2011 여름 연합연수 방법론 강의(기학학 1~12학년_)

[삐리리]

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방법론_기하학 1~12학년_1/5 (7월 31일 일요일)

  이렇게 많은 선생님이 계신 줄 몰랐습니다. 아침에 한 것에 대해 조금 보충하겠습니다. 이 지구상에 아주 확실한 ... 있습니다. 우리의 ...과정을 여기에다 찾으려고 해요. 수학적이지 않은 이 세계의 모든 것을 수학적인 것으로 하려고 합니다. 예를 들어 기하학은 어떤 형태를 찾는 것입니다. 세상의 모든 것에 대해서도 수학은 어떤 하나를 찾는 것입니다. 그래서 실질적인 세상을 찾는 것입니다. 수학으로만 찾을 때 실질적인 것을 찾아낼 수 있습니다. 사람이 걸으면 기계적으로 수학적으로 그것을 묘사하는데요. 사람은 사실 어디로 가려는 것이지 수학적 기계적 물리적인 것을 계산하려는 것은 아닙니다. 그런 것을 따지다 보면 인간적인 것을 잃어버립니다. 수학이란 인간적인 내면의 연관성을 찾아보는 것입니다.

  인간의 형상을 보게 되면 세 가지로 나누어져 있는 것을 알 수 있습니다. 닫혀져 있는 형상인 머리, 반쯤은 열려 있는 가슴 그리고 공간을 향하여 직선으로 뻗어있는 사지의 세 부분이 있습니다. 인간학적으로 보아서 이 세 가지의 중심이 어디에 있는지 살펴보겠습니다. 머리는 닫혀있고 생각하는 중심지이고 사고를 하는 기관이며 완전히 닫혀 있습니다. 가슴 부분은 감정을 부분으로 닫힌 것이 아니라 공간에 대해 열려 있습니다. 우리 사지의 중심이 어디에 있는지 알아봅니다. 안에 있는 것이 아니고 바깥에 있는 것입니다. 팔을 뻗으면 끝도 없이 뻗어나갈 수 있습니다. 우리가 팔을 둥글게 모으면 그 안에 중심이 생기지요. 팔을 펼치면 세상을 향해 무엇을 할 수 있게 됩니다. 루돌프 슈타이너는 이것도 하나의 기하학적 요소라고 했습니다.

  인간의 각각의 기관들도 기하학적으로 만들어져 있어 우리 몸에서 기하학을 찾아낼 수 있습니다. 발도르프학교에서는 아이들에게 형태 그리기를 하게 합니다. 처음에는 곡선과 직선으로 시작하고 2,3학년 되면 대칭으로 가지요. 그 형태그리기는 나중에 기하학의 기초가 됩니다. 형태가 나선인지 원인지는 커다란 의미가 없습니다. 삼각형, 원, 사각형에 대해서는 6학년 때 어떤 원칙이 있는지 찾아내게 됩니다. 그에 앞서 여러 형태들을 연습합니다. 기하학적 형태들을 스스로 경험하고 있는 것입니다. 어른들은 아이들이 그리다가 아름다운 것들을 만들면 잘했다고 말합니다. 그러나 그 결과가 중요한 것이 아니라 형태를 만드는 그 과정이 중요한 것입니다. 머리로 기하학에 들어가는 것이 아니라 경험을 통해 의지로 기하학에 들어가게 됩니다.

  학생들에게 직선 형태로 걷게 하면 그들은 하나의 기하학적 형태를 경험하게 됩니다. 이쪽으로 걸어갈 때 목적 없이 가면, 깨끗한 직선이 만들어지지는 않습니다. 그러나 목적을 가지고 걸어가면 깨끗한 직선을 만들 수 있습니다. 지금 직선, 곡선 이런 것을 자기가 경험하는 일을 자꾸 하면, 나중에는 생각을 가지고 할 수 있게 됩니다. 이처럼 먼저 그것을 경험해야 나중에 그 형태를 만들 수 있습니다. 상급에서 기하학이나 수학에서 어려움을 겪는 학생들을 보게 되는 일이 있습니다. 그 학생들은 자기의 기학학적인 경험이 없기 때문에 그런 경우가 많습니다. 자기 경험이 있어야 그 위에 이해하는 힘이 생기게 됩니다. 이해라는 것은 먼저 경험이 선행되어야 가능한 것입니다.

  요즘은 어렸을 때 기하학적 형태를 경험하는 것이 터무니없이 모자랍니다. 하루 종일 미디어 앞에 앉아 있어서 움직임이 거의 없습니다. 미국에서 진행된 한 연구에서 4살짜리 아이들을 뒤로 걷게 했습니다. 유치원에 갈 나이의 아이들에게 뒤로 걷기를 시켰을 때, 그 이전에 많이 움직인 시골 아이들은 어렵지 않게 뒤로 걷기를 해냈습니다. 반면 대도시에서 자란 아이들은 뒤로 걷기를 잘하지 못했습니다. 전형적인 미국 대도시 아이들은 움직임이 많이 부족합니다. 기하학을 잘할 수 있기 위해서는 우선 체내에 경험이 많이 쌓여야 합니다. 기하학을 배우게 하려면 그 이전에 기하학적 형태를 경험해야 한다는 것입니다.

  우리학교에서도 기하학을 배우는데 어려움을 가진 학생들이 있어서 치유하는 분들과 같이 작업을 했었습니다. 문제가 있으면 스스로 문제를 잘 생각해 봐야 합니다. 수업준비를 잘못해서 그런 건가요? 아이들은 학교 오기 전에 충분히 놀면서 충분한 기하학적 경험을 축적합니다. 앞으로 가고 뒤로 가고 하면서 무의식적으로 기학적인 경험을 하는 것입니다. 어린 시절에 그러한 경험이 결여되었다면, 그를 보충하기 위해 다른 과정을 해야 합니다. 기하학을 제대로 할 수 없는 아이들은 그 이전 경험이 없기 때문에 그런 것입니다. 오이리트미 교사나, 체육교사의 도움을 받아서 뒤늦게 라도 아이들이 자기 육체를 체험할 수 있게 해야 합니다.

  1,2학년 아이들에게 원을 그리게 해보면 그리지 못합니다. 원을 처음 그리게 하면 잘 그리지 못합니다. 끝이 맞지 않는다거나 아니면 원의 모양이 제대로 나오지 않습니다. 이 아이들이 많은 반복적인 체험을 통해서, 자신의 사지를 가지고 역동적인 힘으로 다시 원점으로 돌아오는 것을 기쁨으로 체험합니다. 유치원이나 1,2학년 시기에 많은 체험을 한 아이들은 나중에 추상적인 것을 이끌어낼 수 있는 기초적인 힘을 갖게 됩니다. 그래서 6학년 시기가 되면 한 점에서 같은 거리에 있는 점들이 모인 것이 원이라는 것을 알게 됩니다. 그들은 자신들이 경험한 것들을 통해 규칙을 찾아내게 되는데, 그것을 가능하게 하는 것이 정신적인 빛입니다. 그 이전에 경험한 것들을 더 나중에 이해하게 되지요.

  발도르프학교가 아닌 일반 학교에서는, 교사가 원의 법칙에 대해 ‘한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 집합’이라고 그냥 설명합니다. 6학년 학생이 되면 아이들의 내면에 무엇이 작동이 되는가에 대해서 생각해 봐야 합니다. 의지를 통하여 경험하는 것들이 점차적으로 의지의 힘으로 변해갑니다. 그리고 아이들이 6학년이 되면 감정과 의지의 힘으로 다시 자기의 육체 안으로 들어갑니다. 학생들은 의지와 감정의 힘으로 많은 것들을 경험해왔습니다. 6학년 때에는 밖에 있었던 의지와 감정이 몸 안으로 들어옵니다. 유아들이 어떻게 움직이는지 살펴보면, 바깥세상을 향해 움직이는 것처럼 보입니다. 그처럼 전에는 밖에 있었던 것들이, 사춘기 전인 6, 7학년 때가 되면 근육이나 뼈 속으로 들어가서 무거워집니다. 이때가 되면, 더 이상 그 전처럼 가볍거나 편하지 않습니다. 이 시기 이전에 하나의 행위로 그리기를 했던 것을 이 시기에는 뼈 속으로 들어가는 기하학을 하는 것입니다.

  기하학의 규칙을 배우는 것이 아니라, 자기가 가진 몸 안으로 들어가는 것을 돕기 위해 기하학을 배웁니다. 처음에는 이해가 잘 안될 것입니다. ‘어떻게 이 아이에게 더 깊이 기하학을 넣어줄 수 있는가’를 이해하는 것은 쉽지 않습니다. 다시 말하지만 6,7학년 시기에는 기하학을 법칙을 배우는 것이 아니라, 이 전의 경험을 자신의 육체로 가져가기 위해 기하학을 배우는 것입니다. 우리는 어떤 상상이 있으면 이것을 세상에 보여주려고 합니다. 우리가 상상한 것을 밖에 내보내면 만족할 수 있습니다. 혼자만이 가지는 것이 아니라 함께 공유하기 때문입니다. 우리의 감정도 혼자만 가지고 있는 것보다 밖으로 내보내서 그래서 자기가 느끼고 그런 것을 밖의 사람에게 내보이면서 만족하게 됩니다. 생각해보십시오. 4학년 때 새로운 변화가 일어나는 시기를 생각해 보세요. 그 전에는 수를 전체적으로 갔습니다. 루비콘이 어떤 시기인가요? 루비콘 시기를 지나면서부터 세상과 일치하던 것이 이제 아니구나 하는 것을 알게 됩니다. 이때 수학에서는 나누기 셈을 배우게 됩니다. 4학년 루비콘 지날 때는 아이들도 힘든 시기입니다. 알면서도 알지 못하는 시기이기 때문에 힘든 나이입니다. 4학년 시기에 아이들은 이해를 못하면서도 내면에서 변화가 일어나는 것을 느끼며 세상과 일치되지 않고 분리되는 시기입니다. 이 시기에 나누기 셈을 하면서 세상과의 분리와 유사한 것을 배움에서 체험하게 됩니다. 그렇게 함으로써 아이들은 세상과 단절된 것 같은 불안한 마음이 안정시키게 됩니다.

  어릴 때는 아이들이 놀면서 기하학이 무엇인지 모르는 상태에서 익히게 되지만, 이제 그것을 느끼면서 알면서 기하학을 배우는 시기가 됩니다. 다시 말하자면, 이 시기에 아이들은 감정과 의지로서 아이들이 자기 육체를 깊이 느낍니다. 그래서 기하학을 머리로만 받아들이는 것이 아니라 의지와 감정을 통해 몸으로 받아들이게 됩니다. 기하학이 몸으로 들어오면서 자신의 뼈와 근육을 통제할 수 있는 힘이 자라게 됩니다. 그렇기 때문에 이 시기 이전에는 근육을 튼튼하게 하는 스포츠를 해도 효과가 없습니다. 학교에서는 6,7학년 아이들에게 기계체조를 시키기도 합니다. 기계체조 안에도 수많은 기하학이 들어있습니다. 이 시기 아이들이 자기 육체를 감정과 의지로 일치시키면서 내가 ‘이 세상의 중심이다. 내가 있는 곳이 세상의 중심이다’라는 것을 느껴야 합니다. 이 시기에 기하학을 하면서 원을 그리게 되면 중심에 대해서 느끼게 됩니다. 이 시기 이전에 그린 원과 이 시기에 그리는 원은 그 느낌이 다르게 됩니다.

  슈타이너가 간절히 이야기 하는 것이 있습니다. 그것은 육체적으로 발달해서 내면적으로 발달할 때, 그 때 기하학을 하도록 하라는 것입니다. (저학년 형태그리기 공책을 보여주시면서) 여러분들 모두 여기에 나오는 모양들은 아실 것입니다. 모두 공부하셨을 것입니다. 아마도 여러 선생님들은 수업도 하셨을 것입니다. 컴퍼스 없이 이런 그림을 바닥에 크게 그리거나 종이에 그리기도 했을 것입니다. 색깔로 예쁘게 만들기도 했을 것입니다. 3학연 아이들은 자와 컴퍼스 없이 아주 자연스럽게 90도, 60도 각을 이용해서 이런 그림을 그립니다. 보시듯이 각도가 맞지 않는 것을 보실 것입니다. 어떤 부모님들은 자가 있는데 왜 그것을 사용하지 않느냐고 묻습니다. 이런 것이 어른들의 사고방식에서 오는 전형적인 것입니다. 즉, 결과를 보고자 하는 욕심입니다. 중요한 것은 아이들이 체험을 하면서 느끼게 만드는 것입니다. 그 느낌을 강하게 하려고 색깔을 넣는 것입니다. 이 그림을 보시면 한 번은 위로 가고 한번은 밑으로 가고 하는 것이 여러 번 반복됩니다. 이 작업은 발도르프학교에서 3, 4학년에서 하는데 어른들이 하기에도 어렵습니다. 발도르프학교 선생님들은 잘 그리지만 부모님들은 잘 그리지 못합니다.

  발도르프학교에서는 기하학을 하는데 굉장히 많은 노력을 들입니다. 이에 비해서 요즘 많은 사람들이 컴퓨터 프로그램을 통해 기하학을 하는 방향으로 가고 있습니다. 제가 공립학교 교사에게 질문을 한 적이 있습니다. “컴퓨터로 기하학을 공부하는 것을 좋게 생각합니까?”하고 물었더니, “예, 좋게 생각합니다. 아이들에게 정확하게 하는 것을 보여주는 것이 좋지 않습니까?”라고 대답했습니다. 아이들에게 컴퓨터를 통해 기하학을 하게 하면 진실이 아니라 거짓을 가르치는 결과가 됩니다. 이 그림은 5학년이 그린 것인데 자나 컴퍼스를 사용하지 않고 그린 것인데 여기에 다양한 사항들이 나타나 있습니다. 원 속의 별들, 여러 가지 대칭들 등등.  내가 아이들을 가르치면서 체험한 것에 비추어 볼 때, 아이들이 이것을 쉽게 해내지 못하는 경우가 많습니다. 잘 되지 않으면 실망하고 못한다고 말합니다. 다시 해보라고 해서 해보지만 잘 되지 않으면 실망하고 이제는 하지 않으려고 하기도 합니다.

  20년 전에 맡은 학급에서는 아이들이 큰 어려움 없이 이것을 해냈습니다. 한국 상황은 잘 모르겠는데, 내가 맡은 학급의 학생 35명 중에서 5명 정도가 잘 해내고 또 5명 정도는 잘 하려는 의지를 가지고 있지만 나머지 학생은 빨리 의지를 잃어버립니다. 그래서 반 수 이상의 학생이 의지를 잃어버리는데 어떻게 이 아이들을 끌어올릴까 고민을 했습니다. 그래서 아이들에게 3학년 말기나 4학년 수준의 과제를 줍니다. 그러면 ‘내가 뭐 3학년이나 4학년인가? 나는 5학년인데....’라고 말합니다. 이럴 때에는 방향을 다른 쪽으로 돌려 아이들에게 체험할 수 있는 기회를 만들어줍니다. 여러분들도 12감각에 대해 많이 들어보셨으리라 생각합니다. 어떻게 하면 아이들이 평형감각을 많이 체험할 수 있을까를 고민하고 다시 다른 교사들과 의논해서 아이들에게 평형감각을 발전시킬 수 있는 기회를 만들어 줍니다. 다행히도 빨리 해내는 아이들이  있습니다. 4, 5학년 반에서 성공적이었지요.

  미국의 경우 10년 전에 아이들이 뒤고 걷는 것에 어려움이 있다고 했습니다. 10년이 지난 지금도 뒤로 걷는 것이 어렵다고 하는데, 다행히도 우리 아이들은 아직 뒤로 걷기를 잘합니다. 독일에도 유치원에서 컴퓨터 수업을 합니다. 왜 선생님들이 다 아시는 그림을 보여 주냐 하면 아이들이 어떤 힘으로 이것을 어떻게 하고 어떻게 이것을 느끼는지 생각해보고자 하는 것입니다.  나는 이 모양들을 그리고 나면 다 붙여놓고 아이들과 앉아서 같이 봅니다. 노란색이 어디로 올라가고 어디로 가는가를 봅니다. 밑에는 어떤 모양인지 위는 어떤 모양인지 아이들에게 말하게 합니다. 어떤 아이들은 색깔에 대해 말하기도 하고, 어떤 아이들은 잘못된 것을 지적하기도 합니다. 6,7학년에서 기하학을 하는데 중요한 것은 정확성입니다. 저학년 때는 아이들과 같이 앉아서 생각해보는 것을 하지 않았지만, 6,7학년에서는 같이 앉아서 보고 생각해보게 하는 것은 그렇게 할 수 있는 힘이 아이들에게 있기 때문입니다. 구약 성서를 보면 신이 세상을 보고 세상을 잘 만들었다고 합니다. 아이들과 앉아서 자신들의 작업 결과를 보면서 뭐가 잘되고 뭐가 못 되었는지 아이들이 생각하고 말하게 합니다. 신은 자신의 작품을 보고 만족스러워했지만, 아이들은 자기가 한 작품을 자랑스러워하는 것이 아니라 자기 작품을 거리를 두고 바라보게 됩니다. 아이들이 그리기만 하다 보면 그리기 속에서 빠져 잠만 잘 수 있습니다. 그래서 그린 것을 떼어 놓고 보게 되면 어떤 무엇이 완성되어가고 있다는 것을 느낄 수 있게 됩니다.

  다시 종합해보면 첫 번째, 아이들은 노는 속에서 무의식적으로 기하학을 몸으로 체험합니다. 두 번째, 그 다음에 6,7학년이 되어서 예술적으로 그려서 자기 체내에 있는 것을 밖으로 표현해서 내보냅니다.  처음에 아이들이 그저 놀이로서 자신의 몸으로 기하학을 준비했다면, 이 시기에는 예술적인 감각으로 기하학을 하면서 세상에 작품으로 내놓습니다. 처음에는 자기 몸으로 기하학을 했지만 이제는 의지로 작품으로 기하학을 합니다. 이제는 6학년이 되면서 의식적이지 않았던 것에 의식이 어느 정도 들어가고 감정도 들어가서 아주 조화롭게 됩니다. 세 번째, 이제 사고의 법칙이 나타납니다. 정확한 사고의 법칙을 가져오기 위해 자와 컴퍼스가 나타납니다. 자는 예술적인 물건은 아닙니다. 오리리의 예술가 훈데르트 바셔는 90도 각도와 자는 예술적인 것이 아니라고 말했습니다. 세상의 예술을 보면 자처럼 90도가 되면서 예술이 되는 것은 없습니다. 그러나 우리의 삶에서는 90도와 같은 정확한 자가 꼭 필요합니다. 중요한 것은 아이들이 기하학 작업을 할 때 아이들의 영혼이 자와 컴퍼스로 정확하게 하도록 하는 것입니다. 이 때 자와 컴퍼스로 기하학을 하더라도 그 전에 작업했던 것들이 정확한 기하학의 뒷면에서 움직이고 있습니다. 그래서, 지루한 직선, 딱딱한 삼각형을 지겹게 생각하지 않습니다.

  수년에 걸친 많은 과정을 통해 이런 일을 할 수 있는 힘이 아이들이의 몸에 들어있습니다. 자와 컴퍼스로 기하학을 함으로써 정신적인 법칙에 대한 인식을 가지게 됩니다. 우리의 영혼이 이 원 속에 다양하게 들어있고 우리가 해낸다는 것을 체험을 했을 때는.... 아이들의 이런 반응을... 하는 아이들을 아주 엄정한 기하학을 하게 되더라도 아이들이 행복감을 가지게 됩니다. 그래서 이때에는 아이들이 혼란한 나이이기도 한데 이런 기하학을 함으로써 세상이 정리되고 조화를 찾게 되는 것입니다. 즉, 기하학을 통하여 정신적인 정리와 정신적인 조화를 경험합니다. 내일은 6,7학년이 되면 그들이 필요한 수업의 내용과 어떻게 해야 하는지를 말씀드리겠습니다. 나는 어제  너무 열정적으로 하다가 시간을 넘었는데 그래서 오늘을 좀 일찍 끝냈습니다. 

방법론_기하학 1~12학년_2/5(2011년 8월 1일 월요일)

  어제 우리 한 것을 계속 이어서 나가겠습니다. 어제 한 것을 요약하면 1~4년까지는 손으로 행동으로 그립니다. 그러다가 조금 차원을 높이면서 무엇을 하나씩 강조하는 것으로 갔습니다. 5학년이 되면 이제까지 없던 새로운 느낌 새로운 의지가 생겨납니다. 아이들이 의지가 육체로부터 나올 때 제대로 잡아주지 않으면 그것을 어찌하지 못해 장난을 심하게 한다든지 여러 가지 좋지 않은 것으로 나타납니다. 그래서 교육은 아이들의 성장하는 힘을 그 육체와 기하학으로 부딪쳐서 그 힘을 다른 쪽으로 이끌어 줍니다. 6,7,8학년 시기에는 성장하는 의지의 힘을 아주 정확한 작업을 하도록 함으로써, 이 성장하는 힘을 교육의 힘으로 밖으로 내보내는 수업을 합니다.

  6,7,8학년 시기에 아이들에게 이 의지가 나타날 때는 여러 단계가 있는데 먼저 머리로서 생각을 하고 다음 변형으로 가고 또 다음 변형으로 단계를 높일 수 있습니다. 아이들의 느낌을 작용시켜서 아이들의 의지를 다듬을 수도 있습니다. 생각과 달리 아이들의 의지 중심의 느낌으로 해서 아이들의 의지를 가지고 정확히 관찰하는데 아이들의 의지를 인도할 수도 있습니다. 아이들이 의지를 사고로, 의지를 느낌으로 바꾸도록 하는 것이 어른들에게도 중요합니다. 어른들도 의지를 그대로 발산하지 않도록 노력해야 합니다. 어른들에게 발도르프교육이 어려운 점이 있는데, 서로 부딪치지 않게 의지를 한 곳으로 모으지 않고 성급하기 쉬운 것이 어른들이기 때문입니다. 깨끗한 사고력으로 논리적으로 생각하는 것은 어른들에도 쉽지 않습니다. 그것은 어른들도 배워야 합니다.

  발도르프교육의 근간인 인간학에서 6,7,8학년 아이들의 성장을 잘 통제해서 정확하게 문화적이고 교육적인 면으로 아이들의 의지를 잘 이끌어야 합니다. 의지를 사고력으로 가져가서 자세히 관찰할 수 있는 정신적인 힘으로 이끌어주어야 합니다. 그래서 이 시기에 성장하는 의지를 세상으로 내보내는데, 만약 의미있게 내보내지 못하고 육체에 머물게 하지 못하면, 즉 의미있는 교육을 하지 못하면 아이들은 자기가 좋아하는 것에만 집착하게 됩니다. 그래서 자기만을 위해서 이기적으로 하지 않도록 이끌어주어야 합니다. 어떤 아이에게 전체를 위해서 교실을 쓸라고 하면 힘이 없다고 말합니다. 이 시기에 아이들이 오전 수업을 하고 6교시 쯤 되면 ‘우리는 배울 힘이 없어요. 밖에 좀 나가면 안 되나요?’라고 말합니다. 그럴 때마다 다 들어주지는 않지만, 어떤 때는 들어주면 방금 배울 힘이 없다던 아이들이 밖에 나가서는 힘이 펄펄 넘칩니다.

  이 시기에는 자라나는 의지를 세상에 쓰일 수 있게 이끌어야 합니다. 세상에 훌륭한 일을 한 사람의 전기를 배웁니다. 훌륭한 사람의 이야기를 배우면서 내면화하고 자신의 이상적 힘을 키우게 됩니다. 기하학에서는 다른 자료를 가지고 아이들의 의지를 이끌어주게 됩니다. 아이들에게 자와 컴퍼스를 써서 정확한 기하학을 하도록 합니다. 이 시기에 아이들은 사고를 하게 되는데 고등과정을 가기 위한 준비라고 할 수 있습니다. 남녀 아이들 모두 생각을 하게 되는 새로운 힘을 사용하게 되지만 폭넓게 퍼지는 사고를 하는 것은 쉽지 않은 일입니다. 이 시기 아이들은 작은 일에도 화내고, 잘 다투고, 자기의 감정을 통제하지 못하는 아이들도 있고 조용해져서 내면으로 숨는 아이도 있습니다. 어떤 아이는 바깥세상으로 내보내는데 반해 어떤 아이는 내면으로 작용합니다. 내면으로 잠기는 아이 중에는 밖으로 표현하려는 의도가 있으면서도 표현하지 못하는 아이도 있습니다. 표현하고자 하는 아이는 사고의 힘이 밖으로 나오는 것입니다. 예를 들어 한 사람이 슬픈 일이 있으면서도 ‘나는 슬퍼하지 않을 수 있어’하고 감정을 통제할 수는 없는 일입니다. 그러나 사고력을 가지고 감정을 대하면 달라집니다. 어른들은 어려운 감정의 싸움이 있으면 밖에 나가버리거나 술을 마시거나 할 수 있지만 아이들은 그렇게 하지 못합니다. 그렇기 때문에 어른들이 이 아이들을 잘 인도해 줄 수 있어야 합니다. 이 시기 아이들은 하나의 자유로운 생각으로 다양한 감정을 체험할 수 있도록 만들어 주어야 합니다.

  교사가 이것(삼각자)을 가지고 오면 아이들이 모두 이 삼각자에 주목할 것입니다. 이 삼각자를 보여주기도 하고, 만져보게도 하고, 노트에 그려보라고도 합니다. 이것을 아이들에게 돌려가면서 만져도 보고, 자신의 손에 들고 자신의 감각으로 느껴보고 나서 그리라고 합니다. 진정한 삼각형을 보고 만지고 그리라고 합니다. 교사가 아이들이 그렇게 하도록 하고나서, ‘이것이 삼각형인가?’라는 질문을 던집니다. 아이들이 의외의 상황에 얼떨떨해 하다가 그렇다고 대답합니다. 교사가 칠판에 여러 가지 각도를 가진 삼각형을 그리면, 아이들이 그것을 봅니다. ‘삼각형으로 장난하는가?’라고 생각할 수도 있지만, 이렇게 하는 것은 아이들의 사고력을 자극하는 것입니다. 이 삼각자는 정확히 볼 수 있는 삼각형이지만, 칠판에 그린 삼각형은 하나의 그림자 자국을 남긴 것입니다. 아까 삼각자를 돌리면서 본 것처럼, 교사가 칠판에 그린 삼각형이 어떻게 움직였는지 그려보도록 합니다.

  여러 가지 삼각형을 그리도록 합니다. 교사가 삼각형의 꼭짓점을 수직으로 내려서 삼각형을 그리고 나서 아직도 삼각형이냐고 묻습니다. 또 내려가서 삼각형을 그리고 나서 삼각형인가를 묻고, 또 내려서 그리고 묻습니다. 이러한 작업은 아이들과도 하지만 학부모 모임에서도 할 수 있습니다. 학부모들도 놀라워합니다. 여기서 밑변을 늘려서 꼭짓점과 연결해도 또 삼각형이 됩니다. 자꾸 하다보면 아주 다른 삼각형이 자꾸 나옵니다. 밖으로 나가던 것을 이제 안으로 움직이면서도 할 수 있습니다. 위로도 갈 수 있고.... 이렇게 여기서 작업한 것을 아이들이 그리도록 합니다. 여기서 관찰한 것을 아이들이 노트에 옮기는 작업을 합니다. 여기도 계속 삼각형을 그릴 수 있는데 칠판이 작아서 갈 수 없습니다. 이렇게 계속 삼각형을 해 보세요. 아주 물질적, 현실적인 곳으로부터 시작해서 삼각형을 자꾸 키워가다 보면, 칠판 저쪽으로 꼭짓점을 확장하는 것은 어느 정도까지 그려낼 수 있지만, 칠판 이쪽으로는 더 이상 꼭짓점을 그릴 공간이 없기 때문에 생각으로 삼각형을 확장해 나가게 됩니다. 이처럼 아이들이 물질적으로 계속해 나갈 수 없는 상황에도 불구하고 계속해 나갈 수 있는 것은 아이들의 생명체가 어른들의 생명체보다 훨씬 역동적이기 때문입니다. 아이들은 훨씬 더 다양한 상상을 해낼 수 있습니다. 반면 어른들은 오히려 어려워하는 경우가 많습니다. 여기에서 다시 삼각형 작업을 해가면서 아이들에게 다시 물어 봅니다. ‘아직도 삼각형인가?’ 하고 물으면, 아이들에게서 여러 대답이 나오겠지요. 이것을 했을 때는 한 삼각형이지만 이것을 계속하면 하나의 선이 될 수 있습니다.

  삼각자는 하나의 고정된 삼각형이지만 칠판에 그리는 삼각형은 수천, 수만의 경우가 나옵니다. 삼각형은 하나가 아니구나, 아주 역동적인 것이구나 하는 것을 알게 됩니다. 4학년에게 이 작업을 해봤더니 아이들이 이해를 했습니다. 어른들이 못하는 것을 아이들은 해냅니다. 대단합니다. 이것은 6,7,8학년에 할 수 있는 작업인데, 어떤 8학년 아이들은 사고력이 키워진 아이들은 난 이것이 어려운데 합니다. 8학년 아이들 중에서도 여러 가지 삼각형을 그리고, 변형하는 것을 보면서도 이해를 못하는 아이들이 있습니다. 교사는 걱정이 되어서 그 아이에게 잘 설명을 해줍니다. 그러나 별로 효과가 없습니다. 여러 번 설명을 해주면 이해를 할 수는 있지만, 그래도 아이가 진정으로 배운 것은 아닙니다. 슈타이너는 “우리 어른이 아이들에게 사고를 전해줄 순 없다. 사고는 아이들 자신이 길러내야 한다.”라고 말했습니다.

  이제는 밑변 아래쪽으로 삼각형을 그려가기 시작합니다. 사실 이런 것은 아이들이 고학년이 되었을 때 숫자로 계산할 수 있도록 준비를 하는 것입니다. 점점 밑으로 내려가서 직선이 되고 고학년들에게 ‘이것이 삼각형인가?’라고 물으면, 여러 이야기가 나오지만 아이들은 삼각형이라고 대답을 합니다. 그 다음에 아래로 가면서 삼각형을 그려갑니다. 어른들을 양극성을 쉽게 받아들이지 못합니다. 이 작업을 할 때 중요한 점은 아주 정확히 해야 한다는 것입니다. 그렇지 않으면 아이들의 사고에 혼동이 옵니다. 아이들은 정확히 관찰하면서 사고력을 키우고 거기에 자기의 의지를 넣습니다. 요즘에 들어서는 아이들이 두 개 정도의 삼각형을 그리고 나서는, 아이들이 힘이 없어서 더 이상 그리지 못하는 아이들이 있습니다. 그것은 그 아이들의 의지가 약하다는 것입니다.

  며칠이 지난 후에 ‘지난 번 삼각형 그림을 한 번 생각해봐라. 위로 커지고 다시 아래로 작아지는 것을 눈을 감고 한 번 생각해 봐라’고 합니다. 그리고 교사가 아이들에게 물어봅니다. ‘그러면 삼각형이란 무엇이냐?’. 아이들이 손을 들면, 앞에 나와서 칠판에 그려보라고 합니다. 또 다른 아이에게 그려보도록 시킵니다. 5~6명에게 삼각형을 그리도록 하면, 다양한 삼각형이 나옵니다. 이것은 삼각자는 하나의 고정된 삼각형이지만 그림은 하나의 고정된 삼각형이 아니기 때문에 그런 것입니다. 여러 삼각형 중에서 오직 그 삼각형(한국어에는 없는 표현임, 삼각형의 원형?)을 그려보라고 아이들에게 이야기합니다. 많은  아이들이 여러 가지 삼각형을 그리는데, 오직 한 가지 삼각형만 있는 것이 아니라 다양한 삼각형이 있습니다. 아이들에게 다양한 삼각형 중에서 그 삼각형(본질적 삼각형, 삼각형 그 자체)을 그리도록 시켜봅니다. 여기에서 슈타이너의 ‘살아있는 있는 개념이 있고 죽은 개념이 있다’는 말을 이해할 수 있게 됩니다. 이 삼각형(삼각자)은 본질적인 삼각형에서 죽은 삼각형, 응고된 삼각형이라고 할 수 있습니다.   수학에서, 특히 기하학에서는 생명력 있는 개념을 가지는 것이 중요합니다. 생명력이 있는 개념 속에는 정신이 들어있습니다. 오늘날 기하학에서는 컴퓨터로 기하를 하기 때문에 좀 응고된 그런 기하를 합니다. 우리는 두려움을 가지지 말아야 합니다. 이런 생명력이 있는 기하를 아이들에게 전해야 합니다. 생명력이 있는 기하를 하고 나서 생명력이 없는 기하도 할 수 있지만, 그 때는 생명력이 없는 기하도 완전히 죽은 것은 아니게 됩니다. 왜냐하면 살아있는 기하를 해봤기 때문에 그렇습니다.

  오전부터 상상(Vorstellung)을 이해하기 위해 많은 것을 했습니다. 여기 사각형이 있습니다. 이렇게 다양한 모양이 있는 것을 아이들이 떠올리도록 해야 합니다. 예를 들어 삼각형에서 사각형으로 변형이 되는 이것을 아이들과 함께 작업합니다. 여기서 삼각형의 모양이 있는데, 여기에서 아래로 선을 그으면 사각형이 나옵니다. 이 점에서 이 점으로 선을 그을 때, 여기서 직선으로 내겨가기 전에 “여기서 아래로 그으면 직선이 되겠니?” 하고 아이들에게 물어봅니다. 그래서 이 선과 이 선이 대략 같은 선으로 나옵니다. 이 선도 굉장히 많이 오르락내리락했지요(삼각형의 윗 꼭짓점에서 그은 수직선). 전형적인 삼각형에서 또 전형적인 사각형이 나왔습니다. 여기 계신 선생님들은 다 알고 계실 것이라 생각합니다. 이렇게 그리고 나면 아이들 중에서 손을 들고 “선생님 정사각형이네요.”라고 말합니다. 어떤 아이는 “네 각이다.”라고 말합니다. 아이들에게 “그럼 정삼각형은 무엇이고, 정사각형은 무엇인가?”를 질문하고, 서로 이야기해보게 합니다. 어떤 아이는 정사각형은 모든 선이 다 같아야 한다고 말합니다. 또 어떤 아이는 이것은 90도인데 선은 다 같지 않다고 말합니다. 그래서 아이들이 말합니다. 다 길이가 똑 같지 않을 수도 있으니 재보자고 말합니다. 여기서 제가 그린 그림에서는 1cm의 차이가 있네요. 그 다음에 다른 아이들에게 사각형을 그려보도록 시킵니다. 아이들과 같이 사각형을 그려 봅니다.

  어떻게 하면 정말 위로 가는 직선을 그릴 수 있을까요? 모두 보신 것처럼 90도를 하면 아주 정확한 직선이 나오지요. 지금은 교사들과 하기 때문에 빨리 그리지만, 아이들과 할 때는 천천히 아주 신중하게 그립니다. ...... 사각형 놀이를 현실화할 수 있습니다. 여기서 옆으로 가면 어떤 각이 나옵니까? 그래서 사각형, 삼각형을 전체 하나의 그림으로도 할 수 있는데 여기서는 ...... 아이들에게 물어 봅니다. 이 둘의 차이가 뭐냐고 말입니다. 여기서는 네 각이 같고 네 선도 같다. (정사각형) 너희들이 재보라고 합니다. 정말 모든 선의 길이가 똑 같은지 아이들이 알고 있지만 다시 확인하도록 합니다. 아이들에게 90도를 정확히 전하기 위해 사각형을 떠나서 각도만 다루어 봅니다. 어떤 의미로 보면 응고된 그림 같지만 .... 여기 90도 각도가 있는데, 또 어디에 있는지 한 번 찾아보라고 합니다. 그러면 아이들이 주저하다가 찾아냅니다. 여기서 보면 네 개의 모서리가 있는데 이것을 어떻게 할까하고 묻습니다. 그 다음 이것을 대각선으로 연결시킵니다. 여기 사각형에서 대각선을 긋고 나서, 이게 또 무슨 작용을 하고 있는지를 묻습니다. 사각형을 반으로 나누었다는 대답이 나옵니다. 반으로 나누었으면 이 대각선을 기준으로 반으로 접으면 종이처럼 양쪽이 일치할까? 물어봅니다. 또 다른 대각선을 그릴 수 있느냐 물으면 아이들이 알고 대답합니다. 그릴 수 있습니다. 이 그림은 더 저 학년의 그리기에서 했습니다. 그러나 여기에서는 대각선이 다시 끌어와서 개념을 정확히 하는 것입니다. 대각선을 그어 양쪽이 일치하게 접을 수 있었는데, 이처럼 양쪽이 일치하게 더 접을 방법이 있는지를 묻습니다. 종이접기를 많이 해본 아이들은 쉽게 대답을 합니다. 여기(변의 이등분 점)에서 직선을 그으면 또 이렇게 양쪽이 일치하게 접을 수 있다고 아이들이 말합니다. 그 다음 아주 똑 같은 직선으로 대각선으로 한 것도 이것들과 각도가 똑 같으냐고 물어 봅니다(?). 90도 각도가 네 번이 나온다는 것을 아이들이 알게 됩니다. 이것으로 해서 또 90도 각도가 나온다는 것을 아이들이 발견을 하게 됩니다. 사각형의 다양한 변화 그리고 여기서 나오는 새로운 그림들과 각도를 아이들이 체험을 하게 되지요.

 이제, 4개의 똑 같은 선, 4개의 각 등의 개념을 칠판 한쪽에 적어줍니다. 이제는 이것과는 다른 또 다른 것을 그리게 합니다. 또 다른 사각형이 있는지 아이들이 생각해 보도록 합니다. 모양을 저학년에서 그릴 때는 사실 예술적인 것, 보기에 아름다운 것이 중요했지만 여기서는 다른 법칙이 요구됩니다. 그것은 정확성입니다. 이처럼 기하학을 공부하고 기하학에서 나오는 사각형은 어떤 모양이든 사각형의 법칙이 있고, 삼각형은 어떤 모양에도 삼각형의 법칙이 있다는 것을 알게 되면, 아이들은 세상에는 법칙이 있다고 생각하고 자신이 안전하다고 느낍니다. 이런 공부는 4학년에서는 하지 않고, 6학년에서 하고 7학년에 가서도 합니다. 이런 기하학 법칙의 개념은 6학년에서 해야 합니다. 4학년 아이들에게는 90도라든지 각이라든지 하는 개념은 이야기 하지 않습니다. 4학년에서는 90도라는 개념을 쓰지 않고 정확한 각이 직각이라는 말을 씁니다. 그릴 때 저학년에서는 자유롭게 그립니다. 자로 하는 것은 6학년에서 하는 부분입니다. 정사각형을 그릴 때는 이 선(바닥선)을 먼저 그립니다. 그리고 완전한 수직을 그려보라고 합니다. 90도라고 말하지 않고, 정확한 수직, 똑바로 선 것, 정확히 선 모양을 보라고 합니다. 그리고 그 다음에 정사각형에서 그것과 같은 것을 찾아보라고 합니다. 아이들이 그것을 찾아내고 나면, 죽은 개념이지만 직각이라는 것을 알려 줍니다. 형태를 알기 위해서는 죽은 개념도 필요합니다. 직각의 개념을 설명하지는 않습니다.

  (질문) 삼각형에서 꼭짓점이 자꾸 내려가서 직선 위에 갔을 때 교사가 아이들에게 삼각형인가 하고 질문했을 때 아이들이 삼각형이라고 대답했다고 선생님이 말씀하셨는데, 그러면 아이들에게 삼각형을 그려보라고 했을 때 아이들이 직선을 그려도 되나요? - 직선도 삼각형이라고 이야기합니다. 삼각형을 그리라고 했을 때 개구쟁이 하나가 직선을 그렸습니다. 그래서 다른 아이들에게 삼각형이냐고 물어보았습니다. 아이들은 어떻게 보느냐 하면, 면이 선에 숨겨진 것이라고 생각합니다.

  정사각형, 직사각형을 보여주고 아이들에게 똑같은 사각형이냐고 물어보면 아니라고 말합니다. 그러나 뭐가 다르냐고 물으면 그것을 정확히 말하지는 못합니다. 그래서 재어보자고 말합니다. (직사각형을) 이렇게 재보고 저렇게 재보고 나서 마주 보고 있는 선의 길이가 항상 같다는 것을 알게 됩니다. 이 선과 이 선이 평행선이라는 것을 알려줍니다. 그래서 이것(정사각형)과 이것(직사각형)이 모양은 다르지만 네 각도가 같다는 것을 아이들이 찾아냅니다. 직사각형의 대각선도 그려봅니다. 대각선이 나타난 후 뭘 하냐 하면 역시 반으로 나눕니다. 여기서도 반으로 접으면 일치하느냐고 묻습니다. 그러면 아이들이 ‘아닙니다.’라고 말합니다. 종이접기를 많이 한 아이들은 바로 압니다. 그 다음 두 번째 대각선이 나오면, 또 아이들에게 관찰을 하게 하면 정사각형의 경우와는 좀 다르다는 것을 발견해냅니다. 이 대각선과 이 대각선이 만나는 곳에 직각이 나오는가를 물으면 아이들이 관찰을 통해 직각이 아닌 것을 알아냅니다. 그리고 좀 빠른 아이들은 직사각형의 두 대각선이 만나면 위와 아래의 각(맞각)이 서로 같다는 것은 압니다. 정사각형의 경우처럼 이렇게 또 반으로 나누고, 또 반으로 나누고 .... 그래서 이 대각선은 같은 모양은 아니지만 가운데 선이 나오면서 같은 모양이 됩니다(?).

  여기서 정사각형을 90도 회전시키면 어떤 모양이 되는가를 물어봅니다. 그래서 그 각도만큼 회전시킵니다. 예를 들어, 정사각형을 90도를 회전시키면 다시 처음 모양과 같다는 것을 아이들이 찾아냅니다. 직사각형은 90도만 회전시켜서는 처음 모양과 일치하지 않고 180도를 회전시키야 처음모양과 같아집니다. 이제 직각을 알게 되면 이렇게 한 각을 옮겨서 각만 그려봅니다. 또 나머지 세 각을 다 옮겨 그려서 네 직각을 하나로 모아 봅니다. 그래서 아이들에게 직사각형의 네 각을 떼어다가 붙이게 하면, ‘90도+90도+90도+90도=360도’라는 것을 아이들이 알게 됩니다. 2,3일이 지나고 나서 평행사변형 등 다양한 모양을 교사는 크게 칠판에 그리고, 아이들은 노트에 그립니다. 그런 다음에 교사가 큰 종이에 그 그림들을 그려서 벽에 붙여둡니다. 그러면 아이들이 느낄 수 있지요. 그리고 이런 과정을 통하여 아이들은 각도의 개념을 알게 됩니다.

  또 아이들은 다양한 각도를 삼각형에서 알게 됩니다. 그 다음에 아이들과 삼각형에서 90도 각도를 찾아봅니다. 그래서 독일에서는 90도 보다 작은 각을 뾰족한 각도(예각)라고 하고, 90도보다 큰 각을 퍼지는 각도(둔각)라고 합니다. 그 다음으로 선을 늘려서 일직선이 되게 하고 ‘아직도 여기 각도가 들어 있는가?’ 물어봅니다. 여기서 뾰족한 각도(예각)에서 퍼지는 각(둔각)으로 가고 다시 여기서 180도로 내렸을 때 각이냐고 물어보면 아이들이 뻗은 각(평각)이라고 이야기 합니다. 예각, 둔각, 평각 이렇게 익혀가다 보면 아이들이 360도가 완전한 각이라고 하는 개념으로 찾아내게 됩니다. 그래서 이런 모양으로 삼각형이나 사각형에서 변형을 시켜가다 보면 원형이 됩니다. 이런 것들을 하나씩 따로 하면 생명력이 없는 것이 되지만, 그렇게 하지 않고 여러 가지를 연결해서 같이 작업하다 보면 생명력이 없는 개념이 아닌 것으로 다가가게 됩니다. 생명력이 있는 것에서 응고된 모양으로 갔다가 다시 생명력으로 돌아오는 이런 과정을 아이들이 체험하는 것이 중요합니다. 이처럼 아이들이 변형되는 모양을 1학년에서부터 8학년까지 전체를 유기적으로 연결해서 잘 해내면, 고학년에 가서 고정된 모양을 공부하더라도 생명력이 없는 것이 생명력이 없는 것이 아니게 됩니다. 

방법론_기하학 1~12학년_3/5(8월 2일 화요일)

  오늘은 어제 한 것으로부터 계속하겠습니다. 다른 교육도 마찬가지겠지만 기학학도 생동하는 것이 되어야 한다는 것을 어제 여러분이 느꼈을 것입니다. 또 오늘 인간학을 하면서 현대인들이 생동하는 사고를 한다는 것이 얼마나 어려운지 보았을 것입니다. 15,16세기 사람들은 자연을 보면서 굉장히 많은 것을 발견, 발명해냈습니다. 그 시대 사람들은 자연을 관찰해서 발견, 발명을 하면서 많은 자연과학적 업적을 남겼습니다. 그들은 자연을 관찰하면서 거기에서 많은 것을 찾아냈습니다. 그 공으로 세상에 많은 새로운 것을 가져왔습니다. 자연에 대한 정확한 관찰을 통해 현대 기계 사회의 혁명을 가져왔습니다. 사실 과학적인 것에는 비판할 것이 없습니다. 과학의 여러 분야가 생긴 것도 관찰해 보면 비판할 것이 없습니다. 그러한 예로 화학이나 물리를 들 수 있습니다. 슈타이너 역시 자연과학을 공부했습니다. 그리고 슈타이너는 자연과학에 대해 함부로 비판하지 말라고 부탁했습니다. 우리가 보면 화학에는 화학의 세계가 들어있고 물리에는 물리의 세계에 들어있습니다. 그래서 우리가 화학과 물리를 살펴보면 그 처음 시작 단계는 광물적, 물질적인 것으로부터 비롯되었다는 것을 알 수 있습니다. 그리고 화학적, 물리적인 법칙은 그 법칙이 적용되는 그 범위 안에서만 사용해야 하는 것입니다. 오전에 이야기한 것처럼 화학적, 물리적 법칙은 그 안에서는 자기의 높은 가치를 가지고 있지만, 거기에 우리 삶을 적용해서 발전시키려면 그것만 가지고는 안 되고 전문적 과목에 연결하는 것이 필요합니다. 즉, 영혼에 대해 알려면 영혼에 대한 학문이 필요하고, 자아에 대해 알려면 인지학의 도움이 필요합니다.

  발도르프학교가 처음 이루어질 시기에 인지학의 힘이 어떤 정점에 도달하게 되는데, 사실 슈타이너는 처음부터 학교를 만들려고 했던 것은 아닙니다. 그가 돌아가시기 6년 전에 발도르프학교가 세워졌습니다.  슈타이너는 미리 이것을 알고 있었습니다. 그는 전부터 인간 사회에 많은 것이 진실하게 이루어지지 않을 것이라는 것을 알고 고민했습니다. 기계화가 진행되면서 인간들은 불안해지기 시작했습니다. 사람이 자연을 정복하면서부터는 매일같이 몇 백 평방킬로미터의 땅을 손실, 파괴시키고 있습니다. 여기 한국에 와서 보면 나무가 많아서 좋습니다. 이번에 일본 후쿠시마에서 일어난 재앙으로 인해 앞으로 수년 동안은 사람이 거기서 살 수 없게 되었습니다. 좀 오래된 일이지만 소련의 체르노빌 방사능 누출 재앙에 대해 여러분은 알고 있을 것입니다. 제가 답사를 한 적이 있는데, 아직도 굉장히 넓은 지역에 걸쳐 울타리가 쳐져 있는 출입금지 구역이었습니다. 사회발전을 하면서 왜 빈익빈부익부가 나타나는가?, 왜 사람들은 서로 이해 못하고 전쟁을 하는가? 인간 상호간의 문제, 자연파괴, 정신세계와 괴리 등등 이러한 문제들에 대해 슈타이너는 젊을 때부터 계속 걱정을 했습니다. 슈타이너는 아시다시피 수 백회의 강연을 했습니다. 그러다가 이렇게 어른들에게 교육하는 것이 옳은 일인가 생각을 하게 되었습니다. 그는 그 시대 사람들을 보면서 ‘현재 이 시대 사람들은 머리가 너무 굳었다, 생명력 있는 교육을 하기에는 늦었다’고 생각했습니다. 교육에 대한 기본적인 생각은 그 때 당시 모든 교육에 영향을 주고 있다고 생각했습니다. ‘짜여진 틀에 아이들을 끼워 넣고 필요한 부분을 연습해서 할 수 있게 하는 교육이다’라고 생각하는 교육으로 인해서 어린아이와 청소년들이 많은 괴로움을 당하고 있다고 생각했습니다. 인간이 세상에 나올 때는 자신의 업이라고 하는, 하고 싶어 하는 좋은 충동을 가지고 오는데, 교육이 이것을 가려서는 안 되는 것이라고 생각했습니다. 슈타이너는 어린아이들이 학교를 졸업할 때가 되면 아이들이 교양을 갖춘 사람이 되기를 원했습니다. 그래서 슈타이너는 아이들이 교양이 있고, 생명력이 있고, 역동적인 사람이어서 ‘이것이 진실이다.’라는 것을 느끼기를 바랐습니다.

  어제 기하학을 하면서 느끼셨을 것입니다. 정확하게 기하학을 하면서, 우리의 사고가 얼마나 활동적으로 되는지 아셨을 것입니다. 꼭 학교교육이 아니더라도 아이들이 관심을 가지고 생각을 할 수 있게 하는 그런 교육이 되어야 한다고 생각했습니다. 어떻게 보면 기하학은 우리 교육에 필요 없을 수도 있습니다. 이런 모양(정사각형) 그 옆에 다른 모양(마름모), 또 다른 모양(정삼각형) 이 세 가지 모양을 보세요. 이 모양을 나는 3학년 정도 아이들과 고학년 아이들에게 관찰하게 했습니다. 여기서 질문하기를 여기서 어떤 모양이 평화스러워 보이느냐, 어떤 모양이 불안해 보이느냐, 어떤 모양이 무겁게 느껴지느냐 그런 질문을 했습니다. 아이들은 대개 정사각형이 무거운 느낌, 마름모는 불안한 느낌, 삼각형은 안정감을 주지만 더 깨어있는 느낌을 준다고 말했습니다. 사실 이런 모양을 상자로 만들어 볼 수도 있습니다. 관찰하고 그려보고 만들어보면서 기하학을 생동력 있게 체험할 수 있습니다.

  어제 우리는 아주 기본적이고 전형적인 기하학 도형들의 모양을 공부했습니다. 옆에 진열하면서 여러 형태를 경험하고 각각의 특성을 관찰하고 기본적인 이름과 개념을 정확하게 그리면서 찾아보았습니다. 다시 한 번 이야기하면, 여기 정사각형은 네 개의 직각이 있다는 것에 대해서 어제 길고 자세히 공부했습니다. 예를 들어 정사각형과 직사각형의 위, 아래, 왼쪽, 오른쪽 선을 다른 쪽과 서로 비교해보 보았습니다. 어제 한 것을 다시 떠올려 봅시다. 대각선을 그리고 그것을 기준으로 반을 접는 것도 했습니다. 여러 방면으로 관찰하고 변형되는 것도 보았습니다. 이렇게 다양한 모양을 보여주는 것은 다른 그림에서도 적용해볼 수 있습니다. 어제 작업했던 많은 다양한 것들을 종이에 크게 그려서 교실에 걸어놓고 거기서 유사한 법칙을 찾아내기도 합니다. 그렇게 하면서 그 속에 숨어있는 법칙 규칙을 찾아냅니다. 네 변이 같은 것, 네 직각이 있는 것 등등...... 정사각형은 네 개의 선의 길이가 똑같고 네 개의 직각이 있다 등의 규칙을 적어놓고 그림과 비교해 보도록 합니다. 어디에는 맞고 어디에는 맞지 않는지 찾아보게 합니다.

  특히 6학년에 올라간 아이들은 정확한 각도에 대한 의식을 받아들입니다. 그래서 이 날카로운 각(예각), 바로 선 각(직각), 퍼진 각(둔각), 펴진 각(평각)으로 각도가 변화하는 것을 보면서 법칙을 찾아가는 과정을 아이들이 굉장히 재밌어합니다. 여기에 더하여 180도 이상의 각도도 배웁니다. 제가 학교에 다닐 때는 하나씩 떼어서 배웠는데 별로 재미가 없었습니다. 발도르프학교에서는 이렇게 비교를 하면서 다양하게 경험하도록 합니다. 아이들에게 예민한 각도를 보여주고, 여기에서 다른 각도를 찾아보라고 하면 아이들이 열심히 찾습니다. 270도가 각도라고 말해주면 아이들이 깜짝 놀랍니다. 모든 교육에서 항상 분리시키지 않고 전체적인 면을 가지고 있기 때문에 더 변형을 시킬 수 있습니다. ‘예각이 있을 때 어떤 각도가 원(360도)으로 보충시키는가?’에 관해 아이들이 하나를 이해하면 나머지는 재미있게 찾아냅니다. 교사가 아이들에게 보여주지만 아이들에게 물어봅니다. 이렇게 해놓은 것은 아이들 스스로 찾아 이것을 다 채웁니다. 아이들이 사실 둔각에서 얼마를 보충해야 원(360도)이 되는지 스스로 찾아냅니다. 예를 들어 여기에서 반으로 나누는 각도가 있지요. 여기에서 정확하게.... 이 직선의 원을 360도 돌게 가는 선으로 그려서 찾아보게 합니다. 기하학에서 하는 숫자 개념은 세계 어느 나라도 다 동일합니다. 아이들에게 언제부터 사람들은 언제부터 각도에 대한 의식이 생겨났는지 이야기해줍니다. 각도에 대한 유물을 찾아 박물관을 방문하기도 합니다.

  정확히 관찰하고 보충할 수 있는 힘은 아이들의 몸  속에 들어 있다가 6학년 이상이 되면 자라나오기 시작합니다. 어떤 아이들은 4학년인데도 자와 컴퍼스를 쓰고 싶어 합니다. 슈타이너는 4학년은 너무 이르니 해주지 않도록 하라고 했습니다. 아이들이 6학년이 되면서 새로운 힘이 나오면서 불안하고 힘들어할 때, 기하학을 하면서 정확한 작업을 하면서 발산하게 하고 안정되도록 이끕니다. 이러한 대칭 그림은 아이들이 4학년 때 많이 했습니다. 아주 정확하게 이런 모양을 그리게 하는 것은 6학년부터 합니다. 이렇게 자유롭게 손으로 그리던 것을 6학년이 지나 7,8학년이 되면 정확하게 자로 재고 각도를 맞추어서 아이들이 그려내게 합니다. 정확하게 하는 것이 사실 교사에게도 아이에게도 쉽지 않은 일입니다. 이렇게 정확하게 대칭그림을 그리는 것이 아이들의 내면을 안정되게 만들어 주게 됩니다. 그래서 이 축을 중심으로 반영하는 그림을 그립니다. 대칭그림입니다. 이것(곡선그림)을 만약 축 그림으로 반영시켜 그리려면 쉽지 않습니다. 똑 같이 간격을 맞춰서 자로 재서 그려야 합니다. 아이들이 이것을 축 대칭 그림으로 작업해내는 데는 15분 혹은 그 이상의 시간이 걸립니다. 두 개의 축이 만나게  합니다(좌표평면). 그 다음 이 삼각형을 이렇게 반영되고 다시 이쪽으로도 반영되게 옮기게 합니다(1사분면 → 4사분면 → 3사분면). 좌표평면에서 그림을 대칭되게 옮기는 것은 어떤 그림을 그릴지에 따라 그 난이도가 달라집니다. 이것(부정형인 다각형)은 삼각형이 아니기 때문에 쉽지 않습니다. 정확하게 옮기려면 몇 도를 옮겨야 하느냐?, 이면은 이쪽으로 이면은 이쪽으로 ... 이런 식으로 다양하게 아이들과 작업을 합니다. 그러면 아이들이 열정적으로 하게 됩니다. 여기서도 역시 자와 컴퍼스를 써서 정확히 옮기도록 합니다. (아주 복잡한 모양) 아이들이 어떤 점을 필요로 하는가를 아이들이 생각해내도록 합니다. 각도를 각 사분면으로 옮겨가도록 합니다. 여기서 보면 아이들이 축을 찾아냅니다.

  여기서 사실 축(선분)을 기준으로 반향시켰다면 여기서는 점을 기준으로 반향시키게 되어서 이제는 점이 축을 대신하게 됩니다. (점 대칭 삼각형 그림을 그린다) 이런 모양을 작업하는 것은 사실 6,7학년에는 힘든 모양입니다. 그러나 아이들은 이것을 해낼 수 있습니다. 아이들이 법칙을 알아내면 이것을 아주 열심히 합니다. 예를 들어 축을 기준으로 대칭그림을 그리는 것과 점을 기준으로 대칭그림을 그리는 것은 다르다는 것을 아이들이 알아냅니다. 이 그림 이외에 다른 모양을 그려서 변화를 줍니다. 정삼각형을 하던 것을 타원으로 바꾸어서 점 대칭으로 옮기도록 합니다. 이제는 부정형의 둥근 곡선을 점대칭으로 옮겨 그려내도록 합니다. 아주 어렵습니다. 그렇지만 6학년 아이들도 할 수 있습니다. 이런 것을 6,7학년에서 잘 해내는 경험이 있어야 고학년에 올라가서 어려운 건축학 같은 것을 할 때 잘 해낼 수 있습니다. 발도르프학교를 졸업하고 건축을 공부하는 학생들도 많습니다. 처음에는 간단한 그림을 여러 번 하도록 해야지 처음부터 어려운 것을 하면 안 됩니다. 타원을 할 때 굉장히 빨리 해내는 아이가 있으면 그 아이에게는 과제를 줍니다. 처음에는 간단한 과제를 주다가 점점 복잡한 과제를 주면서, 아주 빠른 아이, 보통, 느린 애들 세 부류를 나누어서 빠른 아이들에게 과제를 주는데, 그것은 늦은 아이들을 돕도록 합니다.

  (원을 그리고 내접 삼각형을 자와 컴퍼스로 그리고) 예를 들어 이 선의 중심을 찾아내도록 합니다.  빨리하는 아이들은 다른 것이 올 때까지 지루해 하기 때문에 늦은 애들을 돕는 과제를 줍니다. 교사가 실수를 하면 아이들에게 좀 창피스럽지요. 교사의 좋은 권위가 있으면 웃고 지나가지만 좋은 권위가 없으면 아이들이 비웃습니다. 이 세 선의 공통적인 중심을 찾아냈습니다. 이것을 상자로 해서 만들면 이 점 하나만으로 내 손가락 위에 올려둘 수 있습니다. 이 점은 이 삼각형의 무게 중심점이 됩니다. 좀 전에는 선의 반을 찾았는데 이번에는 각의 반을 찾아봅니다. 아이들이 기하학을 할 때는 연필을 쓰게 합니다. 그래야 정확할 수 있습니다. 이 선의 반을 찾을 때와 각의 반을 찾을 때 각각 중심이 만나는 것을 발견하게 됩니다. 또 다른 모험이 찾아갑니다. (삼각형을 그리고 a b c로 세 변을 표기) 이제는 높이를 찾아봅니다. h는 높이를 말하고... 보통 밑b에서 위로만 높이를 생각하는데, 여기의 높이는 어떻게 되는가? 생각하게 합니다. 그래서 각 변의 높이를 그리면 또 공통되는 점이 나옵니다. 이렇게 하고 나서 이제는 한 변의 길이를 이야기 하고 그 양 끝의 각을 알려줄 테니 그리고 그 높이를 찾아보라고 합니다. 혼자 이런 것을 해낼 수 있게 되면 고등과정을 위한 준비가 되는 것입니다. 건축하는 사람이 집을 지으려면 정확한 도면을 만들어야 합니다. 이런 것들을 할 줄 알게 되어서 고등과정에 가면 엔지니어가 될 수 있을 만큼 정확하게 그리게 됩니다.

  교사도 중요한데 공간의 넓이를 교사가 계산할 줄 알아야 합니다. 이 면의 넓이를 계산하기 위해서는 이에 대한 아이들의 개념이 뚜렷해야 합니다. 정사각형 15개가 있는데 그 중 하나가 얼마의 면적을 가지고 있는가? 계산하기 쉽게 20개로 만들어 보겠습니다. 그래서 계산을 할 때는 여기의 길이와 여기의 높이를 곱하기를 하면 됩니다. 예를 들어 칠판에 하기 전에 운동장에 가서 미터(m) 단위로 재고 그리게 합니다. 이렇게 해서 기하학을 넘어서 대수학으로 넘어가게 됩니다.

 U=a+b+c+d

 U=2a+2b

 U=2*5+2*4

  =

면적은 같은데 둘레의 길이가 다른 경우가 있을 수 있을까요? 

이 면적과 이 면적은 같지만 둘레의 길이는 달라졌습니다. ‘가장 큰 둘레가 있고 가장 작은 둘레가 있을까?’ 라는 질문을 던집니다. 어느 때가 가장 작은 둘레가 나오냐 하면 네 변의 길이가 같을 때입니다. 높게도 만들어보고 아주 길게도 만들어봅니다. 아이들이 10학년, 12학년에 가서 할 것을 준비시키는 것입니다. 그 때가 되면 수식으로 계산을 하게 됩니다. 그래서 사실 6,7학년에는 할 것이 굉장히 많은데 사실 다하기는 어렵습니다.

  8학년 말이 되면 기하학의 전성기가 어느 정도 마쳐져야합니다. 슈타이너가 8학년에서 피타고라스의 정리를 다루어주어야 한다고 말했습니다. 이게 피타고라스 법칙에 사용하는 용어입니다. 여기 있는 두 면적은 여기 있는 면적과 일치합니다. 여기 오기 전에 했던 연습들을 아주 다양하게 하는 것이 중요합니다. 외게 하는 것이 아니라 아주 많은 자극을 주라는 것입니다. 담임이 피타고라스의 정리를 수업하기 힘들면 고등반 선생님이 도와주어야 하는가 물었더니 담임이 해야 한다고 말했습니다. 중요한 것은 하든 안하든 담임이 그것을 알고 있어야 한다는 것입니다. 또 중요한 것은 8학년에서 9학년에 갈 때 담임교사가 상급에 그 공부한 내용에 대해 알려주어야 한다는 것입니다. 못한 부분에 대해서는 ‘유감스럽게도 내가 하지 못했습니다.’하고 이야기해 주어야 합니다. 아니면 고등반 선생님들이 아주 힘듭니다.

  (직사각형, 평행사변형 그리고) 이 면적은 이 면적과 같습니다. (다시 평행사변형 심하게 기울어진 것을 그려본다) 사실 이것들의 면적이 다 똑 같습니다. 이런 것을 많이 해야 나중에 이해가 쉽게 옵니다. 여기 이 모양에서는 높이가 모양 밖에 있습니다. 이 면적을 계산할 때 이쪽을 잘라서 다른 쪽에 붙여서 계산하는 것도 아이들이 찾아내게 합니다. 짧은 시간에 강하고 빨리 나갔는데 여러분들이 다 이해했으리라 생각합니다. 어려움이 있다고 하더라도 7,8학년의 기하학 전성기를 8학년 담임이 끝내주어야 합니다. 여러분이 필요하시다면 관련 자료를 찾아드리겠습니다. 교사가 자와 컴퍼스를 쓰지 않고 손으로 대충 그려서는 절대 안 됩니다. 오늘 한 것을 제대로 해서 다 끝내려면, 사실 6,7,8학년에 걸쳐 최소 12주의 시간이 걸리고, 교사에 따라 더 많은 시간이 필요할 수도 있습니다. 면적에 대한 이야기를 드렸지만,  꼭 교사가 면적에 대한 계산을 할 수 있어야 합니다. 여기서 높이는 사각형 밖에 나와 있는 것을 보고 이 평행사변형 안에도 원래 원형의 직사각형이 들어있다는 것을 찾아내도록 해야 하고, 피타고라스 정리는 이 면적 저 면적이 연결되는 것을 알도록 하고자 하는 것입니다. 가운데가 0인 자이면 사용하기가 더 좋을 듯합니다.

방법론_기하학 1~12학년_4/5(2011년 8월 3일 수요일)

  먼저 어제 했던 것들을 살펴보고 9학년, 고학년의 순서로 가겠습니다. 어제 칠판에 그려진 것들은 전체적으로 6,7,8학년 3년 동안 아이들이 배울 내용입니다. 어제 여러 재료들을 옆에 나란히 놓고 .... 수업을 하는 것이 좋을 것이라고 말했습니다. 피타고라스 정리는 가장 높은 단계로 8학년 말에 할 수 있습니다. 슈타이너는 수학은 언제나 어린이들이 아주 깊이 이해해야 한다고 말했습니다. 지금 급하게 그림 세 개를 그렸는데 a(제곱)+b(제곱)=c(제곱)입니다. 피타고라스 정리를 빨리 여기에 그려보겠습니다. (그림) 어제 피타고라스 정리를 삼각형으로부터 세 개의 사각형 면적으로 구하는 것을 급하게 설명했습니다. 우리가 이 c를 알기를 원한다면 제곱근 (글씨)으로 c를 알 수 있습니다. 방정식의 형태로 b를 구할 수도 있습니다. 몇몇 교사들은 9학년에 이 정리를 하기도 하는데 8학년에서 할 수도 있습니다. 또 학생들이 루트(제곱근)를 알고 이것을 비교할 수 있는 능력이 있다면 피타고라스 정리를 공부할 수 있습니다. 당연히 방정식을 알아야 하고 a, b, c로 상징되는 것의 의미를 학생들이 알아야 합니다. 순수한 숫자를 가지고 수학적인 계산을 하는 것은 11, 12학년에서 가능합니다. 학생들이 아주 추상적인 것들을 알기 전에 여기에 있는 감각적인 것들을 확실히 알고 있어야 합니다. 여기 써져 있는 글자들은 추상적인 것들인데 학생들은 a(제곱)+b(제곱)=c(제곱) 이것을 감각적인 경험으로서 알고 있어야 합니다. 피타고라스 정리는 다양한 수학적 정의들을 가지고 있습니다. 여기에는 많은 수학이 들어있는데 동시에 하나의 기하학입니다. 세 개의 순수한 선으로 이루어진 법칙이고 자기가 하고 싶은 대로 만들어진 선이 아닙니다.

  (그림 삼각형 면적) 이 선은 단지 선이 아니라 이 선으로부터 하나의 면이라는 것을 설정할 수 있습니다. 삼각형의 세 선은 세 개의 사각형과 관계를 가지고 있습니다. 그러면 이 삼각형이라는 것은 도대체 무엇입니까? 우리는 여기에 이름을 가지고 있지 않고 단지 철자들로 나열을 하였습니다. 이 면들은 이 선과 관련성을 길이의 관련성을 가지고 있습니다. 담임교사들에게 이것이 눈에 확 들어오는 것은 어려운 일입니다. 처음에는 저 멀리에 있습니다. 이것이 무엇에 관한 것인지 지금 알려고 시도하려 합니다. 발도르프교육에서는 하나의 상태를 하나로 다루지 않고 다른 것과의 관련성에서 다룹니다. 여기 호수가 하나 있고 학생들이 이 삼각형과 사각형에 대한 경험을 깊게 하고 그것과 관련해서 추상적인 개념에 익숙해진다면 우리는 여기서 선을 하나 그을 수 있습니다. 여기를 b라 하고 여기를 c라하고 여기를 모르므로 x라고 합니다. 우리는 지금 이 수직선의 길이를 모릅니다. 하지만 수직선을 그을 수 있고 세 각을 알고 있습니다. 그러면 여기서 우리는 모르는 x를 계산해 낼 수 있습니다. 8학년에서 아이들이 이 법칙을 배웠기 때문에 9학년에서는 a, b를 알고 c를 모르면 이 정리를 통해 계산해낼 수 있습니다.

  그냥 방정식으로 계산해도 되는데 왜 이렇게 복잡하게 합니까? x=b+c=3+4 아주 단순하게 이것을 계산해낼 수 있습니다. x가 7이라는 것은 간단하게 알 수 있습니다. (수식) c(제곱)=a(제곱)+b(제곱).......학생들이 방정식을 알고 이쪽과 이쪽이 같다고 알고 또 제곱근을 안다면 학생들이 충분히 알아낼 수 있습니다. 나는 이렇게 배웠습니다. 이러한 계산 방법은 아주 단순한 수학적인 계산 방법입니다. 아이들은 이것으로 머리 속에 그림을 그려낼 수 없습니다. 만약 피타고라스 정리와 연결해서 이런 것으로 가게 된다면 아이들은 마음속에서 감각적인 그림을 그려낼 수 있을 것입니다. 추상적인 것들은 항상 죽은 것과 가까이에 있습니다. 아이들에게 죽은 것을 가져다주지 않아야 합니다. 발도르프학교에서는 12학년까지 아주 많은 기하학을 연습합니다. 왜냐면 기하학이 많은 그림을 가져다주기 때문입니다. 독일 일반학교에서는 더 이상 기하학을 하지 않고 그냥 함수로 들어갑니다. 발도르프학교에서는 기하학을 아이들에게 아주 잘 보살펴서 이것이 아이들과 관계성을 형성하도록 하고 거기서 수학을 형상화하게 합니다. 어제 오후에 발도르프학교에서 어떻게 아이들에게 이 면이라는 것들을 풍부하게 그림으로 그릴 수 있게 하는지 이야기했습니다.

  어제 이 사각형을 그렸습니다. 이 정사각형이 면적은 같지만 형태는 달라졌습니다. 길이를 확실하게 정하고 전체 면적을 계산할 수 있습니다. 4*4=16입니다. 여기에서 길이가 4,4였던 것이 여기에서는 2,8로 변했지만 면적은 같습니다. 그리고 아이들에게 ..... 독일에서는 아이들에게 과제를 줄 때 추상적인 숫자만으로 문제를 줍니다. 밑변이 얼마 높이가 얼마면 면적이 얼마인가? 하는 식으로 말이지요. 아이들이 그냥 단순하게 머리로 면적은 밑변*높이라는 것을 알고 있으면 7*5=35라고 단순하게 계산해냅니다. 70, 80년대에 이런 질문이 있었습니다. ‘아이들이 왜 이런 법칙들을 외워야 하나 수첩에 적어놓고 그것을 보면 될 텐데....’ 그리고 만약에 아이들에게 이것을 외는 수고를 덜어주면 아이들이 더 많은 것을 공부할 수 있을 것이라고 기대했습니다. 하지만 결과는 반대였습니다. 과제가 더 쉬워졌음에도 불구하고 아이들이 그것을 해내지 못했습니다. 지금은 기하학으로부터 수학을 끌어내야 한다는 반성이 있습니다. 이 발도르프학교에서는 시험을 보지 않기 때문에 기하학에 대해서 굉장히 깊게 들어갑니다. 교사가 시험에 연연해하지 않고 교육을 할 수 있습니다. 교사가 기하학을 이해하는 것은 굉장히 어렵지만 교육에서는 기하학이 중요하기 때문에, 시험에는 다 나오지 않지만 아이들의 발달에 중요하기 때문에 발도르프학교에서는 기하학을 아주 깊이 다룹니다. 7,8학년에서 아주 많은 순수한 기하학적 요소, 기본적인 요소들을 그리게 한다면,.... 우리는 지금 책의 흰 부분의 면을 보고 있습니다. 이것은 고학년을 위한 곡선이 있는 형태입니다. 지금 12학년에게 이 면적을 계산하라는 과제를 준다면 굉장히 어렵습니다. 여기 곡선이 있고.... 하지만 그 이전에 면적이 무엇인가에 대한 확실한 개념이 있다면 이것을 계산해 낼 수 있습니다. 이 면적은 아주 단순합니다. 모양이 바뀌어도 면적은 바뀌지 않는다는 것입니다. 이것을 이렇게 밀어도 그 면적은 변하지 않습니다.

  (그림: 직사각형, 평행사변형1, 평행사변형2, 평행사변형3) 직사각형을 밀어서 평행사변형이 되었지만 면적은 같습니다. 이렇게 세 가지 형태의 변형이 있는데 아이들은 이 변형의 과정을 따라갈 수 있습니다. 아이들은 이미 이 면적을 구할 수 있는 방법을 알고 있습니다. ‘면적=밑변x높이’입니다. 여기 평행사변형이 있는데, 이 평행사변형의 넓이를 구할 수 있는 방법을 아이들이 찾아 낼 수 있습니다. ... 몇몇 아이들은 이런 변화의 과정을 이해하지 못합니다. 이것과 이것을 완전히 다른 것으로 생각합니다. 이것은 직사각형이고 저것은 평행사변형입니다. 아주 다른 형태입니다. 라고 말합니다. 지금 이 과정을 다시 뒤로 되돌리는 그림을 가져보겠습니다. 만약 저학년이라면 색종이를 오릴 수 있지만 고학년이라면 내면으로 이 그림을 그려내야 합니다. 가장 먼저 아이들에게 이 형태를 머리속으로 생각하게 합니다. 처음에 어떤 모양이었던가를 생각하게 합니다. 그 다음에 우리는 아이들에게 질문을 할 수 있습니다. ‘이 평행사변형과 이 직사각형의 면적이 같을까?’하고 질문을 합니다. 이 연습은 아주 굉장히 단순한 연습입니다. 하지만 아이들이 이 연습을 내면으로 완전히 그릴 수 없다면 나중에 고학년이 되어서 그것을 할 수 없게 됩니다. 만약 똑 같은 색깔로 색칠하면 아이들은 단순하게 색이 같으니까 면적도 같을 거야 하고 생각해버립니다. 하지만 다른 색으로 그리고 아이들에게 알아보라고 단호하게 물어봅니다. 면적이 같다고 어떻게 증명할 수 있을까요?. ....아이들이 선 하나를 그어서 계산해낼 수 있습니다. 먼저 이것을 보여주면서 ‘이것은 같은 면적일까요?’라는 질문을 합니다. 아이들이 ‘네.’라고 대답하면 어떻게 이것이 같은 면적일까 증명하라고 합니다. 독일에는 어떤 수학 공식이 있는데 평행사변형의 면적은 밑변 곱하기 높이라는 것입니다. 사각형의 면적은 ‘밑변 x 높이’라는 공식이 있습니다.

  여기서는 이 첫 번째 직사각형의 높이를 기준으로 해서 평행사변형이 될 때도 높이를 똑 같이 맞추었습니다. 그러나 이제는 직사각형보다 조금 높이가 더 낮은 평행사변형을 그리고 또 그 평행사변형 보다 높이가 더 낮은 평행사변형을 그립니다. 그런 다음 처음의 직사각형의 면적과 마지막 평행사변형의 면적이 같은지 물어 봅니다. 여기 밑변의 크기는 아이들이 보기에 똑같은 크기여야 합니다. 그리고 여기 밑변과 높이를 재게 하고 여기도 그렇게 재게 합니다. 그 면적이 같지 않다는 것을 확실히 보여줍니다. 높이가 달라지면 면적도 달라집니다. 그리고 학생들에게 질문합니다. ‘높이가 다 똑 같았을 때 면적이 다 같았는데, 높이가 달라진 곳에서는 면적이 같지 않았다. 왜 그럴까?’하고 아이들에게 질문을 합니다. 그리고 어떤 법칙이 여기 숨어 있는지 아이들과 함께 찾아봅니다. 높이가 변하지 않고 밀어졌을 때 형태가 변하더라도 넓이는 변하지 않습니다. 이 사각형의 면적을 이렇게 계산할 수 있다면 평행사변형도 이렇게 잘라서 직사각형으로 만들어서 넓이를 계산할 수 있다는 것을 이야기합니다. 이 공식이 여기에도 적용되는지 아이들이 찾기 위해서 형태는 변했지만 모두 a(같은 밑변)을 가지고 있었습니다. 그러면 높이는 어떻게 될까요. 여기에서 대부분의 아이들이 b가 여기에 있다는 것을 알 수 있습니다. 하지만 이것이 b인지 아닌지는 확실하지 않습니다. 아이들은 이것이 확실하게 b라는 것을 알아볼 수 있습니다. 6학년 아이들이 왼쪽과 오른쪽이 같은 조건이 무엇인가를 이해하고 있다면 이렇게 변화가 되고 있다는 ..... 여기 b가 있고 여기에 b가 있는데 이것은 가장자리에 있고 여기에서는 한 가운데 있습니다. 그러면 b가 무엇인가 하면 ‘b가 높이이다’라는 것을 알게 됩니다. 그래서 평행사변형의 면적은 ‘밑변x높이'가 됩니다. 그래서 여기서 이 면적은 직사각형의 면적이고, 여기의 면적은 평행사변형의 면적이고 여기에서 두 경우 모두 밑변과 높이가 같다면 그 면적이 같다고 하는 공식을 이끌어낼 수 있습니다. 아이들과 다시 직사각형의 면적은 '가로x세로', 평행사변형의 면적은 '밑변x높이'라는 식으로 여러 용어로 표현해 볼 수 있습니다. 그냥 여기에 직사각형을 하고 평행사변형을 그리는 것이 아니라, 기본형에서 어떻게 여러 가지 다른 형태로 변화하는지 그 과정을 살펴보는 것입니다. 어떻게 삼각형에서 사각형이 나오는지도 살펴봅니다. 여기에서 첫 번째 형태에서 평행사변형의 면적이 어떻게 구해지고 어떻게 같은지에 대한 정의를 배웠습니다.

  이제 사각형 안에 있는 삼각형을 찾아보면서 삼각형으로 넘어갑니다. 위에 있는 것들을 끝내고 삼각형으로 갈 수 있는데 여러 삼각형을 알아보고 마지막으로 삼각형의 면적을 구하는 공식을 찾아낼 수 있습니다.  삼각형의 면적은 사각형을 둘로 나눈 것이 삼각형이라는 것과 관련시켜서 생각할 수 있습니다.  저학년이든 고학년이든 형태를 배울 때는 하나하나 고립시키지 말고 언제나 어떻게 관계를 가지는지를 찾아내어서 연결해 나갈 수 있어야 합니다. 수학에서는 여러 가지 다른 분야가 있습니다. 기하학이 있고 계산이 있고 그렇습니다. 기하학을 하고 나면 공식을 발견해내게 되는데, b가 하나의 높이가 됩니다. 이렇게 하면 개념의 단어들이 죽어있는 것이 아니라 변화하여 가고 살아있는 것이 됩니다. 거기에서 삼각형을 만들어내고 다시 그 면적을 만들어냅니다. 기하학은 바로 상상(Vorstellung)이 된 수학이라는 것입니다. 인체 기관에는 단순한 기관도 있지만 뇌는 아주 복잡한 기관이라고 말합니다. 이처럼 수학에서 기하학은 단순한 것이고, 대수학은 아주 복잡한 형태입니다. 뇌는 우리 안에 있는 순환기 계통과 다른 일을 하는 아주 높은 형태입니다. 그것은 고학년의 수학과 저학년의 수학과 유사합니다. 저학년의 수학이 발전하지 않으면 고학년의 수학을 발달할 수 없습니다. 이것은 인체에서 순환기가 작동하지 않으면 뇌는 작동할 수 없는 것과 같습니다. 지금 우리가 본 것처럼 굉장히 기본적인 요소를 많이 했는데 이것은 고학년을 위해서 굉장히 중요한 요소입니다. 8학년과 9학년에서는 굉장히 많은 기하학이 들어가는데 이것이 고학년 수학의 바탕이 되는 아주 기본적인 것입니다.

  어제 고학년에 대한 내용의 모든 것을 수첩 6쪽에 걸쳐 모두 적었습니다. 그리고 지금은 단지 8, 9학년만 이야기했습니다. 10,11학년에서 1년 동안 수학에서 20개의 기하학 주제가 다루어집니다. 고학년의의 기하학을 위해서 무엇이 가장 경제적인 것인가를 묻고 싶습니다. 120개의 주제 중에서 무엇이 가장 경제적인 것인가를 말하는 것은 어렵습니다. 학교에서는 아주 단순한 수업계획이 있는데 2, 3개의 수업 주제가 적혀있습니다. 10학년을 위해서 대략 40개의 주제가 이 책에 적혀 있습니다. 11학년을 위해서도 거의 40개의 주제가 다루어져 있습니다. 우리가 한 주제를 제대로 작업하려면 최소 1주일이 걸립니다. 모든 주제를 다 다루고 있는 학교는 사실 없습니다. 사람들은 이 주제로부터 어떤 것이 가장 중요한지를 선택해야만 합니다. 수학선생님은 무엇을 해야 할지 아주 정확하게 잘 알고 있습니다. 이제 40개 중에서 나는 대략 10개 정도 밖에 다룰 수 없기 때문에 무엇이 중요한지를 선택해야 합니다. 우리는 좀 전에 면적 계산에 대해서 잠깐 살펴보았습니다. 면적 계산은 아주 기본적인 요소인데 그 것을 토대로 해서 아주 여러 가지 것들로 발전시켜나갈 수 있습니다. 이것을 하지 않는다면 나중에 나오는 다른 것을 이해할 수 없기 때문에 지금 다루는 이것이 필요합니다. 아이들은 이 주제의 무엇을 공부합니까? 고학년 아이들을 위해서 고학년 아이들이 도대체 무엇을 필요로 하는가를 봐야 합니다. 어느 해에 시험을 위해 배워야 하는 것들을 어떤 해에 발견할 수 있는가를 찾아야 합니다. 고학년 교사들은 나중에 아이들이 시험과 관련해서 무엇을 배워야 하는가에 대해서 질문을 가져야 합니다. 시험을 위해서 알아야하는 것입니다. 그리고 그것이 9,10,11,12학년에 어떻게 적절히 배분되어야 할지를 찾아야 합니다. 8학년 담임과정이 끝나는 시기에 9학년 시기에 무엇이 필요하며 무엇을 배워야 하는지 알고 있어야 합니다. 반대로 9학년 선생님이 무엇을 배워야 한다고 말하는 것 뿐만 아니라 우리는 어느 부분을 못했다고 9학년 선생님께 말할 수 있어야 합니다. 상급과 담임과정이 매번 서로 협의하고 그 내용을 공유하고 있어야 합니다. 이런 것이 되기 위해서 대략 4년 정도가 필요합니다. 고등부 고사들은 마지막에 아이들이 어떤 졸업을 하려는지 확실한 목적을 가지고 준비해야 합니다. 굉장히 해마다 어떤 수업내용을 해야 하는지 상급과 담임 과정이 서로 이야기하고 진행하는 것은 어려운 일입니다. 다음 시간에 그에 대해서 이야기 하겠습니다. 그냥 독일에서는 저 학교에서는 이렇게 하고 있으니 우리도 따라하자고 하는 경우도 있는데 그것은 학교마다 상황이 다른 것을 모르고 잘못 적용하는 것입니다. 완전히 새로이 만들어내야 합니다. 담임과 상급은 아주 다르지만 함께 작업을 해내야 합니다. 이제 마치겠습니다.

방법론_기하학 1~12학년_5/5(8월 4일 목요일)

  오늘은 완전히 정확한 시간에 끝내도록 하겠습니다. 우리 학교에서 고등부를 만들 때 자연과학과 수학에 커다란 문제를 갖고 있습니다. 두 번 그런 일들이 일어났습니다. 수학에 대해서도 아주 완전히 이해한 것도 아니고 물리학도 아주 확실한 것이 아니었습니다. 우리 학교에서 처음 학교를 세울 때 어떻게 수학 수업을 해야 하는지, 어떻게 고등부와 연결되어야 하는지 확실하게 알고 있지 못했습니다. 그 당시에 고등부 선생님들의 회의가 있었고, 담임교사 회의도 있었고, 함께 하는 회의도 있었는데 그것은 행정적 회의였습니다. 그러다가 이 모든 것이 잘 굴러가지 않는다는 것과 교육적인 것도 잘 맞아 들어가지 않는다는 것을 알게 되었습니다. 상급 교사들은 자료를 가지고 와서 그것을 펼쳐놓았습니다. 상급 교사들은 담임과정에서 무엇을 교육하는지에 대해서는 잘 몰랐습니다. 서로 이야기하기를 원했지만 서로 각자의 일에 바빠 교육적인 이야기를 할 수가 없었습니다. 이렇게 가다가는 더 이상 제대로 해낼 수가 없겠다, 우리는 서로 만나야겠다고 생각했습니다.

  처음에는 학기 중에는 서로 만날 수 있는 시간을 정할 수 없어서 방학 때 이야기했습니다. 서로가 안고 있는 문제를 공유할 수 있어서 기뻤습니다. 우리는 같이 앉아서 가지고 있는 문제를 함께 이야기했습니다. 그 모임은 아주 커다란 그룹이었고 각자가 가지고 있던 생각을 두서없이 털어놓았습니다. 그러면서 우리는 서로 문제점을 가지고 있으면서도 교육적으로 아무것도 하지 않았다는 것을 알았습니다. 바보 같은 일은 다음 해에도 달라진 것 없이 똑 같았다는 것입니다. 두 번이나 서로 이야기했는데도 문제는 더 어려워지고 개선되는 것은 없다는 것을 알았습니다. 같이 모여서 문제에 대해서 이야기했지만, 그것들을 한꺼번에 해결할 수 없다는 것을 알았습니다. 우리는 문제의 목록을 작성했습니다. 어떤 주제가 공통의 주제인지 찾아보았습니다. 가장 중요하다고 생각되는 하나의 주제를 선택했습니다. 우리는 그 주제를 가지고 일 할 수 있는 작은 그룹을 만들었고, 그 그룹의 첫 모임에서 그 문제에 대해서 더 확실한 공유를 했습니다. 세 번째 모임에서는 문제를 해결하지는 못했지만 한 발씩 앞으로 가고 있다는 것을 확인했습니다.

  가장 중요했던 것은 문제가 무엇인지 확실하게 인식하는 것이었습니다. 우리가 해결하려고 하는 것이 무엇인가? 원래 주제는 아주 크지만 거기서 하나의 작은 것을 찾아내고, 그 지점에서부터 일을 해나갈 수 있습니다. 우리는 기하학이라는 것이 아주 큰 주제라는 것을 알고 있습니다. 우리에게 인지학이 무엇인지에 대해 상상해 보십시오. 여러분은 인지학이 무엇인가를 가지고 와서 그에 대해서 일을 합니다. 인지학이 하나의 주제라는 것을 나도 들었습니다. 하지만 사전에 그에 대한 준비가 없었고 설명을 듣지 못했습니다. 오후 시간도 마찬가지였습니다. 기하학이라는 큰 주제를 가지고 1~12학년을 다루려고 한다고 들었습니다. 그러나 그 내용이 무엇이고, 교육과정이 무엇이고, 그렇게 구체적인 것을 듣지 못했습니다. 그러다 보면 우리가 얻고자 하는 것이 무엇인가 하는 문제점들이 생깁니다.

  인지학은 슈타이너가 쓴 전체 서적 모음이라고 말할 수 있습니다. 그것을 가지고 강의를 하다 보면, 당연히 어려움이 나타납니다. 어떤 이는 ‘내가 원하던 주제야.’ 어떤 이는 ‘나는 관심 없는 주제야.’라고 생각할 수 있습니다. 여러분들이 저를 다시 초대하려고 한다면 먼저 생각을 좀 해봐야 합니다. 최소한 반년 전에 무언가를 생각하고 초대장을 보내야 합니다. 최소 반 년 전에 ‘전체 주제에서 이 영역을 강의해주시기를 원합니다.’라고 말해야 합니다. 그래야 내가 그것을 보고 자신의 경험을 살피고 생각을 하면서 준비를 할 수 있습니다. 우리는 모두 교육을 받은 발도르프교사이지만 내일을 위해서 항상 수업을 준비해야 합니다. 바쁘지만 시간적인 여유가 있다면 미리 준비를 해서 다시 한 번 살펴보고 또 새로운 제안이 있는지 확인할 수도 있고, 또 여러분에게 다른 제안을 할 수도 있습니다. 그러면서 내가 내놓은 어떤 제안이 우리에게 맞지 않는다면 또 다른 것을 살펴볼 수 있습니다. 그리고 이 주제를 다루기 위해 며칠이 걸리는지 생각해 볼 수 있습니다. 그 다음에 검토를 해보고 내가 준비한 것을 여러분들에게 제공할 수 있습니다.

  내가 기대하는 것이 뭐냐 하면, 여러분의 기대에 내가 상응할 수 있기를 기대합니다. 그렇지 않다면 내가 하는 강의에 대해 여러분들은 불만족하고 나는 슬퍼집니다. 우리는 이제 여러분들이 도대체 무엇을 원하고 있는지, 몇 시간 동안 할 수 있는 지 등을 살펴서 완전하고 정확한 계획을 세워야 합니다. 최소한 2주 전에 기하학에 대해 이해하고 준비해야 하는데, 오기 얼마 전에 오후 강의의 주제가 ‘기하학 1~12학년’이라는 이야기만 들었습니다. 저 선생님은 수학 선생님이니 자동적으로 착착 나올 것이라고 생각하는 듯합니다. 오랫동안 수학 교사로 일한 것이 아니고, 겨우 다음 해에야 수학 전임이 되기 때문에 모든 것이 머리에 갖춰져 있는 것이 아닙니다. 또 사람들이 알고 싶어 하는 것이 있는데 ‘부모들과 어떻게 일할 수 있는가?’ 입니다. 두 번 정도의 강의를 할 수 있는 주제입니다. 부모를 위해 두 강좌를 할 수 있느냐는 요구도 있습니다. 갑자기 모든 강의를 요구해서 정신이 없었습니다. 주제를 빨리 준비해야 하고 그러다 보면 확실하게 그 주제에 대해 이야기할 수 없습니다. 여러분의 요구에 해결점을 주지 못할 것 같아 불안합니다. 1~12학년까지의 기하학이라니 너무 많은 내용이어서 무엇을 해야 할지 모르겠고 무엇을 원하는지도 알기 어렵고...... 모든 것이 너무 급작스러워서 준비하기 힘들었습니다. 준비하는 기간 동안 서로 소통이 이루어져야, 왔을 때 서로 실망하는 일이 없을 것입니다.

  ‘담임과정에서 어떻게 졸업이 준비되어야 하고 어떻게 고등부로 넘어가야 하는가?’의 주제로 돌아가겠습니다. 어제 말씀드린 바와 같이 교사 전체가 같이 일할 수는 없습니다. 다른 학교에 가서 물어보았습니다. 9,10,11학년에서 무엇을 하는지에 대해서 각각의 학교들마다 다 달랐습니다. 어떤 학교에서는 특정한 주제를 특정 시간에 하고 있었고, 다른 학교는 또 다르게 하고 있었습니다. 우리가 무엇을 해야 하는가 하는 생각을 하게 되었습니다. 그저 몰랐기 때문에, 다른 학교에 처음에 어떻게 시작하는지에 대해 물었더니 학교마다 경험들과 상황들이 다 달라서 역시 어디에서 어떻게 시작할지 알 수가 없었습니다.  어떤 학교에 질문을 했을 때, ‘이것이 바로 우리학교의 아이들이 마지막으로 해야 하는 일이다.’ 라고 정하고 그것을 이루기 위해 무엇이 필요한지 살펴보았다고 했습니다. 동료들이 어떤 주제를 선택해야 하는가를 질문했습니다. 단지 시험이 아닌 ...를 위해서 ... 그리고 가장 중요한 것은 무엇이 내 안에 놓여있는지, 자신에게 열정적인 관심이 있어야 한다는 이야기를 들었습니다. 학생들에게 무엇이 중요한지를 보자고도 했습니다. 무엇이 학생들에게 중요한지를 발견하기란 쉽지 않습니다.

 8학년 선생님과 10학년 선생님이 같이 의논을 했는데, 9학년에 도대체 무엇이 와야 하는지를 논의했습니다. 8학년 선생님은 아이들과 어떤 수업을 했는지, 현 8학년의 상태가 어떤지에 대해 설명을 했습니다. 9학년 수학선생님은 그 이야기를 듣고 8학년이 어떤 학년인지에 대한 상을 만들 수 있었습니다. 9학년 수학선생님이 그래서 수업에 가서 나는 이 학년이 어떤 상태인지 알고 있다 그리고 무엇이 필요한지 알고 있다고 확신하고 그 수업을 준비했습니다. 이처럼 9학년 수학선생님이 10학년 선생님과 의논을 해서 확신을 갖고 수학 수업을 시작했는데, 결국 실패를 해서 결국 1년 만에 의혹 없이 떠날 수 밖에 없었습니다. 9학년 수학선생님은 학생들이 자기 수업을 따라오지 못하고 수업에 흥미가 없다고 느꼈습니다. 이 선생님이 실수한 부분은 이 학년의 상을 너무 단정적으로 가지고 있었다는 것과 아이들이 9학년이 되면서 변화했다는 것을 놓친 것입니다. 그 이후 조금 열어 놓고 움직였습니다. 약간 실험적이라고 볼 수 있는데 고정적으로 해야 할 것을 정하는 것이 아니라 조금씩 해보고 수업을 진행한 후에 교사회에 보고하기로 했습니다. 이 방식으로 마지막 해에 아주 잘 굴러갔습니다.

  우리는 위기를 갖게 되고 또 그 위기에 어떻게 대처할 것인가를 생각해 보고 실험을 했습니다. 몇몇 선생님들은 학년 초에 우리들의 학습 목표에 대해 이야기를 했습니다. 우리 학교에서의 수학에 대한 경험을 가지고 이야기하겠습니다. 9,10,11학년에 각각 다루어지는 수업 목록을 칠판에 모두 적었습니다. 그리고 한 모임에서 어떻게 고등부 학생들을 다루어 수업을 할 것인가에 대해 이야기를 했습니다. 어떤 특정한 방식을 발전시켰습니다. 처음에 아이들이 앉아있고 수학선생님이 나와 뭔가를 이야기하면, 아이들은 ‘한 번 해봐.’ 하는 지켜보는 태도를 가지고 있었습니다. 상급 수학 수업은 아이들은 그냥 앉아 있으면서 뭘 하는지 보자는 식이고 선생님들이 와서 막 설명을 하는 것이었습니다. 이것은 단지 수학 선생님에게만 해당되는 것이 아니고 다른 선생님들에게도 해당됩니다. 수업을 하고 나면 선생님들은 아주 녹초가 되는데 아이들은 기분이 좋은 상태가 됩니다. 여자 생물 선생님이 항상 그런 느낌을 가지고 살고 있습니다. 항상 수업을 하고 아이들이 듣는데 선생님이 느끼기에는 아이들이 배운 것이 없다는 것이었습니다. 수학 선생님은 수업 후에 교무실에 와서 책을 던지면서 ‘이 학생들을 달나라로 보내버리겠다.’고 했습니다. 어떻게 이런 식으로 계속 갈 수 있겠습니까? 1,2년 뒤에는 모든 에너지가 다 소진되어 버릴 것입니다.

  몇몇 선생님이 칠판에 올 1년 동안 무엇을 배울 것인지에 대한 주제를 아이들에게 써 주는 일을 실행하고 어떤 내용을 어떤 시간에 할지에 대한 계획을 아이들과 함께 세웠습니다. 그리고 그 옆에는 의무 사항은 아니고 아이들이 선택할 수 있는 주제를 써 두었습니다. 아이들이 꼭 의문을 가지고 해야만 하는 주제를 위해서는 아이들과 계약을 맺었습니다. 나의 경험으로 볼 때, 상급 학생들은 무조건 해야 한다는 것을 하는 것이 아니고 자신이 하고 싶은 것을 교사와 의논해서 하고 싶어 합니다. 9학년에서는 그렇게 할 수 없을지 모르지만 10학년 아이들은 그렇게 할 수 있습니다. 10학년 아이들은 올 1년 동안 할 목표를 의논해서 할 수 있습니다. 너희들이 이것을 할 수 있겠느냐고 물어보고 함께 이야기할 수 있습니다. 칠판 왼쪽에 올 한 해 동안 해야 할 것을 적어놓고 학생들에게 우리는 올해 이것을 해야만 한다고 이야기합니다. 그러면 몇몇 아이들은 ‘내가 학교에 왔지만 내가 배우나 안 배우나 별 차이가 없다.’고 생각합니다. 아이들이 의무적으로 해야만 하는 주제들을 가지고 아이들에게 할 것인지 안 할 것인지를 묻습니다. 안하겠다는 아이들이 있으면, 그러려면 왜 학교에 오느냐고 물었습니다. 교사는 아이들에게 ‘도대체 너는 왜 여기에 와 있느냐?, 시험을 위해서 이냐?, 우리가 원하는 것을 얻기 위해서 이냐?’라고 물었습니다. 그러고 나면 아이들은 스스로 의식적인 질문을 하게 됩니다.

  아이들이나 교사에게 중요한 것은 교사가 아이들 앞에 춤을 추는 것이 아니라 아이들 안에서 배우려는 의지를 이끌어내는 것입니다. 확실하게 말씀드리고 싶은 것은 아이들에게 강요하는 것이 아니라 너희들이 이것을 해야 한다는 것을 내면적으로 의식하도록 일깨워줘야 한다는 것입니다. 9학년은 의식하지 못하지만, 10학년 아이들은 의논하는 것을 할 수 있습니다. 교육적으로 아이들에게 그러한 것을 요구할 수 있는 것입니다. 아이들이 30명 정도 있다면 한 명 내지 세 명 정도는 교사가 엄하게 너희는 이것을 해야만 한다고 이야기해야 하는 아이들이 있습니다. 아이들 중에는 자유 시간에 자기가 무엇을 하고 싶은지 정확히 계획을 세우고 있는 아이들이 있습니다. 그런 아이들에게 이제 그런 의지를 공부에서도 가져야 한다고 일깨워주어야 합니다. 30명의 학생들에게 일 년 동안 배울 것을 칠판에 적어주면, 아이들은 일 년 동안 학습의 방향성을 가질 수 있게 됩니다. 단지 학기 초에 한 번만 적는다면 아주 쉽게 잊어버립니다. 그래서 칠판에 적은 것들을 큰 종이에 다시 적어서 붙여 놓을 수 있습니다. 예를 들어 수학 수업이 시작되면 이렇게 둘둘 만 종이를 펴서 옆에다 붙여둡니다.

  우리 학교에는 일 년에 두 차례의 4주 또는 3주간의 수학 집중수업이 있습니다. 그래서 두 개의 집중수업으로 나누어지는데 어떤 주제를 먼저 하는 집중수업에서 하고, 어떤 주제를 나중에 할지가 적혀 있습니다. 3주간의 집중수업이면 15일, 4주간 집중수업이면 20일의 시간이 있습니다. 첫 집중수업에는 첫 시간에 한 시간 동안에 걸쳐 전체 일 년 집중수업 전체에 대해 자세히 설명합니다. 어떻게 끝내야 할지를 ... 몇몇 동료들은 이 과정이 기니까 조금 설명하고 그냥 수업을 해 버립니다. 그렇게 하면 학생들이 교사와 맨 처음에 이야기 했던 것을 이제 에포크 수업시간에 이야기합니다. 이제 처음에 학기 초에 짰던 것들 중에 첫 집중수업에 대한 계획표를 여기에 씁니다. 해야만 하는 것(시험에 들어가는 과목)/ 선택하는 것(시험에 안 들어가는 과목)을 적고 그 실행 계획을 짜서 다시 종이에 적어 둡니다. 다음날 수업을 할 때 칠판에 적어 두었던 것에 다시 구체적인 내용을 추가하여 적습니다. 그리고 그 날 아침 수업을 시작할 때 수업할 내용을 확인하고 또 그 날 수업이 끝날 때 오늘 목표한 것을 확실히 했는지 살펴보고 종이 목록에 표시를 합니다. 그렇게 계속 표시를 해나갑니다. 그 집중수업 기간이 끝난 다음에 우리가 수업기간에 계획했던 것을 해낸 것과 해내지 못한 것을 전체적으로 살펴봅니다. 해낸 것과 그렇지 못한 것을 확실히 의식하고 있는 것이 중요합니다. 뒤죽박죽 안개처럼 있는 것이 아니어야 합니다.

  처음에 이 방법을 실행했을 때 모든 교사가 이렇게 한 것은 아닙니다. 아이들이 이런 것을 경험하고 난 다음에 선생님께 이런 질문을 했습니다. ‘올 해에 무엇이 너희 마음에 들었고 무엇이 마음에 들지 않았니?’ 하고 돌려서 아이들에게 질문을 했습니다. 아이들에게 설문 종이를 나누어 주고 무기명으로 자기 생각을 적을 수 있도록 했습니다. 아주 많은 아이들이 선생님이 소개한 방법이 좋다고 했습니다. 일 년 내 자기들이 목적을 향해 갈 수 있도록 하는데 좋았다고 했습니다. 그리고 어떤 선생님을 학생들이 좋아하는지 물어 보았습니다. 당연히 학생들은 친절한 선생님이 좋다고 했습니다. 무엇이 친절한 것인가라는 질문을 구체적으로 할라 치면, 혼자서 친절한 선생님이 아니라 ‘구조적인 것을 아이들과 함께 해주는 선생님이 친절한 선생님이다.’ 라고 했습니다. 어떤 형태를 짜주고 그것을 향해 어떻게 갈 지를 이끌어주는 선생님 말입니다. 우리는 고등부 아이들이 어른이라고 생각한 것입니다. 어른이라고 하면 자기의 구조를 확실히 갖고 있는 사람을 말하는 것입니다. 9학년 아이들은 자신들이 가지고 있던 구조를 완전히 잃어버렸습니다. 자신들의 구조가 없다는 것입니다. 우리 학교는 9학년 아이들뿐만 아니라 전체 상급 아이들에게 확실한 목적을 주고 구조를 주는 것이 중요하다는 것을 경험을 통해 알게 되었습니다.

 아이들은 앉아 있고 선생님이 무엇을 자신들에게 제공하는지 쳐다만 봅니다. 선생님들은 이제 발도르프학교 수학선생님입니다. 선생님들은 이미 자기가 무엇을 알고 있고 무엇을 해야 하는지 알고 있습니다. 그러나 아이들은 그렇지 못합니다. 저학년 아이나 고학년 아이들은 전체 세상에 대해 굉장히 많은 정보를 알고 있습니다. 텔레비전이나 인터넷을 통해 자극이나 정보들이 아이들에게 그냥 흘러들어옵니다. 아이들의 일상적 삶 속에서 굉장한 정보나 자극들이 흘러들어옵니다. 원하든 원하지 않든 일방적으로 흘러들어오고 아이들은 그에 대해 반응을 합니다. 아이들이 나쁘게 보이는 것은 이 정보들을 처리하지 못하고 밖으로 흘려보내기 때문에 그렇게 보이는 것입니다. 우리의 과거 사회는 사회가 어디로 가야 하는지에 대한 목표나 그에 대한 어느 정도의 구조를 가지고 있었지만, 현재의 사회는 그런 것을 가지고 있지 못하고 많은 정보들을 가지고 있을 뿐입니다. 그로 인해 아이들은 자신들을 세울 수 있는 구조를 가지고 있지 못합니다. 한 예가 받아들여 소화할 수 없는 아주 어린 나이에 성적인 충동을 주는 것입니다. 그런 것들이 광고 등을 통해 들어오지만 아이들은 그것을 소화할 수도 없고 보호받지도 못합니다.

  독일에서는 아직 작은, 세 살 정도 된 아이들은 놀이를 합니다. 유치원에 가면 놀이를 하지 않고 좀 더 크면 컴퓨터 앞에 앉아서 마우스만 놀리고, 아니면 이어폰을 귀에 꽂고 다니거나 스마트폰 같은 것들을 가지고 다닙니다. 아이들 앞에서 많은 것들이 일어나지만 아이는 그냥 앉아만 있습니다. 일은 컴퓨터가 다 합니다. 선생님들은 아이들이 버릇이 없다, 쳐다만 보면서 앉아만 있다고 이야기합니다. 사실 이 시대의 아이들은 어떻게 배워야 하는지 어떻게 반응을 해야 하는지 알지 못합니다. 아이들은 오랫동안 방향성 같은 것을 받아 보지 못했습니다. 교사가 아이에게 방향성을 주고 오늘 제가 이야기한 방법으로 구조를 주는 것이 굉장히 중요합니다. 우리에게 수업을 잘 준비하는 것도 중요한 일이지만 처음에 칠판에 썼던 것처럼 구조를 주고 목표를 제시해주고 어떻게 가야하는지를 의식하도록 해서 아이들이 선생님과 함께 하도록 하는 것이 중요합니다. 항상 시간을 끌었는데 지금 10분 일찍 끝낼 수 있어 기쁩니다.