보다 더 혼란스러울 것입니다). 이는 양자 물리학의 개념적 틀이 이제 완전하다고 볼 수 없다는 것을 의미하지 않습니다. 왜냐하면 여전히 몇 가지 미해결 문제(양자 영역과 고전 영역 사이의 한계, 양자 측정 중에 일어나는 일, 우주 자체와 같은 완전히 폐쇄된 양자 시스템에서 일어나는 일 등)가 존재하기 때문입니다.

수학적 논리

수리 논리학 분야에서는 공리의 두 가지 개념, 즉 논리적 공리 와 비논리적 공리를 명확하게 구분합니다 (이는 각각 "공리"와 "가정"을 구분했던 고대의 구분과 다소 유사합니다).

논리적 공리

이는 형식 언어 에서 보편적으로 유효한 특정 공식 , 즉 모든 값 할당 에 의해 충족되는 공식입니다. 일반적으로 언어의 모든 동어반복을 증명하기에 충분한 최소한의 동어반복 집합을 논리적 공리로 간주합니다. 술어 논리 의 경우, 엄밀한 의미에서 동어반복이 아닌 논리적 진리를 증명하기 위해서는 필요한 것보다 더 많은 논리적 공리가 필요합니다 .