구의 겉넓이 공식을 적분하면 부피 공식이 된다. -- 우연일까?

[희망]

구의 겉넓이 공식을 적분하면 부피 공식이 된다. -- 우연일까?

구의 겉넓이 공식과 부피 공식

반지름이 R인 구의 겉넓이와 구의 부피 공식은 다음과 같습니다.

구의 겉넓이와 부피 공식    ,   

이 두 공식에 관해 신기한 사실!

겉넓이 공식을 적분하면 부피 공식이 되고 부피 공식을 미분하면 겉넓이 공식이 됩니다.

우연일까요?

이렇게 생각하면 우연이 아니라는 걸 알 수 있습니다.

양파 껍질을 벗겨내 다시 입히듯이 S(r)을 r에 대해 적분하면 부피가 됩니다.

(S(r)은 구의 중심에서의 거리가 r인 부분의 겉넓이)

즉,

이 식의 양변을 미분하면 V'(R) = S(R)

이와 같은 방법으로 생각한다면 원의 둘레와 넓이 사이의 미적분 관계도 이해할 수 있겠네요.

,   

그러나, 위와 같은 방법은 달걀 모양의 타원체등 그외의 입체에는 안통합니다.

중심에서 완전히 대칭적으로 뻗어 나간 구이기에 우연히 들어 맞은 것이지요.

회전체의 부피 구하는 법은 미분과 적분 과정의 적분에서 배웁니다.

그럼, 겉넓이는 어떻게 구할까요?

회전체의 겉넓이를 구하는 공식

를 x축 둘레로 회전한 회전체의 겉넓이

 

이 공식의 직관적인 이해는 이렇습니다.

회전체를 아주 얇은 조각으로 dx만큼 자릅니다.

아주 얇기 때문에(극한적으로) 원기둥으로 봐도 됩니다.

반지름은 f(x), 높이는 dl인 원기둥이요.

이 때,

            

(얇은 원기둥의 옆넓이) = =

이걸 적분한 거죠.

이제 이 공식을 이용해 구의 겉넓이를 구해 봅시다.   위쪽 반원 을 이용합니다.

을 x축 둘레로 회전하면 구가 됩니다.

이므로

아르키메데스

아르키메데스는 생전에 자신의 묘비를 준비해 두었다고 합니다.

그 묘비에 오른쪽 그림을 새겨 두었다고 하고요.

수많은 위대한 업적들이 있는데 저게 얼마나 자랑스러웠으면.

이 그림은 많은 걸 내포하고 있는데 그 중 하나는 구의 겉넓이가

원기둥의 옆넓이와 같다는 것입니다.

한마디만 더.

극한적으로 얇게 가로로 자르면 구의 파편과 원기둥의 파편의 넓이는 같습니다.

아르키메데스가 구의 겉넓이를 발견한 방법이기도 하고요.