수학 참고자료 모음 수정·추가할 부분 [26개]

일단 한 차례 살펴는 봤는데 혹여 더 부족하거나 고쳐야 할 점 있다면 알려주세욥 'ㅁ'!

---

<수와 연산>

---

1페이지

1-1-6 50까지의 수	참고자료	수 세기	능숙한 수 세기는 기본 연산을 수행하는데 도움이 된다. ① 바로 세기󰠅󰠅󰠅󰠇 덧셈, 뺄셈 전략의 개발로 이어짐 ② 거꾸로 세기 󰠎 ③ 뛰어 세기󰠅󰠅󰠅 곱셈의 기본
		10 세기 19까지의 수 세기	10개씩 묶어 세는 방법을 반복적으로 연습 - 수 이해의 폭을 넓힘 10개를 세는 효율적인 방법으로는 2개씩 세기, 5개씩 세기, 배열 형태를 고려한 세기 등을 활용할 수 있음
		다시 세기	낱개로 하나씩 세어 나갈 때 센 것과 세지 않은 것을 구분하지 못해 빼먹거나 중복하여 셈으로써 오류를 범하거나 수 세기를 정확히 마치더라도 그 수가 몇이냐는 질문에 답변하지 못할 수 있다. 또한, 학생들에게 어른처럼 세어 보라고 강요하는 것은 바람직하지 못한다. 그렇지만 다시 세어 보게 한다면 스스로 쉽게 셀 수 있는 전략을 찾게 된다.

앞뒤 문맥을 잘라둔 거라 '그렇지만'으로 고쳐야 보기 편하시겠습니다.

---

1페이지

3-1-1 10000까지의 수	생각해 볼 내용	네 자리 수의 자릿값	두 자리 수의 자릿값과 세 자리 수의 자릿값을 생각하여, 네 자리 수의 자릿값을 추론하여 지도한다.
		돈의 콤마(,) 위치	우리나라는 네 자리마다 수의 기본 단위가 달라지는 수 체계이다. 반면, 인도-아라비아 숫자에서 세 자리보다 큰 수를 나타내는 숫자는 세 자리마다 콤마(,)로 묶는다. 따라서 국제적으로 사용되는 돈에서는 세 자리마다 콤마(,)를 찍는다.
		수 모형, 문장만들기	양감을 기르는데 도움을 준다.
	탐구활동	본 단원에서는 수모형을 통해 네 자리 수의 뛰어서 세기의 개념을 형성하였다. 탐구활동에서는 수모형 대신 수직선 그림을 이용하여 활동하도록 하였다. 수모형보다 수직선을 이용하면 뛰어서 세는 개념을 보다 쉽고 편리하게 할 수 있는 장점이 있다.
	참고자료	인도-아라비아 숫자 체계 ① 기본 숫자 : 0~9로 10개의 기호 또는 숫자는 모든 수를 나타내기 위해 조합하여 사용할 수 있다. ② 십진법 체계 : 인도-아라비아 숫자는 열 개씩 묶어 셀 수 있다. 이전 단위가 10개가 되면 새로운 단위 한 개로 대치된다. ③ 위치 기수법 : 수에 있는 각 숫자들은 그 숫자가 위치한 자릿값을 가지고 있다.

---

2페이지

1-1-4 더하기와 빼기	관련교구	스냅 큐브	하나하나의 블록의 각 방향에서 끼워 맞출 수 있게 한 교구 3차원 도형이므로 주로 공간 도형의 개념, 측도, 공간 추론의 탐구에 유용하게 사용 자신의 추론을 직접 확인할 수 있기 때문에 공간감각과 추론 능력을 키우는데 유용하게 사용
		퀴즈네르 막대	악보의 음의 높낮이가 학생들에게 쉽게 이해된다는 것에 힌트를 얻어 수들의 관계를 길이로 나타낸 것 1cm에서 10cm까지 길이와 색깔이 다른 직육면체 모양의 막대 10개가 한 묶음 각 막대는 길이를 한정하는 단위 길이가 표시되어 있지 않아 필요에 따라 여러 수를 나타낼 수 있고, 이러한 단순성을 통해 자연수, 분수, 약수와 배수 등을 지도하는데 사용 저학년에서는 각 막대의 크기를 한 눈에 파악하는 것이 쉽지 않아 각각의 막대에 줄이 그어져 크기를 직접 세어 알 수 있게 만든 막대가 더 편리할 수 있다.

3-1-2 덧셈과 뺄셈	생각해 볼 내용	연산의 이론적 배경	사칙연산 : 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 연산 : 몇 원소가 서로 작용해 하나의 원소를 생성하는 대응 규칙, x항의 원소가 작용해 하나의 원소를 생성할 때 x항 연산이라 한다. 이항연산, 사항연산 등
		필산	사칙연산의 가로로 쓰인 식은 계산에 어려울 수 있으므로 쉽게 생각해낸 방법이 필산(세로 형식 계산)이다. 문제를 해결하다보면 필산을 해야 하는 경우가 있으므로 필산의 개념을 소홀히 해서도, 강요해서도 안 된다. 특히, 평가에서 □를 넣어두고 출제해선 안 된다. (필산 의존 방지, 머리 셈 강화, 받아 올림과 받아 내림 기억력up)
		뺄셈,덧셈 계산 단계	덧셈, 뺄셈에서는 반드시 일의 자리 수 → 십의 자리 수 → 백의 자리 수 순서로 계산하는 것은 아니다. 그렇기 때문에 새 교과서에선 단계 순서를 정해주진 않고, 머리 셈을 하도록 가로 셈과 함께 제공하고 있다.
		수모형 활용의 의의	교과서는 필산으로 계산하는 방법을 형식화하여 지도하나, 이후에 다양한 사고를 하는데 장애가 될 수 있다. 교사는 학생들이 수 감각을 최대한 활용해 문제에 대한 이해와 분석 활동을 선행하도록 유의해 지도해야 한다. 연산에서는 답을 구하는 것보다 다양한 아이디어와 해결전략을 탐구하고 비교 선택하는 과정이 매우 중요하다.
	탐구활동	쉽고, 간단하고, 편리하고, 빨리 계산하기 위해 큰 자리 숫자부터 머리 셈 하는 활동 받아올림이 2번 있는 세 자리 수 끼리의 덧셈 (백의 자리부터 쓰기) ① ←아래 자리부터 올라가며 받아올림 확인 ② →계산

3-2-1 덧셈과 뺄셈	생각해 볼 내용	머리셈	외부적 기억장치 없이 머리로만 하는 계산 ① 보다 쉽고 편리 ② 수 감각 ③ 어림셈의 초석, 어림셈의 기능 향상 ④ 알고리즘 선택의 다양성 제공
		어림셈	계산 결과를 어림해 보는 계산 ① 계산결과 판단 기준 ② 계산법이 빨라 신속한 결정에 도움 ③ 흥미유발 ④ 일상생활의 근삿값을 구하는 활동임
		필산	종이와 연필을 이용한 계산 장점 : 큰 수나 복잡한 수의 계산을 체계적으로 할 수 있다. 단점 : 수 감각을 느낄 수 없고, 계산에 많은 시간이 필요하다. (기계적 계산)
		계산 방법	?
		덧셈,뺄셈 계산법 장단점		장점	단점
			높은 자리부터	직관적으로 계산 결과 예측, 계산방법 쉽게 이해	알고리즘이 더 필요해 복잡
			낮은 자리부터	계산 방법이 간단	직관적 예측X, 계산방법 쉽게 이해X

---

3페이지

3-1-6 곱셈	생각해 볼 내용	곱셈 정의	범자연수(0과 자연수)에서의 곱셈은 일반적으로 동수누가의 방법으로 정의할 수 있다. a,b(≠0)를 임의의 두 범자연수라고 한다면, a×b = a+a+…+a (a를 b번 더하기)이다. a와 b를 인수(factor)라고 하며, a는 피승수, b는 피승수라 한다. 또 a×b의 값을 a와 b의 곱(product)라 한다.
		곱셈 지도모델	동수누가 모델 직사각형 배열 모델 조합 모델 (윗도리와 아랫도리 조합) → 곱셈을 직관적으로 지도 수모형 모델 측정 모델 (수직선) 넓이 모델 (모눈종이)
		교환법칙	직사각형 배열 접근에 의해 설명해 주는 것이 확실하다. 직사각형의 열과 행을 통해 원소의 개수가 같다는 점을 들어 ab=ba가 됨을 직관적으로 알도록 한다.
	익힘책	곱셈 값 가장 크게 하기 : 피승수 × 승수에서 승수를 가장 크게 한다. 곱셈 값 가장 작게 하기 : 피승수 × 승수에서 승수를 가장 작게 한다.
	참고자료	머리셈 : 외부적 기억 장치 없이 머리로만 계산하는 셈 머리셈의 필요성 : ① 수 감각 향상 ② 학습자들의 수학적 능력 신뢰 경험, ③ 계산에 편리한 방법이 무엇인가 고민하는 습관 형성

3-1-4 나눗셈	생각해 볼 내용		몫의 의미	뺄셈식 표현	나머지	수직선 이용	수학적 정의
		포함제	횟수	O	O	편리	있음
		등분제	개수	X	X	어려움	없음
		동수누감 나눗셈 식에서 횟수를 몫으로 약속하는 것은 국어사전적 의미에서 참 어려운 일이다. 등분 나눗셈 식에서 개수를 몫으로 약속하는 것은 국어사전적 의미에서 자연스러운 일이다. 그럼에도 두 나눗셈 식에서 똑같은 기호를 쓰는 이유는 ‘배’와 같은 동음이의어를 통해 설명할 수 있다.
	탐구활동	동수누감 나눗셈 식은 수직선 활용이 좋으나, 등분 나눗셈 식에서는 어려움이 따른다.
	참고자료	나눗셈식의 수학적 정의는 곱셈식의 역연산으로 정의하고 있다. a.b(≠0)을 임의의 범자연수라 한다면, a÷b=q 일 필요충분조건은 어떤 범자연수 q에 대해 a=b×q ※ 등분 나눗셈 식은 수학적으로 정의된 것이 없다.

---

4페이지

3-2-4 나눗셈	수학의 이론적 배경	나눗셈식정의	나눗셈식 a ÷ b = c는 곱셈식 b × c = a의 역연산으로 정의(약속)한다. 이때, 나눗셈식은 동수누감의 의미를 포함하고 있다.
		동수누감 나눗셈식 (포함제)	수학적 의미와 표기	나눗셈식 a ÷ b = q … r은 곱셈식의 역연산으로 나타낼 수 없다. 따라서 수학적으로 나눗셈식이라고 말할 수 없다. 그러므로 a ÷ b = q … r의 표현은 수학적 의미에서의 표기가 아니고, 몫과 나머지를 표기하기 위한 간단한 표기이다.
			검산	a ÷ b = q … r의 검산은 a = b × q + r로 정의한다. a = q × b + r 는 승수와 피승수의 위치가 바뀌어 a ÷ b = q … r의 검산식이 될 수 없다.
	탐구활동	나눗셈식 필산 간편 방법	앞에서 뺀 나머지를 중간에 표시한다.
	좀 더 알아보기	나눗셈식 문제해결	㉰ 아래에서 유추 ㉳ 나머지와 일의 자릿수에서 유추, 5-㉳ = 1 ㉮ 󰠇 ㉮ × 2 = ㉱ , 8 - ㉱ < ㉮에서 유추, 3㉮ < 8 ㉱ 󰠎 ㉲ 8 - ㉱ = ㉲ ㉯ ㉮ × ㉯ = ㉲㉳ ※ 숫자들은 각각 다르다. 꼭 ㉮를 4로 하던데 틀린 거다. … 예상과 확인 과정
		나머지를 가장 크게 만드는 나눗셈 식	□□ ÷ □ = □ … □                      1, 2, 4, 4, 5  … 이 수 중에 채워넣는 건데 생략했어요. 제수가 가장 큰 경우부터 생각한다.
	참고자료	나머지가 있는 나눗셈	만일 a와 b(≠0)를 임의의 범자연수라 하면, 다음과 같은 범자연수와 q와 r이 유일하게 존재한다. a = bq + r (0 ≤ r ≤ b) b는 제수, q를 몫, r을 나머지라 한다. 나머지는 항상 제수보다 작음에 유의한다. 만일 나머지가 0인 경우 범자연수의 (나누어떨어지는) 보통 나눗셈과 일치한다.

┗ 00:11

4-1-2 부정,불능 설명이 반대로 되어 있지만 이번에도 명백해서 다 아실 거 같아요.^^

삭제 | 신고

4-1-2 곱셈과 나눗셈	생각해 볼 내용	곱셈성질	곱셈은 같은 수 몇 개를 덧셈한 것과 같은 결과를 얻는 연산이다.
			교환 법칙		ab = ba
			결합 법칙		a(bc) = (ab)c  괄호 위치 ㅋㅋㅋ 수학적 정의니 바르게 써야겠죠. -_-;
			덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙		a(b+c) = ab + ac
		소인수 곱	소인수 : 1과 자기 자신 이외의 수로 나누어 떨어지는 수  4年 수 나무 놀이 : 주어진 수를 여러 갈래로 나누어 보는 놀이  → 5年 최대공약수, 최소공배수 단원에서 주어진 수를 소인수의 곱으로 나타내는 방법 학습
		문장제 지도	곱셈 문제를 어려워하는 학생들은 실제로 문장과 같은 가격의 물건을 여러 개 사도록 하여 영수증 금액과 자신의 계산 결과를 비교하여 정답을 확인하게 한다.
		등분 나눗셈과 동수누감 나눗셈	등분 나눗셈			피제수를 제수가 나타내는 수로 등분하는 나눗셈		생명이 없는 것에 활용
			동수누감 나눗셈			피제수에서 제수를 몇 번 뺄 수 있는가 나타내는 나눗셈		생명이 있는 것에 활용
		나눗셈에 0이 등장하지 않는 이유	X ÷ 0 = □에서 X = 0 × □로 □ 안에 어떤 수를 곱해도 X가 될 수 없다. 즉, 답이 없게 되므로 나눗셈에서는 0을 볼 수 없다. 수학적으로 나눗셈에서 0 ÷ 0 을 부정, a ÷ 0을 불능이라 한다.
			부정	0 ÷ 0			0 × □ = 0 모든 것이 답이 된다.
			불능	a ÷ 0			0 × □ = a 어떠한 답도 없다.
	탐구활동	23 × 12 = 276 (십의 자리 사이 곱셈) + 각각의 (십의 자리 × 일의 자리) 덧셈 + (일의 자리 사이 곱셈) 문제 해결의 유연성과 호기심, 흥미를 심어주는데 의의

4-1-5 혼합 계산	이론적 배경	괄호 : 일반적으로 무엇을 묶는 기호 소괄호 (). 중괄화 {}. 대괄호 [] 세 가지가 있다.
	탐구활동	+, -, ×, ÷, (), 숫자들로 혼합 계산식 만들기 계산 결과 큰 수가 나오게 하는 식을 만드는 방법 : 큰 수를 곱하거나 더한다. 작은 수를 빼거나 나눈다. 계산 결과 작은 수가 나오게 하는 식을 만드는 방법 : 작은 수를 곱하거나 더한다. 큰 수를 빼거나 나눈다. ※ 아직 분수의 계산을 배우지 않았으므로 ÷ 계산 시 분수 계산이 생기지 않도록 지도한다.

---

7페이지

┗ 12:03

5-1-4 분수의 곱셈 단원개관 4-1 동분모 분수의 덧셈과 뺄셈 / 4-2 동분모 분수의 크기 비교에서 4-1. 4-2 순서가 지도서에 순서가 반대로 나왔어요. 이건 명백하지 않아서 조금 모르시는 분들도 있을 거 같아요.^^

삭제 | 신고

5-1-4 분수의 곱셈	단원개관	4-1 동분모 분수의 크기 비교 (지도서 잘못 나옴) 4-2 동분모 분수의 덧셈과 뺄셈 5-1 배수와 약수, 통분과 약분, 동분모 분수의 덧셈과 뺄셈
	생각해 볼 내용	분수의 곱셈 - (선행 개념) → 측정 영역 넓이, 분수와 소수의 혼합 계산 x의 도 ‘배’라는 개념이 가능할까? (동수누가의 개념으로는 X, 비율의 개념으로는 O) = 반 이라는 인식에서 출발하여 지도한다.
		대분수 × 자연수의 곱셈은 수식으로 풀어 쓸 경우 분배법칙이나 결합법칙이 이용된다. 그러나 이러한 활동은 학생 수준에서는 매우 추상적이므로 구체물을 이용하거나 ICT를 활용하여 지도할 수 있다.
	좀 더 알아보기	×(+)	×=	+ = + =	괄호 안을 먼저 계산하지 않았다.
			+=	×=	분수의 계산에서 통분이 안 되고 있다.

 

---

 8페이지

┗ 13:28

6-1-1 분수의 나눗셈 Cf. (제수가 소수인) 소수의 나눗셈 - 등분제 (등분할 나눗셈) 만 사용 가능 <- 제수가 자연수이여야할 거 같아요. 이건 저도 좀 헷갈리네요.ㅠ

삭제 | 신고

6-1-1 분수의 나눗셈	생각해 볼 내용	제수가 분수인 나눗셈	(제수가 분수인) 분수의 나눗셈 󰠇 포함제 (동수누감 나눗셈) 확장 적용 가능 󰠌 등분제 (등분할 나눗셈) 적용 힘듦 : 자연수의 범위에서 의미 없음 Cf. (제수가 소수인) 소수의 나눗셈 - 등분제(등분할 나눗셈)만 사용 가능
		분수의 나눗셈 오류유형	알고리즘에 근거한 오류 : ‘제수에 역수를 곱한다.’라는 알고리즘을 기계적으로 암기한 결과. 피제수를 역수로 취한 경우와 제수를 역수로 취하지 않고 곱한 경우. 직관에 근거한 오류 : 자연수의 연산을 그대로 분수에 확장해 나가려는 경우. 제수를 자연수로 국한, 제수는 피제수보다 작아야 한다고 생각, 몫은 피제수보다 작아진다고 생각. 형식적인 지식에 근거한 오류 : 분수 개념에 대해 이해하지 못하거나 다른 연산에서 부적절한 성질을 가져오는 경우. 1 ÷ = ÷ 1 = 같은 경우.
	탐구활동	지금까지는 분수의 나눗셈을 통해 나온 값을 ‘몫’이라는 관점에서 지도하였으나 여기서는 ‘배’라는 관점에서 지도한다. 는 의 몇 배입니까? 배

   

6-1-1의 검토해주신 부분은 글 내용 해석하다가 스터디에서 결론 냈는데, 나중에 다시 없는 일로 되버렸으니 지워주세요.

그 부분이... 6-1-2에서의 내용일텐데

소수 ÷ 소수의 형태에서 포함제는 '몫이 자연수'여야 하는 전제가 있기 때문에 쓸 수 없다는 이야기가 나와서 쓴 거였거든요.

처음엔 그럼 '등분제만 쓴다는 거 아니냐?'로 결론냈었는데,

다시 살펴보니 '그 상태론포함제 등분제 모두 쓸 수 없다.'는 결론이 나왔어요.

아래 문맥에선 '피제수와 제수의 소수점 위치를 똑같이 오른쪽으로 옮겨 계산한다.' 로 나오더라구요.

스터디원 설명으론 두 개를 오른쪽으로 옮긴 다음에는 '등분제 형태'로 계산해야 한다고 했지만,

암튼, 그 상태로는 안 되는 것이니 지워주시면 되겠습니다. ^^*

요기까지 바쁘신데 검토해주시고 댓글 달아주신 분 감사합니다. (__)

공부 많이 해주신 분이 있으셔서 많이 안심되네요. 

덕택에 또 많이 배워갑니다!! 

---

카페기지 검토 中..

6 페이지

4-2-2 소수의 덧셈과 뺄셈	생각해 볼 내용	소수 연산의 의미	소수의 연산은 기본적으로 자연수의 연산을 바탕으로 한다. 소수의 덧셈 상황 󰠇 첨가 : 시간 상의 차이 󰠌 합병 : 두 개의 하위 집합으로 이뤄진 한 집합에서 하위 집합과 전체집합 사이의 관계에 초 점 소수의 뺄셈 상황 󰠇 제거 : 시간 상의 차이 󰠌 비교 : 두 양 사이의 관계 (두 전체 집합 또는 두 하위 집합 간의 양을 비교하는 경우)
		소수 덧셈,뺄셈 두 가지 접근법	분수	소수를 분수로 접근하는 방법 소수를 십진 분수로 바꾸어 계산하는 방법	간결, 명확하게 나타냄 곱셈과 나눗셈 계산에 편리 유리수 성질의 탐구에 적합
			소수	소수를 범자연수의 연산과 같이 접근하는 방법 소수의 자릿값에 대응해 열로 배열 후 각 수를 더하는 방법	대소 비교가 쉽다. 덧셈과 뺄셈 계산에 편리 실용성이 높고 계산기 사용 시 필수
		소수 덧셈,뺄셈 머리셈 준비	1의 보수 : 두 소수를 합하여 1이 될 때, 두 소수는 1에 대하여 서로 보수이다. 자연수의 보수 : 두 소수를 합하여 자연수가 될 때, 두 소수는 자연수에 대하여 서로 보수이다. (0.몇)의 보수 : 두 소수를 합하여 (0.몇)이 될 때, 두 소수는 (0.몇)에 대하여 보수이다.

여긴 글이 옆으로 밀려 있어서

'점 소수의 뺄셈 상황'으로 읽으실까봐 적어놓고 갑니당.

---

<합동>

---

 11 페이지

3-1-5 평면도형의 이동

생각해 볼

내용

합동 변환

평행이동

밀기

직선을 따라 일정 방향으로 일정 거리만큼 평면의 모든 점을 움직이는 평면의 변환

평면도형의 이동이 일어나도 모양은 변하지 않는다는 사실을 감각적으로 익히고 변화를 관찰하는데 목적이 있다.

대칭이동

(반사)

뒤집기

직선 위에 있지 않은 한 점 P에 대해, 직선 L이 점 P와 다른 한 점 P'의 이등분이 되도록 점들을 짝지우는 평면의 변환

(상하 또는 좌우만 변함)

회전이동

돌리기

어떤 방향에서 일정한 양으로 고정된 점을 기준으로 회전하여

일어나는 평면의 변환

평면도형의 이동에서의

구체물의 역할

구체물 활용을 통해 흥미를 유발하고 생활 속에서 평면도형의 이동을 찾으며, ‘밀기, 뒤집기, 돌리기’와

같은 일상용어와 상황을 이해하고 익숙해지도록 할 수 있다.

평면도형뿐만 아니라 구체물도 ‘밀기, 뒤집기, 돌리기’를 통해 위치나 방향이 변한다는 것을 지도한다.

단, 간혹 구체물의 조작이 수학적 평면도형의 이동과 차이를 보일 때도 있다. 예를 들어, 뒤집기의 경우 구체물을 뒤집으면 뒷모습이 나타나 모양이 변했다고 생각할 수도 있다.

평면도형의 이동에서의

작도 수업

작도는 밀기, 뒤집기, 돌리기를 통해 생기는 상을 예측하여 그려보는 활동이다.

학생들이 모눈종이 위에 그리는 것을 어려워한다면 교사의 시연과 함께 반복적 활동을 통해 연습한다.

평면변환은 변환 방법을 외우는 것이 아니라 학생이 이해하고 경험해보는데 주안점이 있기 때문이다.

평면도형의 이동에서의

평가 방향

작도를 중심으로 하는 지필평가를 지양하고, 학생들이 활동 중에 갖는 의문점, 평면변환 후의 도형을 보고 올바로 그려졌는지 직관적으로 판단하는 능력을 중심으로 한 수행평가를 권장.

평가문항에서 3年 수준의 평면도형이 아닌 기학적 모양을 사용하지 않도록 주의.

평면도형의 이동거리나 위치, 이동 각 등에 대해 세밀하게 지도하지 않도록 주의.

탐구활동

필요한 정사각형의 개수	이름	만들 수 있는 서로 다른 도형의 개수
1개	모노미노	1개
2개	도미노	1개
3개	트리오미노	2개
4개	테트로미노	5개

정사각형 개수에 따라 만들 수 있는 도형의 개수와 도형 이름

단순 오타 게 → 개

그리고 합동 변환은 모양과 크기는 변화 없이, 위치만 변합니다.

요 말 옆칸에 적어두셔도 좋을 듯. (작년 특강 내용)

아이들이 적은 거 몇 개 봤는데, 뒤집기(반사) 같은 걸 모양이 변했다고 표현하는 친구들이 있더라구요.

학교에서 배운 걸 복습하면서 적은 것 같던데, 그런 오개념 만들지 맙시다. ^^;

---

카페기지 검토 中..

 11 페이지

3-2-3 원	생각해 볼 내용	원의 정의	한 점으로부터 같은 거리에 있는 점의 집합 단일폐곡선 중의 한 특수한 도형
		원의 개념 이해 (저학년)	쟁반, 동전 같은 적절한 구체물을 이용해 종이 위에 본떠 동그라미 모양을 이해, 이땐 타원형도 동그라미 모양으로 인정. 실, 막대기, 끈을 이용해 원을 그리고 삼각형과 사각형의 다른 점을 물어보고 꼭짓점이나 변이 없음을 확인. 또, 원은 어느 쪽에서 보더라도 똑같은 모양임을 이해한다. (접어서 완전히 겹치는가 확인 - 2年)
		원의 구성요소	중심 : 한 정점, 점o 반지름 : 중심에서 원주까지의 거리, 선분 ㄱㅇ 현 : 원주 위의 임의의 두 점을 끝점으로 하는 선분, 선분ㄹㅁ, 선분ㄴㄷ 지름 : 중심을 지나는 현, 선분ㄴㄷ 호 : 원주 위의 두 점 사이의 원의 부분을 호, 호ㄹㅁ
		원의 작도	컴퍼스를 이용, 이를 통해 모든 원은 닮은꼴임을 이해한다.
		원의 성질	① 지름이 무수히 많고 중심에 의해 이등분된다. ② 지름의 반은 반지름이다. ③ 원주 상의 모든 점은 중심에서 같은 거리에 있다. ④ 원은 지름에 의하여 이등분된다. ⑤ 원주 상의 두 점을 맺는 선분(현) 중에 지름이 가장 길다. ⑥ 원은 점대칭도형이고, 또 선대칭도형이다.
		원의 지도	1. 생활에서 알아보기 : 동그란 모양으로 된 물건을 찾아본다. 2. 활동 : 동그란 모양의 물건을 관찰하고 만져본다. 3. 모델 : 둥그란 모양 본뜬다. 4. 원의 정의 약속 5. 성질 ① 지름은 반지름의 2배 ② 중심을 지나는 선분이 가장 길다. 6. 작도 ① 동그란 물건의 모양을 본뜬다. ② 침과 길이를 나타내는 실로 그린다. ③ 컴퍼스로 그린다. 7. 원의 구성요소 약속 ① 원의 중심 ② 원의 반지름 ③ 원의 지름

파란색 부분은 의아하실 수 있어서, 제가 미리 설명드릴게요.

위에서는 타원형도 인정하라고 하고, 아래에서는 접어서 겹치는가 확인하라고, 즉 원과 타원을 분리해보라고 합니다.

실제 활동에서는 접어서 완전히 겹치는가 확인하는 쪽으로 지도하고 있습니다.

그래서 괄호로 추가해두었습니다. ^^

마치 들이의 측정 개념 지도에서 직접 비교 - 직관 비교의 순서를 권장하지만,

실제 활동에서는 직관 비교 - 직접 비교의 순서로 하는 것과 같답니다.

여긴 깜빡하고 위치명이 아닌 내용으로 바로 작성해놨네요.

생각해 볼 내용에 해당하는 내용들입니다.

---

카페기지 검토 中..

 12 페이지

4-1-4 삼각형	학습 이유	삼각형은 가장 기본적인 평면도형으로 다각형의 여러 성질을 배우는데 기초가 된다. 삼각형은 사각형과 더불어 입체도형의 기본 요소로서 입체도형의 개념을 형성하는데 도움을 준다. 삼각형의 여러 성질은 측정 단원에서 직접 잴 수 없는 거리를 재는 데 활용된다. 도형의 합동과 대칭을 배우는 기초가 된다.
	생각해 볼 내용	각 종류	예각 : 0° ~ 90° 사이의 각 직각 : 90°인 각 → 초등 단계는 3개만 다룸 둔각 : 90~180° 사이의 각 평각 : 180°인 각 열각 : 한 점에서 나오는 두 반직선에서 생기는 작은 쪽의 각 우각 : 한 점에서 나오는 두 반직선에서 생기는 큰 쪽의 각 내각 : 다각형 내부에 있는 각 외각 : 다각형 외부에서 한 변과, 인접한 다른 한 변의 연장선으로 이루어진 각
		도형 기하	도형 : 도형 대부분의 성질을 버리고 모양과 크기만을 대상으로 하는 것 기하 : 공간 안에 있는 물체와 동작 등의 관계를 연구하는 것 - 좋아하는 물건을 만져보면서 그들의 관계 조사
		삼각형 종류	직각 삼각형 : 직각을 가진 삼각형 예각 삼각형 : 모든 각이 예각인 삼각형 둔각 삼각형 : (어느) 한 각이 둔각인 삼각형 부등변 삼각형 : 길이가 같은 변이 없는 삼각형 이등변 삼각형 : 적어도 두 변의 길이가 같은 삼각형 정삼각형 : 세 변의 길이가 같은 삼각형 (이등변 삼각형의 특수한 경우)
		정의 성질	성질 : 정의에 따라 그 도형이 가지고 있는 것 (특성 = 정의 +성질)
	탐구활동	삼각형 만들기	두 변의 길이의 합은 한 변의 길이보다 길어야 한다.
	익힘책	주어진 모양 속에서 크고 작은 정삼각형 개수 찾기 - 거꾸로 된 삼각형도 찾아야 한다.
		정삼각형이 예각삼각형인 이유 : 정삼각형은 세 각이 모두 60°로, 예각이기 때문에 예각삼각형이다.
		이등변 삼각형이 예각삼각형인 경우 : 예각 삼각형은 모든 각이 예각이 되어야 한다. 따라서 어느 한 각은 직각 삼각형이 되어서는 안 되므로, 45° < x < 90°여야 한다.

탐구활동이나 익힘책 항목에 있는 것은 문제 풀이에 도움되는 것들을 간략하게 적은 것이예요.

이해가 부족해질까봐 설명하고 갑니다.

파란색과 같은 것은 익힘책 풀이에서 나오는 부분인데요,

여기에선 이등변 삼각형이 예각 삼각형이 되는 경우를 통해 문제를 해결하라고 합니다.

그 설명이 파란색 부분인 겁니다. ^^*

---

카페기지 검토 中..

 13 페이지

4-2-4 사각형과 다각형	생각해 볼 내용	다각형 곡선	평면곡선 : 평면상에서 연필 끝을 떼지 않고 그린 도형, 즉 평면상 한 점이 그 평면 위를 연속적으로 이동한 모든 점의 집합 열린 곡선 (개곡선) : 시점과 종점이 만나지 않는 곡선 닫힌 곡선 (폐곡선) : 시점과 종점이 만나는 곡선 단일 폐곡선 : 시점과 종점이 만나는 곳 이외의 중복되는 점이 없는 도형 단순 폐다각형 곡선(다각형) ⊂ 단순폐곡선(원, 등등)
		정다각형의 성질	변의 수, 꼭짓점의 수, 내각의 수는 모두 같다. 내각의 크기는 모두 같다. 변의 길이는 모두 같다.
		사각형의 성질	4개의 각과, 4개의 변, 4개의 꼭짓점이 있다. 사각형의 내각의 합이 360°이다. 한 대각선에 의해 두 개의 삼각형으로 분할된다. 대각선이 2개 있다.
		정육각형의 성질	한 내각의 크기는 120°이다. 선대칭 도형이고 또 점대칭 도형이다. 정 n 각형 한 각의 크기 = 한 변의 길이는 외접원의 반지름과 같다.
		사각형의 분류	사각형 개념의 포함 관계 등을 이해하도록 하기 위해서는 딘즈가 주장했듯 수학적 다양성의 원리나 지각적 다양성의 원리를 적절히 이용해야 한다. 지각적 다양성의 원리는 동일한 개념을 형성하는 데 존재하는 가능한 모든 개인차를 고려하는 방법으로 동일한 개념적 주제에 대한 다양한 수단을 사용해 가능한 한 많은 변화를 주는 것이 좋다는 것이다.
			?
		다각형의 개념 지도	학생들에게 기하의 여러 개념을 지도할 때는 학생들이 친숙하게 접할 수 있는 창문, 가구, 건물, 디자인 등 직관적이고 경험적으로 기하의 여러 개념을 알고 있는 대상에서부터 유추하도록 한다. 실생활에 적절하게 응용되는 기하의 사례들을 살펴보면서 학생들은 수학의 유용성 및 실용성과 심미성을 느낄 수 있게 된다.
	단원평가	□ 다음 사각형을 다음과 같이 여러 이름으로 볼 수 있습니다. 그 이유를 각각 설명하시오. ① 정사각형 : 네 각의 크기가 같고, 네 변의 길이가 같으므로 ② 직사각형 : 네 각의 크기가 같으므로 ③ 평행사변형 : 두 쌍의 변이 평행하므로            하나 더 추가  : 마름모를 평행사변형이라 할 수 있는 이유 ④ 마름모 : 네 변의 길이가 같으므로                                     네 변 길이가 같으면 두 쌍의 변이 평행하므로. ⑤ 사다리꼴 : 한 쌍의 변이 평행하므로 ⑥ 다각형 : 선분으로만 둘러싸여 있기 때문
	탐구활동	정삼각형 6조각(1~6개 란 의미)을 변과 변을 이어 붙여 여러 모양을 만들자. (정삼각형은 한 각이 60°) 정삼각형, 사다리꼴, 마름모, 평행사변형, 정육각형을 만들 수 있다. - 직사각형, 정사각형, 정오각형은 만들 수 없다.
	익힘책	사각형이든 어떤 모양이든 내각의 합이 360°이면 평면을 돌려가며 빈틈없이 덮을 수 있다. 칠교판에서 찾을 수 없는 도형은 정삼각형이다.
	참고자료	수준			인식 대상	인식 수단	특징
		제 0·1 수준 초등 저학년		도형 인식 시각·인지	주변의 사물	도형	시각적 외관으로 인식함. 도형의 성질이나 도형 사이의 관계 인식 ×
		제 1·2 수준 초등 중학년		도형 분석 기술·분석	도형	성질	도형의 구성 요소나 성질 분석 가능. 성질들 사이의 관계성은 인식× , 수학적 정의× 추가 : 성질들 사이의 관계는 조작적 검증을 거쳐야만 인지
		제 2·3 수준 중학교		이론적 명제화 관계·추상	성질	명제	한 도형 또는 다른 도형 사이에 존재하는 성질들의 논리적인 관계를 파악. 수학적인 문장을 이론적으로 하나의 명제로 인식.
		제 3·4 수준 고등학교		연역적 추론 형식·연역	명제	논리	기하의 정리를 세우는 추론을 이해. 증명을 자신이 만들어내 수 있다.
		제 4·5 수준		공리적 엄밀화	논리	추상화	고등학교 수준을 훨씬 넘는 것

노란색 표시가 된 부분은

p180에 그림들에서 해당 평면 곡선을 찾는 부분에서 도출된 겁니다.

막상 보시면 이해 안 되시겠지만, 그림 보시면 아실 거예요. ^^

결론적으로 나오기 힘듭니다. [99.65% 확률]

---

 14 페이지

5-1-5 도형의 합동	학습이유	도형의 합동은 도형의 대칭이나 도형 그리기를 배우는 기본이 되며 도형의 성질을 이해하고 모양을 그리는 능력을 길러준다.
	생각해 볼 내용	합동	각	두 개의 각 각AOB와 각COD가 완전히 포개어질 때 두 각의 크기는 합동이다.
			삼각형	두 개의 삼각형 ABC와 DEF에서, 대응하는 세 변이 각각 합동인 두 삼각형은 합동이다. 대응하는 두 변과 그 사이의 각이 각각 합동인 두 삼각형은 합동이다. 대응하는 한 변과 그 양 끝각이 같은 두 삼각형은 합동이다.
			다각형	대응하는 변의 길이와 대응하는 각의 크기가 모두 같은 도형은 합동이다.
		삼각형 작도X 경우	① 두 변의 길이의 합이 한 변의 길이보다 작으면 닫힌 도형이 되지 않아 삼각형을 그릴 수 없다. a + b < c ② 두 변의 길이의 합이 한 변의 길이가 같으면 일직선이 되어 삼각형을 그릴 수 없다. a + b = c ③ 삼각형의 두 각의 합이 180° 이면 두 변이 서로 평행이므로 삼각형을 그릴 수 없다. ∠A +∠B = 180°
		논의	빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같으면 두 직각삼각형은 합동이다. (ASA) 수학적으로 파악될 때는 색이나 무늬의 속성은 제외되므로 색이나 무늬가 다른 두 삼각형도 기존 조건에서 합동이다.
	탐구활동	직각 삼각형과 합동인 삼각형을 그릴 수 있는 최소한의 조건은 한 변의 길이와 한 예각의 크기를 아는 것이다.

---

 14 페이지

5-1-6 직육면체와 정육면체	학습이유	기하 학습의 목적은 공간 지각 능력을 신장시키는 것이다.
	단원개관	1年 여러 물건을 관찰하여 직육면체, 원기둥, 구 모양을 찾고 만드는 활동을 통해 입체도형에 대한 기본적인 감각 형성 2年 쌓기 나무를 이용해 여러 입체도형을 만드는 활동
	생각해 볼 내용	다면체 : 단순폐곡면, 다면체 (볼록․오목), 각기둥, 각뿔, 원기둥과 원뿔, 구, 회전체 등 단순폐곡면 : 꼭 하나의 내부를 가지고 있고, 구멍이 없으며, 속이 비어있는 3차원의 도형 다면체 : 다각형 영역에 의해 만들어지는 단순폐곡면 (단순폐곡면 ⊃ 다면체)
		밑면을 정의한 이유는 직육면체의 부피를 구할 때 높이를 밑면을 이용해 정의하기 때문이다.  밑면의 위치는 직육면체를 어떻게 놓느냐에 따라 달라진다.       추가 : (밑면 = 기준면)
		직육면체의 전개도를 작도하는 활동을 어려워하는 학생들은 모눈종이를 통해 지도한 후 종이에 작도하도록 한다.

혹여나 싶어서, 이거 설명 둘 다 지도서 그대로입니다.

다면체가 두 번 쓰이는데, 위에 있는 것은 더 큰 범주입니다.

아래에 노란색 표시한 부분은 단순폐곡면과 (작은 범주의) 다면체 간의 관계를 제가 표시한 것이니,

버리셔도 됩니다.

---

 14 페이지

5-2-3 도형의 대칭	학습이유	도형의 대칭은 각기둥과 각뿔, 여러 입체도형, 원기둥과 원뿔을 배우는데 기본이 된다.
	단원개관	4-1 여러 삼각형에 대한 개념 4-2 여러 사각형에 대한 개념, 사다리꼴, 평행사변형, 마름모 학습 5-1 도형의 합동 이해, 합동인 삼각형 작도
	생각해 볼 내용	도형의 대칭	선대칭	어떤 직선을 기준으로 접어 완전히 겹칠 수 있는 도형. 선대칭 도형 (자대칭, 자기 대칭) : 대칭축이 도형 안에 있는 경우. 선대칭 위치에 있는 도형 (타대칭, 상호 대칭) : 대칭축이 도형 밖에 있는 경우.
			회전대칭	도형의 자취인 어떤 점에서 주어진 도형과 완전히 겹치도록 360° 미만으로 회전할 수 있는 도형. 어떤 도형이든 360° 회전하면 자신과 일치하기 때문에 ‘360° 미만’이란 조건을 필요로 한다. 도형이 회전할 때 고정된 점 O는 회전의 중심이다.
			점대칭	회전대칭 중 180° 회전 대칭을 가진 도형. 점대칭 도형 : 대칭의 중심이 도형 안에 있는 경우. 점대칭 위치에 있는 도형 : 대칭의 중심이 도형 밖에 있는 경우.
			평면대칭	평면의 한 쪽 위에 있는 3차원 도형의 모든 점이 평면 다른 쪽 위에 거울의 상을 가지고 있는 경우
		대칭 지도	‘선분’이나 ‘각’도 도형이므로 선대칭이나 점대칭을 생각할 수 있다. 그러나 여기서는 제외. 평행선이나 합동인 두 ‘각’도 선대칭 위치에 있는 도형, 점대칭 위치에 있는 도형으로 볼 수 있다. 역시 제외. 구체적인 조작활동, 모눈종이, 점판을 사용하여 직관적으로 대칭에 대한 개념을 이해시키는데 도움줘야 한다.

평면 대칭은 마치 거울 속에 내가 있는 것처럼, 한 평면을 기준으로 양쪽에 3차원의 도형의 상이 나타날때를 말합니다.

---

 15 페이지

6-1-3 각기둥과 각뿔	해설서	자기평가	학생 자신과의 대화		자신의 수학 지식의 이해도 및 수학에 대한 태도를 짧은 형태로 기록하여 교사에게 제출하는 것, 일종의 개인일지.
			학생 자신에게 질문하기		수학 문제를 해결하는 동안 학생들이 자기 자신에게 질문함으로써 자신을 감독하는 방법
	생각해 볼 내용	도형학습 지도단계	수집․관찰	여러 구체물을 관점에 따라 수집, 분류함으로써 구체물의 공통성을 발견한다. 구체물의 공통성을 발견하고 분류하는 과정에서 그 공통성을 일상용어로 명명하여 적절히 추상화한다. 요것도 진하게 해두시라구요. ㅋㅋㅋ 구체물의 위치, 크기, 색깔 등을 사상하고, 형적인 면에서 같은 것과 다른 것을 수집, 비교, 분류한다.
			조작․실험	도형의 특징을 관찰하고 구성요소를 조사하여 도형의 간단한 성질을 발견하는 단계이다. 성질을 발견하여 도형의 표상을 습득하고, 도구를 사용하여 도형을 조작하고 실험한다. 학생 상호 간의 효율적인 의사소통과 조직 활동을 유도하기 위해 적절한 수학 용어를 도입한다. 요것도 진하게ㅋ 작도 지도에 사용되는 도구들에 대해 상세히 지도해야 한다.
			이론화	개념을 일반에서 특수한 개념으로 심화하고, 간단한 추론이나 초보적인 논리적 사고를 기르는 단계이다. 기본 도형의 성질과 그들 사이의 상호관계를 이해한다. 도형의 성질을 발견하는 과정에서 간단한 추론을 적용한다. 이를 통해 도형은 구체물을 벗어나 언어로서 의사소통 할 수 있게 된다. 평면도형과 입체도형 사이의 상호관련성을 이해한다.
		수학일지	수학일지는 의사소통의 한 형식이다. journal writing
			① 수학 개념, 원리, 용어를 명확히 해준다. ② 수학에 대한 지식과 태도를 평가하는데 활용할 수 있다. ③ 수학적 성향, 수학의 유용성에 대한 신념, 수학 학습자로서 자기 자신의 생각에 대해 긍정적인 영향을 준다. ④ 학생과 교사, 학생 간의 의사소통적 유대감을 강화시킨다. ⑤ 실생활에 적용하는 능력을 향상시킬 수 있다. (추가)
	탐구활동	오일러 공식 : v - e + f = 2 (2모=꼭면) v : 꼭짓점(vertex), e : 모서리(edge), f : 면(face)

---

 15 페이지 

6-1-4 여러가지 입체도형	생각해 볼 내용	공간감각	자기 주위의 상황과 그 상황에서의 물체에 대한 직관적인 느낌. 도형들 사이의 관계, 도형의 성질을 인식하는 것은 공간을 지각하는 것과 기하의 개념을 형성하는 것이 동시에 이루어지기 때문에 공간지각을 증진하는 것과 기하 개념의 학습은 상호보완적이다.
		피아제 공간개념 발달	위상적 공간개념		물체의 형상, 원근, 위치 등의 관점에서 대상 물건의 성질을 추상화하는 단계. 물체의 크기, 기하학적 모양, 각 등의 관계에는 착안하지 않는다. 공간개념의 가장 초보적인 단계로 3~7세 사이에 형성.
			사영적 공간개념		사물을 공간의 어떤 다른 위치와의 관계에서 생각하는 것. 여러 방향에서 한 물건을 볼 경우 실제로 보이는 모양과 크기는 변화하지만, 여전히 같은 물건으로 인식할 수 있다. 물체들을 어떤 관점에서 서로 결합시킬 수 있는 발전된 단계로 5~10세 사이에 형성.
			유클리드적 공간개념		물체를 사영적으로 지각하는데 머물지 않고, 수평과 수직이라는 완벽한 조직으로 위치화하면서 거리, 크기, 각도, 평행 등의 개념이 형성되는 단계. 이를 인식하게 되면 밀기, 돌리기, 뒤집기 등의 이동을 할 때 위치는 변하지만, 크기, 모양, 각도 등의 특성이 변화하지 않고 보존된다는 특징을 이해하게 된다.
		공간감각 능력 하위 변인	Mcgree	공간 시각화		그림 상으로 제시된 대상물을 머릿속으로 조작하는 능력으로 주어진 물체를 심상에 의해 회전, 재배열(조합)시키는 능력이다.
				공간 방향화		공간적 패턴 안에 있는 요소의 배열을 이해하고, 제시된 공간 형상의 방향을 변화시켜도 혼동하지 않는 능력이다.
			Lohman	공간관계		심적 회전, 하나 이상의 시각화된 대상물을 빠르고 정확하게 머릿속으로 회전하는 능력.
				공간시각		종이접기나 전체 형태를 완성시키기 위해 한 대상물의 조각들을 머릿속으로 재배열하는 능력.
				공간방향		주어진 대상물들이 실제로 그 대상물로 보이는 것. 다른 공간적 조망으로부터 어떻게 나타내어질지 상상하는 능력.
		논의	모눈종이는 동일한 크기의 쌓기 나무를 표현하는데 학습자에게 도움을 주기 위해 사용한다. 이때 모눈종이 안에서의 위치는 상관없이 정확한 개수만 표현되면 모두 정답이다.
			입체도형의 위, 앞, 옆에서 본 모양을 그릴 때, 2차원의 평면에 표현된 그림을 보고 학습자가 정확한 길이, 크기, 방향을 파악하기는 어렵다. 따라서 전체적인 모양이 맞으면 모두 정답이다.

---

 15 페이지

6-2-2 원기둥과 원뿔	학습이유	각기둥, 각뿔 ‣ 원기둥, 원뿔 ‣ 원기둥의 겉넓이, 부피 등 측정학습의 기초
	단원개관	1年 여러 물건을 관찰하여 직육면체, 원기둥, 구 모양을 찾고 일상적인 용어를 사용해 표현. 기본적인 입체도형에 친숙해짐. 2年 쌓기 나무로 여러 입체도형을 만들어보는 활동을 통해 공간감각을 기름. 5年 직육면체와 정육면체의 구성요소, 입체도형의 전개도와 겨냥도의 개념을 알아보는 활동으로 입체도형의 초보적 내용을 학습. 6-1 각기둥과 각뿔의 의미와 구성요소를 알아보고 전개도를 이해하여 입체도형의 성질을 심화.
	생각해 볼 내용	입체도형의 구조를 파악하는 방법	① 선이나 면의 운동으로 파악하기 ② 전개도로 표현해보기 ③ 투영도로 표현해보기 ④ 평면으로 절단해보기 ⑤ 기본적인 도형 또는 기지의 도형으로 분해해 보기
		선의 운동에 의한 입체도형의 구성	평면도형에서 수직인 직선PQ를 평행하게 유지하면서 한 평면도형의 둘레를 따라 일주시키면 PQ가 움직인 자국으로 이루어진 면에 의해 처음의 평면도형을 밑면으로 하는 기둥의 옆면이 만들어진다. 이때의 직선을 입체도형의 모선(generator)이라고 한다.
			평면도형인 원의 안쪽에 한 점 O를 정하고 O와 하나의 평면도형의 둘레 위의 점 P를 지나는 직선 PO을 그 둘레를 따라 일주시키면 PO가 움직인 자국으로 이루어진 면에 의해 처음의 평면도형을 밑면으로 하는 뿔의 옆면이 만들어진다. 이때 직선 PQ를 그 입체도형의 모선(母線)이라고 한다.
		면의 운동에 의한 입체도형의 구성	공간에서 한 평면도형을 주어진 방향으로 일정한 거리만큼 움직일 때, 그 도형의 자국으로 하나의 입체도형이 생긴다. 회전체도 면의 운동으로 생긴 도형이다. 본 단원에서 구를 도입하고 정의하는 방법을 면의 운동에 의한 관점으로 다뤘다. (회전체)
		초등학교에서의 원기둥(원주)	초등수학에서의원기둥은 직원기둥만을 다룬다. 또, 원기둥을 원의 평행이동이라거나 선분의 이동으로 정의하지 않는다.
		초등학교에서의 원뿔(원추)	초등학교 수학에서의 원뿔은 직원뿔만 다루고, 원뿔을 사전과 같은 수학적 방식으로 정의하지 않는다. 뿔모양의 구체물을 분류하여 둥근 뿔 모양인 것들을 직관적으로 인식하게 하여, 밑면이 원이고 옆면이 곡면인 뿔 모양의 입체도형을 원뿔이라고 약속한다.
	탐구활동	평면도형을 보고 회전체를 예상했던 활동과 반대로, 회전체를 보고 돌리기 전의 평면도형을 생각해 그려보는 활동을 한다. 이와 같은 활동을 통해 가역적 사고 및 창의적 사고 활동을 자극하여 공간감각을 신장시키고자 한다.

사실 아래도 generator는 맞습니다.

그냥 지도서 표현 따르자는 의미예요. ^^

그리고 헷갈리지 마실게, 이때의 모선이라는 것은 '면을 만드는 직선'이라는 의미입니다.

원뿔에서는 곡면을 만드는 선을 말하며,

위와 같이 직육면체에서 옆면을 만드는 선도 모선이라고 한답니다. 'ㅁ'a

면과 면이 만나 이뤄지는 모서리랑 헷갈리지 마세요. '')a

---

<측정>

---

 16 페이지

2-1-7 시간 알아보기

놀이 속의 수학

연속적인 양을 단위 크기로 분할하여 시간의 길이를 나타낸다.

별로 안 중요하네요. 그어버리세요.

3-1-8 길이와 시간	학습이유	길이는 넓이의 개념을 배우는 데 활용되며, 넓이와 함께 부피의 개념을 배우는 데 길잡이가 된다. 분, 초는 길이와 함께 속력을 나타낼 때 활용된다.
	생각해 볼 내용	단위 종류	복명수	두 개 이상의 단위로 나타낸 표기 방법	크기를 직관적으로 이해하기 편리
			단명수	하나의 단위로 나타낸 표기 방법	연산에 사용하기 편리
			국제 기본 단위의 길이는 1m, 무게는 1g, 시간은 1초이다.
		시간 단위	시각	때의 위치
			시간	두 시각 사이의 양
			시각을 지도할 때는 몇 시 → 몇 시 30분 → 몇 시 몇 분의 순으로 읽게 한다. 시각을 읽기 위해 바늘을 볼 때는 짧은 바늘에서 긴 바늘의 순서로 보게 한다. (시침, 분침, 초침 순서) 다음에는 긴바늘과 짧은바늘을 동시에 보도록 지도한다.
	탐구활동	모형 시계 그림보다 시각을 나타낸 수직선을 사용하면 보다 쉽고 간단하고 편리하고 빠르게 합과 차를 구할 수 있다.

요기서 이게 어떻게 되어있냐 하면요. 이런 식입니다. ^^

├──┼──┼──┼──┼──┼──┤

5시                                                  6시

---

 17 페이지

3-2-5 들이와 무게	생각해 볼 내용	들이와 무게	들이 : 용적을 번역한 것으로, 용기(물건을 담는 그릇)의 체적(부피) 무게 : 중량을 번역한 것, 무거운 정도를 나타내는 양 수학에서 ‘무게’는 사실상 ‘질량’(mass)을 의미, 과학에서는 중력 가속도를 감안한 무게(weight)와 감안하지 않은 질량(mass)을 분리
		어림하여 들이,무게 측정하기	어림의 정의	어림 : 측정 도구를 사용하지 않고 측정에 이르는 지적 과정
			어림의 유형	① 대상과 속성은 주어지고 측정값은 알려지지 않은 경우 “이 병의 얼마는 무엇인가?” ② 측정값을 알고 대상을 선택해야 하는 경우 “들이가 1L쯤 되는 물건을 찾아보시오.”
			어림의 전략	① 참고가 되는 것(기준 척도)과 비교하는 것(compare to a referent) ② 덩어리 짓기(chunking) : 여러 부분으로 나누고 각 부분을 어림하여 전체 측정값을 구하는 것 Cf. 단위화 하기(unitizing) : 한 부분(unit)을 어림하고 전체에 이 부분이 몇 번 들어가는지 생각하는 것
		들이,무게 학생 오개념	① L가 mL보다 큰 단위이므로 L 앞에 더 큰 수가 와야 한다. 단위의 수와 단위의 크기 사이에는 역 관계가 있다. 등호를 사용하여 양쪽이 같으려면 큰 단위에는 작은 수가, 작은 단위에는 큰 수가 와야 함을 인식시킨다. 1mL의 물건을 제시하여 이를 1000번 채워야 1L의 용기를 채울 수 있다는 점을 감각적으로 제시한다.
			② 동일한 물건의 무게를 재면 측정값이 같아야 한다. 실제 모든 측정값은 근삿값일 뿐이고 실제값과 다를 수 있다. 얼마나 작은 단위까지 측정하느냐에 따라 측정값이 달라질 수 있다. 정확도를 높이려면 더 미세한 단위를 잴 수 있는 도구를 선택해야 한다.
			③ kg이 g보다 큰 단위이므로 0.8kg은 2000g보다 무겁다. kg은 1000g이다. (kg과 g의 관계를 모르기 때문에 생기는 오개념) 학생들에게 단위가 다르므로, 우선 단위를 같게 맞춘 후에 무게를 비교해야 한다는 점을 강조한다.

파란색 부분은 이 오개념을 고치는 해결책입니다. 분리해서 보셔야 편할 것 같습니다.

---

 18 페이지

추가

4-2-6 수의 범위와 어림	단원 개관	1-1 수의 순서, 크기 비교 ‘세어서 같은 것, 많은 것, 작은 것’ 찾기 1-2 수직선에 수의 위치 표시하고 두 수 크기 비교 ‘~보다 크다’, ‘~보다 작다’, 부등호의 사용 (>,<) 2-2 길이의 측정값 ‘조금 더 된다.’, ‘조금 못 된다.’, ‘약’ 3-2 수직선을 통한 소수의 크기 비교
	생각해 볼 내용	어림		정의	어림 : 어떤 대상의 값, 양, 크기, 무게 등에 대한 대략적인 판단, 의견 (과정+결과) 어림셈 : 복잡한 계산을 할 때 어림수를 써서 답의 근삿값을 내는 일 근삿값 : 참값을 반올림, 올림, 버림에 의해 처리하거나 또는 측정값과 같은 것 즉, 참값 대신 사용하는 참값에 가까운 값
				특징	계산 보조 수단을 사용하지 않아 대개 구두 형식으로 머릿속에서 이뤄진다. 정확한 값이 아닌 대략적인 값을 구한다. 신속하게 원하는 값을 구할 수 있다.
				필요성	어림은 비형식적인 수학의 한 예로, 일상생활 경험에서 얻은 비형식적인 수학과 형식적인 수학의 연결성을 강조하는 수학 지도에 알맞다.
				사용하는 이유	① 알고자 하는 값이 잘 알려져 있지 않기 때문 ② 알고자 하는 값이 매번 측정할 때 마다 다르게(다양하게) 나타나기 때문이다. ③ 물리적 측정의 한계 때문이다. 물체의 길이나 측정 기구가 완전하지 않기 때문이다. ④ 어떤 값이 자연수로서만 의미를 갖는 등 제한된 영역에서 사용되기 때문이다. ⑤ 오류에 대한 한계 때문에 안전상 문제가 있기 때문이다. ex) 엘리베이터 최대 용량 < 참값 ⑥ 어림한 것을 다시 어림하기 때문이다. ⑦ 알고리즘의 한계, 즉 어떤 수가 계산이나 다른 알고리즘에 적합하지 않기 때문이다. ⑧ 편리성 때문이다. 일을 간략화 하여 좀 더 효과적, 경제적으로 하기 위한 특정 목적으로 어림을 한다.
	탐구활동	40인승 버스 5대를 타고 현장 학습을 가려고 합니다. 모두 몇 명인지 알아봅시다. 버스 1대 : 1명 이상 40명 이하 버스 2대 : 40명 초과 80명 이하 버스 3대 : … 버스 4대 : … 버스 5대 : 160명 초과 200명 이하 ∴ 160명 초과 200명 이하
		기념품은 한 상자에 50개씩이다. 위의 사람 모두가 기념품을 받으려면 기념품 상자가 얼마나 필요할지 알아봅시다. ∴ 적어도 4개가 필요
5-1-7 평면도형의 넓이	단원개관	2年 사물의 길이 측정 4-2 사각형 넓이 비교 활동, 단위 넓이 도입을 통해 직사각형과 정사각형의 넓이 구하는 원리 학습
	생각해 볼 내용	넓이	넓이 : 면적을 번역한 것, 일정한 평면이나 곡면의 넓은 정도 겉넓이 : 표면적을 번역한 것, 겉면의 넓이 밑넓이 : 저면적을 번역한 것, 밑면의 넓이 옆넓이 : 측면적을 번역한 것, 옆면의 넓이, 한 옆면의 넓이가 아니라 옆면 모두의 넓이
		넓이 측정의 중요개념	① 단위와 속성의 관계 (단위와 속성은 반드시 일치) ② 분할 (틈이나 겹치기 없이 측정 대상을 똑같은 크기의 단위로 나눈다.) ③ 배열 구조(기본단위인 정사각형 사용해 평면을 재구조화) ④ 공간 덮기 ⑤ 동일 관계 ⑥ 단위 반복 ⑦ 보존
		넓이 지도	직접비교 - 간접비교 - 임의 단위 (단위 넓이의 몇 개) - 보편 단위 넓이에 대한 비교는 넓이에 대한 보존성이 이해 될 때 가능하며, 그렇지 못한 학생은 조작 활동의 효과가 적다.
			직사각형의 넓이 : 가로와 세로에 나열된 모눈의 눈 세기 -> 불편함 인식 -> 가로와 세로의 관계를 조사해 넓이 구하는 공식 발견 평행사변형 넓이 : 직사각형으로 등적 변형하여 지도 삼각형의 넓이 : 직사각형과 평행사변의 넓이 구하는 원리 이용 사디리꼴의 넓이 : 평행사변형과 삼각형의 넓이 구하는 원리 이용 (직사각형도 가능)
	탐구활동 참고자료	사다리꼴 넓이 구하는 법	① 평행사변형 넓이 이용 (본뜬 사다리꼴로 만든 평행사변형 넓이의 반) ② 직사각형 넓이 이용 ③ 삼각형 넓이 이용 (두 개의 삼각형의 넓이의 합) ④ 평행사변형 넓이와 삼각형 넓이의 합으로 구함

---

<확률과 통계>

---

 18 페이지

6-2-5 경우의 수와 확률	학습이유	확률의 개념이 필요한 경우		① 생활 속 사고의 대상에 대한 특정 기준에 따른 분류와 이에 대한 수량적인 판단이 필요할 때. ② 경우의 수에 대한 이해가 필요하고, 전체 사상에 대한 목적하는 사상의 비율이 얼마나 되는지 알고자 할 때.
	단원개관	6-2에 처음 나오는 단원으로, 중학교 2年에 공부할 확률의 기초를 이룰 수 있다.
	생각해 볼 내용	확률 영역의 기초기능	확률의 분류		고전적 관점 : 사전 확률, 선험적 확률 경험적․빈도적 관점 : 확률을 무한 번 또는 충분히 실험하여 구할 수 있는, 특정한 사건이 발생하는 상대도수의 극한값
			경우의 수		사건 : 같은 조건에서 몇 번이고 반복할 수 있는 실험이나 관찰에 의해 발생하는 결과 경우의 수 : 사건의 가짓수
			확률의 준비		① 시행 : 관찰해야 할 행동, 측정에서 취할 행동 ② 결과 : 시행의 결과로서 일어날 수 있는 것들 ③ 표본 공간 : 가능한 결과들의 모든 집합 (1)  ④ 사건 : 표본 공간의 어떤 부분 집합
			확률 개념 명료화		특정 사건의 확률을 결정하기 이전에 정립되어야 할 기본 개념으로 표본 공간을 알고 난 뒤 특정 사건의 확률을 계산할 수 있도록 한다. 확률값은 대부분 분수로 표현하는데, 분수는 확률을 기록하고 해석하는데 이용되는 간접적이고 편리한 도구이다. 가능한 결과에 관한 논의는 표본 공간의 확인과 확률 개념의 명료화에 도움이 된다.
			무작위성		우연 이외에 다른 요인이 영향을 미치지 않는다는 의미.
			사건의 독립성		한 사건은 다른 사건의 결과에 전혀 영향을 미치지 않는다는 것. 예를 들어 동전을 던져 앞면이 나온 후 다시 던지면 그때에도 앞면/뒷면이 나올 확률은 같다.
		지도 방향	현실상황을 도입하여 사건의 확률을 계산하기 전에 ‘확실한, 가능성이 적은, 가능성이 높은, 불가능한’과 같은 용어를 도입하여 이에 대한 논의의 기회를 제공하고 이를 통해 확률에 대한 기초적인 이해를 심화시킨다. 어떤 판단과 결정을 요하는 상황을 포함시킨다. 확률적 직관을 적극 활용하되 실험이나 모의실험을 통해 다음에 어떤 일이 발생하고 실험결과가 무엇을 의미하는지 추측해 보게 하여 우연 현상에 대한 원시적 직관을 수정하고 경험적 확률과 수학적 확률을 관련짓는 등 점차 반성적 사고 과정을 통해 올바른 확률적 개념을 구성할 수 있도록 지도한다.
	참고자료	공정(공평)한 놀이는 참여자들이 이길 확률이 모두 같아야 한다.

---

<규칙성과 문제 해결>

---

23 페이지

6-2-8 문제 해결방법 찾기	학습이유 단원개관	이전 학년까지는 전략을 익히고 적용하는데 관심을 두었지만, 여기서는 문제를 해결하는데 사용될 수 있는 전략의 특성을 이해하고 당면한 문제를 해결하는데 적합한 전략들이 어떤 것인지 판단할 수 있도록 한다. 주어진 문제를 여러 가지 방법으로 해결하는 것은 창의적 사고뿐만 아니라 답의 타당성을 확인하는 데도 도움을 준다. 이 활동에서는 단순히 학생들이 선호하는 방법을 찾는데 목적을 두는 것이 아니라, 특정 방법이 어떤 점에서 낫다는 것을 이해할 수 있어야 한다. 문제 만들기에서는 문제가 만들어지는 원리를 이해하면 만든 문제를 해결하는 과정에서 문제해결의 타당성을 토론함으로써 수학적 힘을 기르는데 역점을 둔다.
	생각해 볼 내용	문제해결 전략	각 전략은 각기 장단점이 있어 비교하여 사용할 수 있으며, 주어진 문제를 적용하는데 어떤 전략이 더 유리한지 설명하는 것은 문제해결자의 수준에 따라 달라질 수 있다.
		문제 만들기	문제 해결 교수학습의 단순화 지양, 문제해결 수학 교수학습의 다양화를 위해, 그리고 학생들의 유연하며 확산적인 사고력 육성 및 학생 주체적인 학습으로 수학에 대한 흥미와 관심을 고취시킨다.
			브라운&윌터 수용 : 원 문제에 주어진 조건이나 결과를 그대로 받아들여 문제 만들기 활동하는 단계 도전 : 문제를 수용하는데 그치지 않고 조건이나 속성을 바꾸어 새로운 문제를 탐구하는 단계             What-if-not 전략
			다케우찌의 발생적 문제 만들기 전략 : 원문제 해결 - 문제 만들기 - 만든 문제 발표, 분류, 정리 - 만든 문제 해결 - 정리 및 발전 본 차시의 구성 : 원문제 해결 - 문제 만들기 - 만든 문제 해결 - 문제 해결 과정의 타당성 검토․발표 - 문제 만들기 완성
		문제해결과정의 타당성 검토	① 오용된 자료 (문제의 세부 항목을 잘못 옮겨 쓰는 오류), ② 잘못 해석된 언어, ③ 왜곡된 정리나 정의, ④ 논리적으로 타당하지 않은 추론, ⑤ 검증되지 않은 답 (검토하지 않아 답이 잘못된 경우), ⑥ 기술적 오류 (숙달된 알고리즘을 계산할 때 생기는 오류)

What-if-not 전략은 교육학에서 4단계로 제시됩니다. 직접 찾아보세요.

생각해 볼 내용에서 등장한 What if not전략은 그냥저냥 용어만 나오고 설명없이 넘어가요.

위에서 잘못 해석된 언어는 문제를 잘못 해석하여 잘못된 수학 용어 등으로 표현하는 경우이며,

논리적으로 타당하지 않은 추론은, 주어진 정보나 이미 추론된 것에서 새로운 잘못된 정보를 이끌어내는 경우입니다.

미묘하죠? 잘 구별하세요.

---

24페이지

5-2-7 비와 비율	학습이유	비 : 두 양의 크기를 비교할 때 이용 비율 : 기준량과 비교하는 양의 비를 나타낼 때 사용  할푼리 : 야구의 타율, 0과 1 사이의 수로만 나타내게 하는 경우 백분율 : 할인율을 계산할 때처럼 기준량보다 수량적으로 얼마나 많고 적은지 나타낼 때 주로 사용
	생각해 볼 내용	의의	비와 비율을 분수, 소수, 백분율 등을 수관계를 이용하여 나타내는 것을 배운다. 즉, 다양한 동치 형태의 수를 이해하고 표현하여 사용하는 방법을 배우고 익히게 된다. 비와 비율에 대한 표현은 양적인 사고의 대부분이 관계적이란 사실을 반영하므로, 실제의 수 그 자체보다 이러한 수들 사이의 관계가 중요하다.
		비와 비율	비와 비율은 사물의 양을 비교할 때 사용하는 개념
			비	어떤 양이 다른 양의 몇 배에 해당하는가를 보이는 관계 b≠0일 때 a:b로 쓰이는 수들의 순서쌍.
			비율	둘 이상의 수를 비교하여 나타낼 때, 그 중 한 개의 수를 기준으로 하여 나타낸 다른 수의 비교값 두 개의 양 a, b에 대하여 a ÷ b = 를 a의 b에 대한 비율이라고 한다. 이것은 두 양 a와 b를 견주어 셈한 것으로 볼 수 있다.
			비의 값	비를 유리수 값으로 나타낸 것, 기준량이 1인 경우의 비교하는 양. a:b에서 a가 b의 r배가 되면, 이 r을 비 a:b의 값이라고 한다. 유리수 범위에서 비율과 비의 값은 같다. 즉, 비의 값은 비율의 특수한 경우이다.
		백분율	기준량을 100으로 보았을 때 비교하는 양의 크기. 백으로 나누었을 때의 비율.
		할푼리	비율을 소수로 나타내었을 때, 소수의 자리로 알아보는 것. 소수 첫째 자리 ‘할’, 소수 둘째 자리 ‘푼’, 소수 셋째 자리 ‘리’.
		비율 지도	백분율을 분수와 소수로 바꿀 수 있도록 지도해야 한다. 백분율을 이해하고 비교하는 활동을 거치면서 백분율에 대한 수 감각을 기를 수 있도록 도와야 한다. 크기가 작은 백분율 지도에서는 1보다 작은 백분율에 대한 지도는 그림을 활용할 수 있다. 크기가 100%보다 더 큰 백분율을 개념적으로 이해하도록 100칸 격자지를 활용할 수 있다. 비율 표현에서 기준량과 비교하는 양을 혼동하는 학생은 비를 표현하기 전에 의미있는 구체적인 모델을 관련시키고 그림, 비형식적 해결 전략을 사용하도록 배려한다.
	익힘책	?

---

24페이지

6-1-7 비례식, 탐구활동에서 두 정사각형의 한 변의 길이의 비가 ■ : ▲ 일 때 넓이의 비는 (■×▲) : (■×▲) 이다. 라고 오타가 있지만 명백해서 다 아실 거 같아요.^^ 다시 한 번 감사드립니다. ^^

답글 | 삭제 | 신고

6-1-7 비례식	학습이유	비례식은 연비와 비례배분을 공부하는 기초로 활용된다.
	단원개관	5-2 비, 비율
	생각해 볼 내용	비와 비례식에 대한 개념은 기하 문제와 관련되며, 비례식을 이용하여 닮음을 공부할 수 있다. 예를 들어, 만약, 대응하는 변의 길이의 비가 모두 같으면(즉, 비례적이면) 두 도형은 닮음이 된다. 따라서 모든 정사각형은 닮음이 되지만 모든 직사각형은 닮음이 되지 않는다. 또한, 비례식은 실생활의 건축설계에서 도면에 실제 건축할 건축물을 축소하여 나타내는 데 쓰인다.
	탐구활동	두 정사각형의 한 변의 길이의 비가 ■ : ▲ 일 때 넓이의 비는 (■×■) : (▲×▲) 이다. 이런 경우, 비의 성질이나 비례식을 이용해서 넓이의 비를 구할 수 없다.

---

아 그리고 단원 개관 부분은 대부분 '선행학습' 부분만 표시했어요.

이게 원래 본문하고 같이 따로따로 파일 만들어 하던 거였는데, 나중엔 요것만 겨우겨우 끝냈거든요. 'ㅁ'/

암튼, 그런 점 유의하셔서 읽으면 도움되시지 않을까 생각합니다. ^^*

받은 만큼 감사하고, 나눈 만큼 잘되셔요!

사후 서비스(?)까지 너무 꼼꼼하신데요, ♡ 아직 보진 못했지만 열심히 공부해서 혹시 덧붙일 사항 생기면 댓글 달게요, 화이팅! ^^

저두 언능 검토 끝내서 고쳐놓겠습니다. ㅋㅋㅋㅋㅋ 매번 뭐 만들때마다 고칠게 이리도 많은지 기본 3독은 하게 되네요 ㅠㅠㅠ

14페이지 합동논의 예각의 길이가-> 크기가

감사

와우 감사해요~

생각보다 너무 틀려서 ㅋㅋ 암튼 저야말루 감사합니다 (__)

마름모ㄷ평행사변형..네 변의 길이가 같으면 두 쌍의 변이 평행이다 라는 건 교육론에 있는 말인가요? 어렵네요..

지도서에서 문제로 내요 ㅋㅋ

흑.. 완전.. 사랑..할뻔했습니다.

샘, 전에 올리신 자료 개별 수정 안하신거죠(질타? 가 아니라 묻는거임ㅋ) 각자 뽑아서 이대로 수정하면 되는거죠? 샘 정말 고마워요. 잘 보겠습니다.

넵 자료 뽑으셔서 수정해주셔요 (__)ㅋㅋ

정말 감사합니다~^^

샘 저 지금 막 자료 수정 끝냈어요. 진짜 깨알같은 설명과 우려(^^)넘치는 추가 내용 잘 보았습니다. 저처럼 부족한 사람에게는 너무 도움되는 추가 내용이었어요. 자료 자체도 정말 감사하구요. 만드는데 시간 노고가 많으셨을듯. 잘 보겠습니다. 고마워요